综述：现代电力系统电压稳定评估：方法与指标的结构化综述

《Energies》：Voltage Stability Assessment in Modern Power Systems: A Structured Review of Methods and Indices

　　

摘要

逆变器接口资源（inverter-based resources, IBR）渗透率的不断提高以及现代电力系统日益增长的复杂性，使得电压稳定评估成为输电网络运行的一个关键方面。本文综述了用于电压稳定评估的主要方法和指标，重点阐述了其在实时监测和逆变器主导电网（inverter-dominated grids）中的适用性。该综述涵盖了长期和短期电压稳定方法，包括L指数（L-index）方法、基于雅可比矩阵（Jacobian）和奇异值（singular-value）的技术、基于李雅普诺夫指数（Lyapunov-exponent）的方法、基于轨迹的指标，以及近期的人工智能应用。研究针对每种方法讨论了其主要优势、局限性、计算需求以及适用于基于相量测量单元（PMU）监测的程度。分析表明，没有任何单一指标能够完全描述所有电压失稳现象。相反，将互补的静态与动态指标相结合，可为未来电力系统中的广域监测和实时运行支持提供更完整的基础。此外，本文还讨论了与阈值定义、在演变电网条件下的鲁棒性，以及将数据驱动技术集成到运行稳定性评估方案中相关的主要开放性挑战。

1. 引言

电压稳定已成为现代电力系统运行与规划中最关键的挑战之一。从传统同步发电向换流器接口可再生能源的逐步转变，加上输电网络复杂性的增加和电力需求的持续增长，显著改变了电力系统的动态行为。在此演变背景下，在正常运行条件和扰动下维持可接受的电压曲线正变得越来越困难，尤其是在薄弱或高负荷压力的网络中。

传统上，电压失稳现象主要与无功功率支撑不足、长距离输电走廊、重负荷系统以及负荷需求增加导致的电压幅值逐步下降相关。然而，光伏系统、风电场、电池储能系统和高压直流（HVDC）换流器等逆变器接口资源（inverter-based resources, IBR）的广泛渗透引入了新的运行挑战和动态交互，这些难以用传统稳定性评估方法（[1,2]）充分捕捉。与同步发电机不同，逆变器接口发电机具有更快的动态特性、有限的过载能力和依赖于控制的行为，这些特征深刻影响着短期和长期电压稳定机制。

电压失稳可在不同时间尺度和不同物理机制下发展。长期电压失稳通常与涉及有载调压分接头、无功功率限制、负荷恢复机制和电压控制动作的慢动态相关。相反，短期电压失稳则以涉及感应电动机、换流器接口发电系统、高压直流（HVDC）联络线和快速响应负荷的快速暂态现象为特征（[3,4]）。在现代电力系统中，这些机制往往是相互关联的，使得电压稳定评估更具挑战性。

为解决这些问题，近几十年来文献中提出了大量的电压稳定评估（voltage stability assessment, VSA）方法和电压稳定指标（voltage stability indices, VSIs）。经典方法包括基于雅可比矩阵的方法、灵敏度分析、模态分析、连续潮流技术，以及诸如著名的L指数（L-index）等负荷裕度指标（[5,6]）。近年来，基于相量测量单元（Phasor Measurement Units, PMUs）获取的同步相量测量的基于测量和免模型方法，因其适用于实时监测应用而受到广泛关注（[7,8]）。与此同时，数据驱动和人工智能技术已成为稳定性预测和在线安全评估的有力工具（[9,10]）。

尽管提出了大量方法论，但没有任何单一指标或评估技术能够完全表征现代电力系统中的所有电压失稳机制。许多方法表现出与计算复杂度、对测量噪声的敏感性、对精确系统模型的依赖，或在演变运行条件和高比例可再生能源渗透下的适用性受限相关的局限性。此外，PMU和广域监测系统的日益部署正在将焦点从离线安全研究转向在线和预测性稳定评估方案。

在此背景下，本文对现代电力系统中目前采用的电压稳定评估主要方法和指标进行了结构化综述。综述涵盖了长期和短期电压稳定方法，包括基于模型、基于测量和数据驱动的技术。特别关注了所评述方法在以高比例逆变器接口资源和同步测量可用性为特征的现代输电网络中的适用性。文章对每种方法的主要理论原理、优势、局限性、计算需求和实际实施方面进行了批判性讨论。

本文其余部分组织如下。第2节介绍电压稳定的基本概念并讨论逆变器接口资源的影响。第3节介绍电压稳定评估方法的分类。第4节和第5节分别评述主要的长期和短期电压稳定评估方法。第6节对所评述技术进行比较综合，并给出在现代监测系统中实施的实用考虑。最后，第7节总结主要结论并讨论未来研究方向。

2. 现代电力系统中的电压稳定

本节为本文后续评述的评估方法建立所需的物理背景。首先，总结了主要的长期和短期电压失稳机制。随后，讨论重点放在逆变器接口资源如何通过其依赖控制的行为、电流限制以及与电网强度的交互来改变这些机制。

