组合静水压力 - 轴向荷载条件下沉桶基础局部屈曲的理论与解析研究

《Marine Structures》：Theoretical and analytical investigation of local buckling in bucket foundations under combined hydrostatic-axial loading conditions

　　

摘要吸力桶基础最近被确认为一种适用于浅海和深海环境中海上风力涡轮机的具有成本效益的支撑结构，导致其在各种海床中的应用不断增加。特别是对于固定式海上风电子结构，吸力桶在安装前与其上部结构集成，以实现成功贯入。因此，在吸力安装阶段，吸力桶不仅承受静水压力，还承受纵向的额外轴向载荷。这种额外载荷增加了纵向应力，并导致进一步的压缩效应。然而，文献中关于这种轴向载荷影响的研究仍然有限。为解决这一空白，本研究对吸力桶基础在静水 - 轴向组合载荷条件下的临界屈曲强度进行了理论研究，从而支持更精确和安全的设计。修正控制微分方程以推导考虑组合载荷效应的新屈曲系数。此外，通过修改 DNV 建议中规定的设计参数提出了简化设计方程，并引入了一种新的屈曲系数更新方法，该方法纳入了上部结构的自重。最后，评估了额外轴向载荷对吸力桶屈曲行为的影响。

1. 引言

最近，对可再生能源，特别是风能的兴趣显著增加，作为确保能源供应和保护环境的手段。虽然过去风力涡轮机结构主要建于陆上，但由于人口稠密区附近的环境和噪音担忧，对海上风力涡轮机结构的需求迅速增长。海上风力涡轮机基础类型的选择很大程度上取决于土壤条件，目前各种基础系统正在使用中，如单桩、锚和吸力桶基础。

其中，吸力桶基础已被使用了几十年，随着在具有粘土和砂质海床的浅水中安装海上风电结构的增加。它被认为是一种具有成本效益的海上基础，广泛应用于全球风电场项目 [[1], [2], [3], [4]]。特别是，吸力桶基础被广泛用于粘土和砂土中，因为它们能够通过桶的表面摩擦力提供高效的贯入性和足够的承载力。此外，有报道称将桶基础与上部结构（例如单桶、三脚架桶）结合的集成系统简化了施工，同时提高了贯入性（见图 1）。

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图 1. 典型吸力桶基础示例和桶基础的典型屈曲行为。(a) 单桶基础，(b) 三脚架桶基础，(c) 安装期间桶基础的屈曲行为。

吸力桶是一种常用于粘土或砂土中的基础类型，以确保可施工性，并通过桶壁沿表面的摩擦力提供足够的承载力。吸力桶的一个关键特征是吸力辅助安装，利用其内部和外部之间的压力差，只需最少的设备，减少时间和成本。该安装过程包括两个阶段：自重贯入和吸力诱导贯入。吸力桶首先定位在海床上，并允许其通过自重贯入海床。然后，连接潜水泵后，将内部水抽出以产生驱动更深贯入的压力梯度 [1,2,[4], [5], [6]]。为了促进吸力安装，吸力桶通常制造为薄壁结构，具有细长截面，通常长径比 (??/??) 范围为 0.5 到 3，径厚比 (??/??) 范围为 200 到 500 [7]。

用于海上锚的传统形状吸力桶基础由顶盖和圆柱管组成，顶盖上没有任何上部结构，因为这些海上锚是为了抵抗倾斜拔出载荷以固定系泊线而安装的 [6,[8], [9], [10], [11], [12], [13], [14]]。因此，传统吸力锚在施工过程中通常因吸力而承受静水压力。对于这些情况，由于静水条件，它可能沿纵向和环向承受压缩应力，导致施工期间发生局部屈曲，这是设计过程中的关键考虑因素之一，限制了允许吸力压力 [15,16]，如图 1(c) 所示。

2005 年，在德国威廉港发生了大型海上风力涡轮机桶基础的屈曲事故。该桶裙长 15 米，直径 16 米，裙厚 25 毫米，具有相对薄壁和细长的截面。当裙边贯入土壤 6.8 米时，桶基础发生屈曲，导致安装完全失败。这一事件突显了对桶基础进行详细屈曲分析的必要性 [17]。

通常，环向应力 (????) 理论上纵向应力 (????) 的两倍；因此，屈曲行为主要由环向应力 (????) 而非纵向应力 (????) 控制，特别是在仅处于静水条件下的较长圆柱壳中。然而，当吸力桶在安装期间与海上风电子结构集成时，它们可能承受纵向的额外轴向载荷，这增加了纵向应力并导致额外的压缩效应（见图 2）。

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图 2. 吸力桶基础载荷条件比较：(a) 仅静水压力，(b) 本研究使用的静水 - 轴向组合载荷条件。

上部结构导致的额外自重可能提供加速桶基础在施工期间屈曲行为的可能性。因此，有必要评估桶基础的屈曲行为，并推导出考虑自重额外轴向载荷影响的理论解。然而，文献中缺乏研究额外轴向载荷条件影响的研究。

自从唐奈尔 [18] 研究了圆柱体在扭转下的临界屈曲应力并推导了控制微分方程以来，几项研究已被开展，提出理论方法来估计各种载荷条件下圆柱壳的弹性屈曲强度。巴特多夫 [19,20] 对具有简支和夹紧边缘的圆柱壳的理论屈曲强度进行了开创性研究，扩展了唐奈尔的方程。他通过引入一个无量纲参数，即巴特多夫 ?? 参数，扩展了唐奈尔的工作，并推导出受侧向、轴向和静水载荷作用的圆柱壳的简化公式，从而为吸力桶基础设计提供了理论基础。他的研究也影响了 DNV（挪威船级社）推荐实践中采用的壳屈曲强度规定 [21]。文献中也提供了圆柱壳屈曲的几个解析表达式 [22,23]。

此外，还进行了基于有限元分析 (FEA) 的吸力桶基础屈曲行为调查，考虑了各种设计参数，包括土壤性质、边界条件、材料和初始缺陷。

Pinna 和 Ronalds [24] 调查了具有各种边界条件的壳的静水屈曲，并使用有限元分析分析了组合几何缺陷的影响。Bakmar [25] 调查了砂中安装期间大直径单腿桶基础的屈曲强度，并通过采用等效铰接嵌入深度提出了简化设计方法。Madsen 等人 [17] 使用各种不完美几何形状对深水风力涡轮机的大型吸力桩进行了数值屈曲分析，以找到最关键的模态形状。B?hm 和 Schaumann [26] 开发了吸力桶屈曲分析几何缺陷的随机建模。B?hm 等人 [27] 进一步研究了海上风力涡轮机吸力桶的屈曲，基于各种缺陷形式和幅度以及不同的土壤参数，考虑了缺陷、残余应力和土壤参数敏感性。Fan 等人 [28] 基于结合蒙特卡洛模拟的三维随机有限元方法，调查了空间可变粘土中吸力安装下桶基础的屈曲不确定性。

基于文献，最近关于吸力桶不稳定的大多数研究集中在表达土壤性质、材料屈服、残余应力、各种边界条件和初始缺陷的材料和几何非线性效应上。没有研究探索组合载荷条件，即静水 - 轴向载荷条件，对吸力桶屈曲行为的影响。此外，缺乏关于额外自重如何影响安装期间吸力桶屈曲强度的研究。

为解决这些问题，本研究旨在探索吸力桶基础在静水 - 轴向组合载荷条件下的临界屈曲强度的理论研究，从而实现更精确和安全的桶基础设计。为实现此目标，本研究修正了巴特多夫 [19] 提出的控制微分方程，以推导出考虑静水 - 轴向组合载荷影响的吸力桶新屈曲系数。此外，本研究通过修改 DNV 建议中的设计参数提出了简化设计方程，并引入了一种新的屈曲系数更新方法来考虑上部结构的自重。最后，评估了额外轴向载荷对圆柱壳（吸力桶裙边）屈曲行为的影响，允许明确检查外部压力和轴向压缩之间的相互作用。

2. 文献中静水压力下圆柱壳的屈曲系数

2.1. 静水条件下圆柱壳的理论屈曲系数

各种条件下圆柱壳的理论背景源于所谓的唐奈尔方程 [18]。在他的研究中，制定了一个八阶偏微分方程，排除了可能相对不重要的高阶项。结论是，在制定微分方程时，省略高阶项可以提供简单得多的表达式。公式 (1) 显示了唐奈尔 [18] 提出的八阶偏微分方程。

(1)????8??+???????2???4??????4+????4(???????2??????2+2??????2??????????+???????2??????2)+??4??=0

其中，?? 是单位长度的板弯曲刚度 (?????312?(1???2))，?? 是杨氏模量，?? 是圆柱壳厚度，?? 是轴向坐标，?? 是环向坐标，?? 是壳中面点径向方向的位移，???? 是施加的轴向应力，???? 是施加的环向应力。

此后，巴特多夫 [20] 通过采用无量纲项，即所谓的巴特多夫的 ?? 参数（见图 3），扩展了唐奈尔的方程，以获得轴向、侧向和静水压力下简支圆柱壳的屈曲系数。

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图 3. 文献 [20] 中使用的圆柱壳设计参数和坐标。

对于静水条件，通过省略扭转效应，公式 (1) 可以修改如下，且当 ?? 为常数时，公式 (1) 中出现的项 ??4?? 为零。因此，获得静水压力下圆柱壳的控制微分方程如下。

(2)????8??+???????2???4??????4+?????????4??2??????2+?????????4??2??????2=0

如果闭式圆柱壳承受静水压力，它会产生轴向和环向应力，分别表示为 ????=????=?????2???,????=????=???????。满足圆柱壳简支边界条件的挠度 ?? 假设如下：

(3)??=??0?sin?????????sin???????????

其中 ?? 是环向方向的半波长，?? 是整数。

静水压力下圆柱体关于 ???? 的屈曲系数 ???? 定义如下：

(4)????=????????2?????2

结合公式 (2) 和公式 (4) 得到以下方程：

(5)??8??+12???2??4???4??????4+???????2??2??4(12???2??????2+??2??????2)=0

其中，?? 是由 ??2??????√1???2 确定的无量纲参数。

临界屈曲系数 ???? 通过结合挠度方程公式 (3) 和控制微分方程公式 (5) 推导得出，如公式 (6) 所示。

(6)????=(??2+??2)2??22+??2+12???2???4??4?(??2+??2)2?(??22+??2)

???? 的临界值是通过关于 ?? 和 ?? 最小化公式 (6) 来确定的。取 ?? 等于 1，获得临界屈曲系数 ???? 如下：

(7)????=(1+??2)212+??2+12???2??4?(1+??2)2?(12+??2)

其中，?? 是圆柱的 ??/??。

2.2. DNV 建议中圆柱壳的设计屈曲强度

DNV 建议 [21] 提供了考虑各种载荷条件下圆柱壳屈曲强度的设计方程，这些方程也可用于吸力桶设计。各种载荷条件下无加劲圆筒形圆柱壳的弹性屈曲强度由以下给出：

(8)????=?????2???12?(1???2)?(????)2

在公式 (8) 中，?? 是折减屈曲系数，计算如下：

(9)??=???√1+(???????)2

在公式 (9) 中，?? 是静水压力系数，等于 2，用于考虑静水压力对圆柱壳和端盖的影响，?? 是由 1.04?√???? 表示的系数，用于考虑 ???? 参数 (????=??2??????√1???2) 的影响，?? 是用于设计时折减屈曲系数的系数。

当 ???? 等效于零时，简化屈曲系数 ?? 与 ?? 相同，因此 ?? 是屈曲系数关于 ???? 的最小值。对于具有较大 ???? 值的长圆柱体，由于侧向压力的影响占主导地位而不是端盖压力，也提供以下替代解决方案：
(10) ??????=0.25????(????)2 if ????>2.25?√????
3. 组合静水 - 轴向载荷下圆柱壳的建议屈曲系数
如引言部分所述，当吸力桶安装上部结构时，附加轴向应力可能导致圆柱壳的屈曲强度降低。在这种情况下，由于附加自重引起的轴向应力可以通过端盖压力加上附加轴向载荷来计算，如图 2 所示。因此，圆柱壳（此处为吸力桶的直径）承受由于静水压力和轴向载荷引起的轴向应力和环向应力，如下所示：
(11) ????=?????2???+????, ????=???????
在式 (11) 中，?? 是上部结构的附加自重，?? 是圆柱壳的面积，表示为 ????????，其中 ?? 是壳的直径，?? 是裙筒的厚度。如果轴向应力与环向应力之比为 ??，?? 表示如下：
(12) ??=????????
将式 (11) 和 (12) 代入式 (2)，然后结合式 (4)，得到考虑组合静水 - 轴向载荷条件的控制微分方程如下：
(13) ??8??+12???2??4???4??????4+???????2??2??4(?????2??????2+??2??????2)=0
考虑组合静水 - 轴向载荷条件的临界屈曲系数 ????，是通过结合挠曲方程式 (3) 和修正的控制微分方程式 (13) 推导出来的，如下所示：
(14) ????=(??2+??2)2?????2+??2+12???2???4??4?(??2+??2)2?(?????2+??2)
通过关于 ?? 和 ?? 最小化式 (14)，其中 ?? 等于 1，我们采用轴向 - 环向应力比 ?? 来获得考虑各种轴向和环向应力组合的临界屈曲系数 ????，如下所示：
(15) ????=(1+??2)2??+??2+12???2??4?(1+??2)2?(??+??2)
基于用于估计新屈曲系数的建议方程（式 15），当 ?? 等于零时，在式 16 中获得了最小临界屈曲系数 (????,????????)。表 1 也显示了由式 (16) 确定的建议最小屈曲系数。基于式 (16)，当 ?? 等于零时静水压力下的最小屈曲系数与 DNV 建议中提供的静水压力 ?? 因子相同，显示出与当前设计规范的良好相关性。
(16) ????,????????=(1+??2)2??+??2=1?? 当 ??=0 时
表 1. 由式 (16) 确定的建议最小屈曲系数 (????,????????)。
| 载荷条件 | 静水压力 | 组合静水 - 轴向载荷 | | | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| ?? | | 0.5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| ????,???????? | 2 (=??) | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | |

因此，式 (16) 可用于替换 DNV 建议 [21] 中规定的式 (9) 中的 ??，以考虑组合静水 - 轴向载荷条件的影响。
4. 考虑组合静水 - 轴向载荷的建议屈曲系数评估
4.1. 有限元分析验证
本节通过将建议的屈曲系数与使用 ABAQUS 程序 [29] 的弹性屈曲分析（特征值分析）结果进行比较，研究组合静水 - 轴向载荷下圆柱壳建议屈曲系数的有效性。有限元分析模型考虑了各种载荷条件，包括典型静水压力和组合静水 - 轴向载荷条件，以考虑由于上部结构自重引起的附加轴向载荷。
吸力桶的裙筒使用壳单元建模，并采用简支边界条件，因为它们被认为是理想化的边界条件，为文献 [25] 中的设计提供保守结果。吸力桶的端盖通常是加劲壳单元，可以将载荷从上结构传递到裙筒。然而，由于端盖对裙筒屈曲行为的有限影响 [25]，本分析中省略了吸力端盖；相反，作用在端盖上的吸力压力被替换为作用于吸力桶顶部和底部边缘的线载荷，如图 4 所示。吸力桶的杨氏模量为 210,000 MPa，泊松比为 0.3，代表典型钢材。模型的网格尺寸是通过改变切向方向的网格数量进行收敛性分析确定的。分析模型的网格尺寸在切向方向设置为 200 个网格，并在纵向方向具有相同的网格尺寸，如图 4(d) 所示。
图 4. FEA 模型配置及关于网格数量的收敛性分析结果。(a) 载荷条件，(b) 边界条件，(c) 屈曲模态形状和 (d) 屈曲强度与网格数量的关系。
在此分析中，本研究关注吸力桶的屈曲行为，不进行任何土体建模，因为本研究的主要目标是提出考虑附加轴向载荷的带有简支边界条件的圆柱壳模型的理论解。在设计过程中，DNV 规定提供了带有简支边界条件的圆柱壳的解决方案，导致设计的保守性，或引入土层中桶基础的等效屈曲长度，以考虑土 - 桶相互作用的合理设计。基于文献，可以通过考虑土层来确定桶基础的有效屈曲长度 (??????????)。图 5 显示了 Bakmar [25] 推荐的吸力桶基础的等效铰接嵌入深度和等效铰接裙筒长度示意图。基于他们的研究，裙筒的有效屈曲长度可以表示如下。
(17) ???????=????+??????
(18) ??????=??×?+0.1???+Δ?????????
图 5. 吸力桶基础的等效铰接嵌入深度 (??????) 和等效铰接裙筒长度 ??????? 的示意图 [25]。
其中，?? 是一个无量纲乘数，引入以考虑安装现场的沙性。Δ????????? 等于 0.4 以考虑添加吸力的影响。
FEA 模型通过将其结果与文献 [20,21] 中提供的静水压力条件下圆柱壳的理论屈曲强度和设计屈曲强度进行比较进行了校准。本研究使用的吸力桶模型直径为 10 m，裙筒厚度为 20 mm。这些比较中考虑的吸力桶模型的有效长度 (??????????) 范围为 2 m 到 50 m，以探索 Z 参数的影响，Z 参数是裙筒长度 (??) 的函数。
图 6 显示了从 FEA 模型在静水条件下通过特征值分析获得的 FEA 结果与 Batdorf (式 7) [20]、DNV 建议 (式 9) [21] 以及本研究提出的方程 (式 15) 建议的屈曲系数之间的比较。如图 6 所示，从 FEA 获得的屈曲系数 (????) 显示出与 Batdorf [20] 和本研究提出的理论解以及设计方程相似的特征。此外，DNV 建议 [21] 中规定的式 9 当 ?? 等于 1 时，也显示出与 Batdorf 和本研究提出的理论方程相似的趋势。?? 用于减小设计屈曲系数，以考虑初始缺陷、残余应力等引起的不确定性。所有方程，包括本研究、Batdorf 和 DNV 建议，当 ?? 非常小时收敛到最小 ???? 值 2，并且当 ?? 约为 1000 或更大时显示出与对数尺度近似线性关系。
图 6. 静水条件下从特征值分析获得的桶基础 FEA 结果与 Batdorf [20]、DNV [21] 和本研究建议的屈曲系数之间的比较。
4.2. 各种静水 - 轴向载荷下建议屈曲系数的评估
为了评估各种静水 - 轴向载荷条件下圆柱壳的建议屈曲系数，将由于组合静水 - 轴向载荷引起的范围从 0.5 到 8 的各种纵向和环向应力比 (??) 与有限元分析结果进行了比较。这些比较中使用的 FEA 模型与上一节中呈现的相同。
图 7 显示了从特征值分析获得的 FEA 结果与基于数值分析以最小化具有各种 ?? 值的式 (15) 计算的建议屈曲系数之间的比较。如图 7(a) 所示，建议的屈曲系数方程显示出与 FEA 结果的良好一致性，关于 ?? 参数和各种 ?? 值具有相似的趋势。
图 7. 从特征值分析获得的 FEA 结果与 Batdorf [20]、DNV [21] 和本研究建议的屈曲系数之间的比较。
如图 7(a) 所示，圆柱壳的屈曲系数 (????) 随着 ?? 参数的减小和 ?? 的增加而降低。换句话说，屈曲系数随着长度减小和附加轴向载荷增加而降低。图 7(b) 和表 1 呈现了附加轴向载荷下的 ???? 与 ??=0.5 时的 ???? 之比，对应于静水压力。
如图 7(b) 和表 1 所示，?? = 8 时组合静水 - 轴向载荷条件下的 FEA 结果具有最低的屈曲系数 ????，范围为静水条件的 35.9% 到 74.1%。对于 ??=1 的情况，??=1 时的 ???? 与 ??=0.5 时的 ???? 之比范围为 90.3% 到 98.1%，与静水压力条件 (??=0.5) 相比。所有情况均显示，如果长度较小，屈曲系数会增加。如表 1 所示，如果由于附加自重引起的轴向应力超过环向应力值的一半 (?? > 1)（由于静水压力），当 ?? = 1 时，较小长度的桶的理论屈曲系数将降低至大约 10%，或当 ?? = 2 时，较长长度的桶降低 5%，这可能导致设计吸力压力降低或安装过程中屈曲失效。圆柱壳的屈曲系数取决于由于自重引起的附加轴向载荷的大小和 ?? 参数，它是有效裙筒长度 (??????????)、裙筒直径 (??) 和厚度 (??) 的函数。因此，需要基于使用 FEA 分析的扩展参数研究，详细调查每个设计参数对屈曲系数的影响。
5. 组合静水 - 轴向载荷下吸力桶基础的建议设计方程
5.1. 建议的简化设计方程
基于图 7(a) 中呈现的理论屈曲系数和 ?? 参数之间的关系，本研究建议了简化方程，用于确定组合静水 - 轴向载荷条件下圆柱壳的屈曲强度。如图 7(a) 所示，当 ?? 大约在 0.5 和 1 之间时，理论屈曲系数和 ?? 参数之间的关系在较大 ?? 值时显示出对数尺度上的线性关系，适用于静水和具有相对较小轴向载荷的组合静水 - 轴向载荷条件。特别是，当 ??=1 时，图形即使在小 ?? 值时也表现出线性关系。然而，在 ??>1 时具有相对较高的附加轴向载荷的情况下，观察到屈曲系数和 ?? 参数之间存在非线性关系。此外，随着 ?? 参数收敛到零值，关于 ?? 值的屈曲系数 ???? 之间的差异逐渐变大，在该处屈曲系数变为由式 16 表示的最小值。通常，吸力桶的长径比 (??/??) 范围为 1 到 2，径厚比为 300–500。在本研究中，在实际建造预期的实用设计范围内进行了回归分析。?? 值通常倾向于随着长径比 (??/??) 和径厚比 (??/??) 的增加而增加。因此，假设最大 ?? 值为 5000，这代表具有较薄和较长裙筒长度的相对细长的桶。在回归分析期间，采用可以在对数尺度上线性化的幂函数作为基本回归方程 (????=???????)。在回归分析中，假设方程的系数 (??) 和幂 (??) 是通过将 ?? = 5000 处的 ???? 值与图 8(a) 所示的小 ?? 值处观察到的图形凸侧附近的交点线性连接来确定的。
图 8.

回归分析中 ???? 值的假定设计方程。(a) 线性化幂函数，以及 (b) 假定设计方程。表 2 展示了由回归分析确定的假定幂函数的系数和幂指数，如图 8(a) 所示。如表 2 所示，当 ?? 从 0.5 增加到 1 时，幂指数 ?? 略有增加，但保持在接近 0.5 的水平。相反，当 ??>1 时，?? 增加更为明显，对于 ??=8，取决于 ?? 的范围，其值达到 0.528 和 0.748。代表幂函数大小的系数 ?? 通常随着 ?? 的增加而减小。当 ?? 从 0.5 增加到 1 时，变化很小，但当 ??>1 时，减小变得更加明显。因此，当 ??<1 时，?? 和 ?? 的值与 1.04 和 0.5 没有显著差异，而当 ??>1 时则观察到明显的差异。正如文献 [20] 所指出的，系数 1.04 和幂指数 0.5 是通过静水压力下的理论值回归分析确定的。此外，它也被用于静水压力条件下的 DNV 设计建议 [21] 中，如公式 (9) 所示。

表 2. 在组合静水 - 轴向载荷和静水条件下的 ???? 值。

| ?? (m) | ?? | ???? (????/????(??=0.5)) | hydrostatic | 组合静水 - 轴向载荷 n = 0.5 | n = 1 | n = 2 | n = 4 | n = 8 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 23 | 8.16 | 7.6(100%) | 6.86(90.3%) | 5.71(75.2%) | 4.2(55.3%) | 2.73(35.9%) |
| 41 | 52.63 | 14.44(100%) | 13.76(95.3%) | 12.39(85.8%) | 10.33(71.5%) | 7.74(53.6%) |
| 63 | 43.42 | 21.22(100%) | 20.54(96.8%) | 19.28(90.9%) | 16.84(79.3%) | 13.43(63.3%) |
| 86 | 10.52 | 28.16(100%) | 27.35(97.1%) | 25.86(91.8%) | 23.32(82.8%) | 19.49(69.2%) |
| 109 | 53.94 | 34.95(100%) | 34.29(98.1%) | 33.04(94.6%) | 30.35(86.8%) | 25.9(74.1%) |

因此，在本研究中，当 ??<1 时，应用了前研究 [20] 中的简化方程，并且 ????,???????? 值通过公式 (16) 获得。对于 ??>1，使用表 2 中 ??<5000 情况下的值构建了幂函数，同时采用 DNV 设计标准 (公式 (9)) 中的基本公式，以确保对于小的 ?? 理论值能得到良好的近似，如图 8(b) 所示。具有销 - 销边界条件的吸力桶的 ???? 值可以通过公式 (19) 和 (20) 确定如下：

(19) $C_p = C_{p,min} \sqrt{1 + \left(\frac{\rho \cdot 1.04 \cdot Z^{0.5}}{C_{p,min}}\right)^2}$ 当 $n \le 1$ 时

(20) $C_p = C_{p,min} \sqrt{1 + \left(\frac{\rho \cdot a_1 \cdot Z^{p_1}}{C_{p,min}}\right)^2}$ 当 $1 < n \le 8, Z \le 5000$ 时

在公式 (19) 和 (20) 中，可以采用 DNV [21] 规定的系数 $\rho$ 来考虑由于初始缺陷和残余应力引起的不确定性，并且在吸力桶设计中可以使用 $\rho=0.6$。表 2 中关于 $\n$ 值的系数 $a_1$ 和幂指数 $p_1$ 可以通过以下方程 (公式 21 和 22) 确定，这些方程是使用假定幂函数从回归分析中得出的。

(21) $a_1 = 1.04$ 当 $0.5 \le n < 1$ 时
$a_1 = 1.04 \cdot n^{-1.07}$ 当 $1 \le n \le 8, Z \le 5000$ 时

(22) $p_1 = 0.5$ 当 $0.5 \le n < 1$ 时
$p_1 = 0.5 \cdot n^{0.2}$ 当 $1 \le n \le 8, Z \le 5000$ 时

最后，当 $\n>1$ 且 $\rho=1$ 时，图 7(a) 中获得的 FEA 结果与使用公式 (19) 至 (22) 提出的设计方程之间的比较在图 9 中展示。

图 9. 本研究提出的方程与使用特征值分析的有限元分析结果的比较。

5.2. 使用提出的设计方程建议的屈曲系数迭代计算

吸力桶基础的应力比，定义为 $\n=\sigma_x/\sigma_y=\sigma_l/\sigma_c$，取决于由上部结构自重和应用吸力压力 (??) 引起的轴向载荷产生的附加纵向应力 ($\sigma_{sw}$) 的大小。此外，由于桶基础安装过程中所需的吸力压力取决于嵌入裙边长度，因此在安装过程中的每个加载步骤中，桶的 $\n$ 值都是不同的，因为随着有效裙边长度的减小，吸力压力会增加。因此，有必要考虑每个加载步骤中更新的吸力压力来定义适当的 $\n$ 值。

为了实现这一点，本研究提出了一种在每个加载步骤中通过考虑附加轴向载荷以及相应的吸力压力来更新 $\n$ 值的方法。图 10 说明了在不同载荷条件下更新 $\n$ 以确定临界吸力压力的迭代过程。

图 10. 考虑更新 $\n$ 值的 $C_p$ 和 $p_{cr}$ 迭代计算流程图。

在此过程中，$\n$ 初始设置为 0.5，代表纯静水压力状态。然后计算 $\sigma_c, \sigma_l$ 和 $\sigma_{sw}$（由于上部结构的自重 (图 10 中的 SW)）以考虑附加轴向载荷来更新 $\n$ 值。使用更新后的 $\n$，重新计算 $\sigma_l$ 和 $C_p$。随后，重新计算 $\sigma_c, \sigma_l$ 和 $\sigma_{sw}$ 并与之前获得的 $C_p$ 进行比较。重复此迭代过程，直到连续值之间的差异变得可以忽略不计，此时使用收敛的 $C_p$ 确定吸力压力。

6. 示例桶基础的弹性和非弹性屈曲行为评估

6.1. 基于特征值分析的桶基础弹性屈曲强度评估

为了评估提出的设计方程以及在吸力桶安装过程中获得合理 $\n$ 值的迭代过程，选择了几个设计示例，如表 3 所示。目标吸力桶的直径为 6 米和 12 米，裙边厚度从 15 毫米到 40 毫米不等。由于有效屈曲长度 ($L_{eff}$) 取决于吸力安装过程中桶的嵌入长度，因此 $L_{eff}$ 选择在 1 米到 12 米之间。作用在每个吸力桶上的附加自重从 0 变化到 6000 kN。目标导管架结构代表一台在约 40 米水深处运行的 15 MW 风力发电机。假设 6000 kN 的最大值代表根据初步设计考虑转移到单个吸力桶的导管架自重的部分。通常，吸力桶经常与导管架结构一起安装，而塔筒和风机随后安装，因为风机安装船 (WTIV) 的起重能力有限。因此，本研究在评估吸力安装阶段的载荷条件时考虑了这种安装场景。本研究中考虑的样机四腿导管架的重量约为 24,000 kN，这导致每个吸力基础上作用约 6000 kN 的附加轴向载荷。为了清楚地分析自重对吸力桶屈曲的影响，我们分别分析了代表无自重、一半自重和完全自重的三种情况。如表 3 所示，吸力桶的长径比 ($L/d$) 选择在 1 到 2 之间，径厚比范围为 300 到 600，这通常用于当前的设计实践 [7]。

表 3. 由回归分析确定的假定方程的系数和幂指数。

| $\n$ | $\n \le 5000$ ( $\n_1$, $\np_1$ ) | $5000 < \n \le 300000$ ( $\n_2$, $\np_2$ ) |
| :--- | :--- | :--- |
| 0.5 | 1.123, 0.492 | 1.043, 0.501 |
| 0.6 | 1.106, 0.494 | 1.038, 0.501 |
| 0.7 | 1.09, 0.495 | 1.032, 0.502 |
| 0.8 | 1.074, 0.497 | 1.027, 0.502 |
| 0.9 | 1.06, 0.498 | 1.022, 0.502 |
| 1 | 1.04, 0.5 | 1.017, 0.503 |
| 2 | 0.498, 0.584 | 0.968, 0.506 |
| 4 | 0.234, 0.669 | 0.879, 0.514 |
| 8 | 0.112, 0.748 | 0.725, 0.528 |

在特征值分析中，应用于 FEA 模型的载荷条件包括静水压力和轴向载荷。轴向应力 ($\sigma_l+\sigma_{sw}$) 和环向应力 ($\sigma_c$) 的比率由前几节中提出的更新 $\n$ 值确定。表 4 展示了使用图 10 所示过程确定的更新 $\n$ 值通过特征值分析获得的选定 FEA 结果。图 11 展示了基于特征值分析的更新 $\n$ 值、屈曲系数和屈曲压力，图 12 展示了有无附加载荷影响的吸力桶屈曲系数的减小。如表 4 和图 11 所示，$\n$ 值随着附加轴向载荷 $\n$ 和有效长度 $L_{eff}$ 的增加以及裙边厚度 $\t$ 的减小而增加。

表 4. 本研究中使用的 FEA 模型设计范围。

| 情况 | $L/d$ | $L_{eff} (m)$ | $\n$ | $d (m)$ | $t (mm)$ | $d/t$ | $E (GPa)$ | $\v$ | $P (kN)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1 | 11 | 1 – 12 (12 种情况) | 3.97 – 572.4 | 12 | 40 | 300 | 210 | 0.3 | 0, 3000, 6000 |
| 2 | 7.95 – 1144.72 | 0600 | 32 | 15.9 – 2289.562 | 0300 | 42 | 21.2 – 3052.615 | 400 |

图 11. 使用更新 $\n$ 值通过特征值分析确定的吸力桶屈曲系数和屈曲压力。(a) 更新的 $\n$ 值，(b) 屈曲系数 $C_p$，(c) 临界吸力压力 (??)。

图 12. 由特征值分析确定的屈曲系数 $C_p$ 比率 (有和无附加轴向载荷) 相对于有效长度 $L_{eff}$。

对于裙边厚度相对较厚为 40 毫米的情况 1，在最大有效长度 12 米时，更新的 $\n$ 值最大为 0.579，表明附加载荷的影响最小。在情况 2 中，随着裙边厚度变薄至 20 毫米，在最大有效长度 12 米时，$\n$ 值增加至最大 0.95。在这两种情况下，$\n$ 值低于 1，表明附加载荷对局部屈曲的影响最小。当施加 6000 kN 的附加载荷时，与无附加载荷的情况相比，当有效长度为 4 米时，屈曲系数减小了约 1.75%，如表 4 所示。

另一方面，在情况 3 和 4 中，它们的厚度相对较薄 (20 毫米和 15 毫米) 且长径比 ($L/d$) 较大，附加载荷的影响相对显著，在有效长度 12 米时分别显示最大 $\n$ 值为 1.164 和 2.01。因此，图 11 中由特征值分析确定的临界吸力压力显示出相似的趋势，因为它可以乘以屈曲系数。

图 12 展示了有和无附加轴向载荷的屈曲系数 $C_p$ 相对于有效长度 $L_{eff}$ 的比率。对于情况 1 和情况 2 的所有情况，在 3000 kN 的轴向载荷下，有附加载荷的吸力桶屈曲系数的减小小于无附加载荷情况的 1%，表明附加载荷影响微乎其微。对于 6000 kN 轴向载荷下的情况 2，以及 3000 kN 轴向载荷下的情况 3 和情况 4，屈曲系数的减小约为无轴向载荷情况的 1% 到 2%。对于 6000 kN 载荷下的情况 4，屈曲系数的减小率最小为无轴向载荷条件的 2.7% 到 4.1%。

因此，附加载荷对吸力桶理论屈曲强度的影响表明，当使用较高有效长度配合相对较薄的裙边时，理论屈曲强度减小约 4%，并且发现这种强度减小随着附加载荷的增加和裙边厚度的减小而逐渐增加。此外，当 $\n<1$ 时，由于附加载荷导致的强度减小并不显著，但当 $\n$ 大于 1 时，附加载荷的影响可能会逐渐增加，这也是在前一节 (第 5.1 节) 中观察到的相同方面。

图 13 展示了从特征值分析和提出的设计方程获得的屈曲系数相对于 Z 参数的比率。分析获得的屈曲系数与提出的设计公式预测的屈曲系数之间的比较表明，提出的方法通常产生保守的估计，其值至少比特征值分析的结果大 5%。对于代表较大 $\n$ 值的 $P=6000kN$，随着 $\n$ 的增加，结果变得越来越保守。这些发现表明，提出的方法在考虑附加载荷影响的同时，可以提供更安全的预测。

图 13. 从特征值分析和提出的设计方程获得的屈曲系数相对于 Z 参数的比率。

6.2. 使用几何非线性有限元分析评估桶基础的非弹性屈曲强度

为了评估吸力安装过程中附加轴向载荷对吸力桶屈曲行为的非线性影响，本研究额外进行了考虑缺陷的几何非线性分析 (GNIA)，以考虑估算安装过程中的真实屈曲行为。该分析有两个不同的加载序列：(1) 由于上部结构引起的自重下，以及 (2) 沿同时环向和纵向方向作用的静水压力下，其中纵向的应力是环向应力的二分之一。本分析中使用的施加载荷和边界条件与特征值分析中使用的相同，如图 4 所示。基于文献，模型的初始缺陷选择为裙边厚度 ($\t$) 的 0.5 倍，并且从特征值分析 [25] 获得的第一屈曲模态形状被用于 GNIA 分析中。本研究中使用的幅值和屈曲模态形状在图 14(a) 和 (b) 中说明。

图 14.

本研究使用的 GNIA 模型配置及各种屈曲强度确定方法。(a) 初始缺陷形状和幅度（截面图），(b) GNIA 模型的屈曲模态形状示例，以及 (c) 本研究中使用的屈曲强度确定方法。为了从通过几何非线性分析导出的荷载 - 面外位移曲线中获得临界屈曲强度，采用了两种方法：膝点法和 $p-w^2$ 法。当初始荷载 - 位移响应中出现明显的最大荷载时，应用膝点法。在未观察到明显最大值且发生屈曲后行为的情况下，改用 $p-w^2$ 法；在 $p-w^2$ 曲线上绘制切线，取与 y 轴的交点作为临界屈曲强度，如图 14(c) 所示。表 5 显示了通过 GNIA 分析获得的选择有限元分析 (FEA) 结果的屈曲系数 ($C_p$)。图 15 显示了基于 GNIA 分析的屈曲系数和屈曲压力。基于表 5 和图 14，考虑非线性效应，在考虑和不考虑附加荷载效应的情况下，吸力桶屈曲系数的降低情况如图 16 所示。

表 5. 基于特征值分析的屈曲系数比较。

| 情况 | $L_{eff}(m)$ | $C_p$ (P = 0 kN) | P = 3000 kN | | | P = 6000 kN | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | $n$ | 特征值 | 差异 (%) | $n$ | 特征值 | 差异 (%) |
| 1 | 10.5 | 3.826 | 0.502 | 3.819 | ?0.2 | 10.505 | 3.807 | ?0.5 |
| 2 | 25.174 | 5.174 | 0.506 | 5.162 | ?0.2 | 10.512 | 5.152 | ?0.42 |
| 4 | 9.457 | 9.457 | 0.513 | 9.437 | ?0.2 | 10.526 | 9.417 | ?0.42 |
| 8 | 18.125 | 18.125 | 0.526 | 18.086 | ?0.2 | 20.553 | 18.045 | ?0.44 |
| 12 | 27.094 | 27.094 | 0.542 | 27.04 | ?0.2 | 0.579 | 26.986 | ?0.42 |
| 10.5 | 4.355 | 0.516 | 4.318 | ?0.87 | 0.532 | 4.28 | ?1.72 | |
| 2 | 7.044 | 7.044 | 0.536 | 6.989 | ?0.78 | 0.572 | 6.935 | ?0.55 |
| 4 | 13.261 | 13.261 | 0.574 | 13.145 | ?0.87 | 0.649 | 13.03 | ?1.7 |
| 8 | 25.697 | 25.697 | 0.65 | 25.49 | ?0.8 | 0.82 | 25.288 | ?1.59 |
| 12 | 37.671 | 37.671 | 0.725 | 37.348 | ?0.86 | 0.95 | 37.029 | ?1.73 |
| 10.5 | 5.174 | 5.174 | 0.524 | 5.131 | ?0.83 | 0.549 | 5.087 | ?1.68 |
| 2 | 9.457 | 9.457 | 0.552 | 9.378 | ?0.84 | 0.604 | 9.301 | ?1.65 |
| 4 | 18.125 | 18.125 | 0.606 | 17.966 | ?0.88 | 0.712 | 17.809 | ?1.7 |
| 8 | 35.438 | 35.438 | 0.712 | 35.144 | ?0.83 | 0.924 | 34.855 | ?1.64 |
| 12 | 52.663 | 52.663 | 0.818 | 52.229 | ?0.82 | 1.164 | 51.765 | ?1.71 |
| 10.5 | 5.845 | 5.845 | 0.551 | 5.765 | ?1.37 | 0.603 | 5.686 | ?2.72 |
| 2 | 10.876 | 10.876 | 0.607 | 10.719 | ?1.45 | 0.716 | 10.563 | ?2.88 |
| 4 | 21.043 | 21.043 | 0.717 | 20.745 | ?1.42 | 0.935 | 20.453 | ?2.88 |
| 8 | 40.96 | 40.96 | 0.936 | 40.266 | ?1.69 | 1.485 | 39.426 | ?3.75 |
| 12 | 60.324 | 60.324 | 1.182 | 59.269 | ?1.75 | 2.01 | 58.033 | ?3.8 |

图 15. 通过带有缺陷的几何非线性分析 (GNIA) 确定的吸力桶屈曲系数和屈曲压力。(a) 屈曲系数 $C_p$，以及 (b) 临界吸力压力 ($p$)。

图 16. 由 GNIA 确定的屈曲系数 $C_p$（包含和不包含附加轴向荷载）相对于有效长度 $L_{eff}$ 的比率。

总体而言，屈曲系数的降低显示出相似的趋势，这与特征值分析获得的结果一致。在较高的轴向荷载条件（即 6000 kN）下，与 3000 kN 轴向荷载条件相比，显示出更高的降低幅度。此外，案例 3 和 4 具有相对较薄的厚度（20 mm 和 15 mm）和较大的长径比（$L/d$），与案例 1 和 2 相比，显示出相对较低的屈曲系数和临界压力。（表 6）。

表 6. 基于非线性分析的屈曲系数比较。

| 情况 | $L_{eff}(m)$ | $C_p$ (P = 0 kN) | P = 3000 kN | | P = 6000 kN | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | FEA | 差异 (%) | FEA | 差异 (%) |
| 1 | 12.765 | 2.587 | ?6.42 | 2.553 | ?7.67 | |
| 2 | 2.656 | 2.619 | ?1.40 | 2.587 | ?2.645 | |
| 5 | 17.05 | 5.151 | ?0.36 | 5.163 | ?0.138 | |
| 11 | 66.4 | 11.62 | ?0.37 | 11.579 | ?0.731 | |
| 20 | 43 | 19.969 | ?0.37 | 19.774 | ?1.342 | |
| 12 | 28.9 | 2.228 | ?2.64 | 2.167 | ?5.332 | |
| 3 | 53.8 | 3.467 | ?2.0 | 3.396 | ?4.014 | |
| 7 | 85.3 | 7.734 | ?1.51 | 7.61 | ?3.098 | |
| 18 | 44.7 | 18.288 | ?0.86 | 18.07 | ?2.041 | |
| 28 | 94.1 | 28.565 | ?1.3 | 28.177 | ?2.643 | |
| 12 | 72.7 | 2.577 | ?5.5 | 2.509 | ?8.012 | |
| 4 | 95.4 | 4.847 | ?2.16 | 4.742 | ?4.284 | |
| 11 | 66.3 | 11.495 | ?1.44 | 11.324 | ?2.918 | |
| 27 | 44.5 | 27.096 | ?1.27 | 26.737 | ?2.581 | |
| 2 | 43.2 | 42.761 | ?1.1 | 42.355 | ?2.044 | |
| 12 | 92.2 | 2.862 | ?2.04 | 2.692 | ?7.872 | |
| 6 | 14.1 | 6.116 | ?0.4 | 5.994 | ?2.441 | |
| 4 | 7.3 | 13.819 | ?1.81 | 13.549 | ?3.738 | |
| 3 | 15.5 | 30.757 | ?2.5 | 29.832 | ?5.451 | |
| 2 | 49.5 | 48.626 | ?1.86 | 47.684 | ?3.76 | |

图 16 表明，与较小的附加荷载相比，较大的附加荷载会导致屈曲系数更大的降低，并且随着有效长度的减小，这种降低变得更加明显。这种降低在裙体厚度相对较小的案例 3 和 4 中尤为明显；然而，即使是对于较厚的裙体（案例 1 和 2），当有效长度较短时（案例 1 和 2 为 ≤6 m，案例 3、4 为 ≤3 m），也发生了明显的降低。总体而言，对于较小的有效长度，观察到的强度降低范围为 6.7% 至最高 8.2%，这超过了从特征值分析中获得的值。

7. 结论

为了吸力桶的经济设计以及在吸力安装过程中防止可能的吸力失效，本研究探索了吸力桶基础局部屈曲的理论和分析研究，考虑了施工期间的组合静水 - 轴向荷载条件，以确保结构稳定性。虽然以前的研究主要解决了静水压力条件下的屈曲行为，但由于上部结构自重产生的附加轴向荷载的影响仍然不清楚。本研究提出了吸力桶的理论屈曲系数，并建议了简化的设计方程以考虑安装期间附加自重的影响。基于这些发现，提出了一种合理的方法来确定组合静水 - 轴向荷载条件下吸力桶的屈曲强度。

1. 本研究提出了在组合静水 - 轴向荷载条件下，考虑安装期间附加轴向荷载效应，铰接 - 铰接支撑吸力桶的理论屈曲系数。为了提出新的屈曲系数，通过引入轴向和环向应力比（$n$），修改了 Batdorf [20] 建议的控制微分方程，以考虑从 0.5 到 8 的各种应力比，其中 0.5 代表仅静水压力，而 >0.5 代表组合静水 - 轴向荷载条件。最后，建议了考虑各种应力比的理论屈曲系数。
2. 为了提出实用的设计公式，建议在 $Z$ 参数 <5000 的有限设计范围内，通过结合当前的 DNV 方程 [21] 和幂函数提出简化设计方程，旨在涵盖吸力桶基础足够的实际设计范围。基于理论屈曲系数的回归分析，发现当 $n≤1$ 时，附加自重的影响最小，增加 $n$ 值会影响屈曲系数和吸力桶强度的降低。此外，当 $n$ 大于 2 时，发现屈曲系数的降低随着 $n$ 的增加而增加。
3. 为了估算安装期间的实际屈曲强度，考虑每个安装步骤的附加轴向荷载，本研究提出了 $C_p$ 和 $p_{cr}$ 的迭代计算过程，以考虑纵向和环向方向的应力比。基于此过程，可以考虑每个荷载步骤的有效长度和更新的 $n$ 值，获得吸力桶的屈曲强度和临界吸力压力。
4. 基于具有不同 $L/d$ 比率和裙体厚度范围为 15 mm 到 40 mm 的四个不同设计实例，本研究调查了由于组合静水 - 轴向荷载条件导致屈曲失效的可能性。对于裙体厚度大于 20 mm 的案例，发现附加自重的影响相对较小，因为各种有效长度的桶的 $n$ 值 <1。然而，对于 $L/d$ 为 2 的 15 mm 和 20 mm 案例，与其他案例相比，组合荷载的影响相对明显。对于这些案例，与纯静水条件相比，屈曲系数方面的强度降低约为 2.7% 到 4.1%。在考虑的轴向荷载范围内（高达 6000 kN），附加轴向压缩对理论屈曲强度的影响相对较小；然而，如 图 7 和表 1 所示，较大的轴向荷载可能导致更明显的降低。
5. 基于几何非线性分析，也调查了安装期间吸力桶附加轴向荷载的影响。结果表明，当裙体厚度相对较小于时，屈曲系数的降低变得更加明显。在本研究考虑的案例范围内，从 GNIA 获得的强度降低相对大于从特征值分析获得的降低，显示为 6.7% 到 8.2%，特别是对于较小的有效长度。

CRediT 作者贡献声明

Jeonghwa Lee：写作 – 审查与编辑，写作 – 原稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析。
Yun Wook Choo：写作 – 审查与编辑，写作 – 原稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目行政，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。

Jeonghwa Lee | Yun Wook Choo
公州国立大学，忠南工程学院，土木与环境工程系，韩国忠州市 31080