2.1. 电压稳定基础

电压稳定是指电力系统在正常运行条件下以及遭受扰动后，在所有母线维持可接受电压幅值的能力（[6,11]）。电压失稳通常表现为电压幅值的渐进且不可控制的下降，可能导致电压崩溃和大范围供电中断。该现象与发输电系统提供负荷和网络组件所需无功功率的能力密切相关。

传统上，电压稳定问题与重负荷输电走廊、无功功率支撑不足、远距离功率传输和不利的网络配置有关。在压力运行条件下，有功和无功功率需求的增量增加可能导致过度的电压下降，使系统运行点趋向失稳区域。在这些情况下，与潮流方程相关的雅可比矩阵逐渐变得病态，并最终在电压崩溃点变得奇异（[6]）。

电压稳定评估必须与传统的静态安全分析相区别。静态安全主要侧重于通过稳态潮流计算识别热极限越限和不可接受的电压幅值，而电压稳定分析还额外考虑扰动后系统的动态演变以及网络恢复可接受运行条件的能力（[12]）。在实践中，扰动可能触发涉及保护系统、发电机无功功率限制、负荷动态和输电线路跳闸的级联事件，可能导致严重的电压恶化或系统崩溃。

根据主导动态和失稳过程的特征时间尺度，电压失稳现象通常分为长期和短期两类（[2,3]）。如图1所示，长期电压稳定通常与涉及有载调压分接头、发电机励磁系统、无功功率限制、恒温控制负荷和电压控制动作的慢动态相关。这些现象通常在几秒到几分钟的时间间隔内演变，并通常以系统无法恢复无功功率平衡导致的渐进电压衰减为特征。

[图1：根据主导动态和特征时间尺度的电压失稳现象分类]

相反，短期电压稳定由涉及感应电动机、电力电子换流器、高压直流（HVDC）联络线、电子控制负荷和逆变器接口发电系统的快速动态现象主导。其特征时间尺度为扰动后的几分之一秒到几秒（[13]）。与短期电压失稳相关的最常见机制之一是感应电动机堵转。在严重电压跌落期间，感应电动机减速，同时从网络吸收大量无功电流。如果电动机转速低于临界阈值，再加速可能不再可能，导致长时间的低电压状态，并可能触发级联失稳现象。

在以高比例逆变器接口资源为特征的现代电力系统中，传统的电压失稳机制正在演变。换流器接口可再生能源可以在一定程度上将机械动态与电网电压行为解耦，降低了某些经典失稳机制的相关性，同时引入了新的控制相关动态交互（[4]）。因此，电压稳定评估日益需要静态运行条件与快速动态响应的结合分析。

与稳定和不稳定运行条件相关的典型电压轨迹如图2所示。扰动后，稳定系统的特征为暂时电压跌落随后恢复到可接受的稳态条件。长期电压失稳通常表现为缓慢渐进的电压退化，而短期失稳则与由快速动态交互和无功功率支撑不足引起的快速电压崩溃相关。

[图2：扰动后与稳定运行、长期电压失稳和短期电压失稳相关的典型电压轨迹]

从运行角度来看，电压稳定与输电系统无功功率资源的管理密切相关。无功补偿装置、同步调相机、发电机励磁系统、静止无功补偿器、STATCOM和换流器接口资源都有助于维持可接受的电压曲线和保持足够的稳定裕度。因此，准确的电压稳定评估在长期规划研究和实时运行决策中都起着至关重要的作用。

2.2. 逆变器接口发电系统对电压稳定的影响

并网的现代逆变器接口发电系统（IBRs）与传统同步发电机相比无疑表现出更快的动态特性。逆变器控制策略决定了稳态行为，并在本质上主导了事故后的暂态响应。

此类发电系统的失稳或脱网会增加功率流动，导致电压失稳，部分原因也在于这些新型发电系统原本提供的无功功率支撑的缺失。即使没有脱网，也应注意在临界条件下，换流器电流幅值可能达到其最大允许值，此时表现为电流源，整个系统可能变得不稳定。

因此，在可信事故后，此类发电系统保持并网并有效支撑电压水平至关重要。值得强调的是，它们还必须帮助减轻频率变化，且可再生能源的间歇性可能加剧失稳现象。

关键情况强烈依赖于电网强度，也称为电网刚度，广泛用于描述电力系统在事故下维持电压稳定的能力。该参数还显著影响逆变器与电网的同步能力；当连接到短路容量不足的母线时，可能发生失稳或负阻尼振荡。

定义短路比（Short Circuit Ratio, SCR）参数来表征电网强度。如果一个通用母线连接逆变器接口资源，SCR定义为：

SCR = S_ac / P_rated （1）

其中S_ac是所考虑母线处的短路视在功率，P_rated是连接到同一母线的逆变器接口资源的额定功率。

该指标适用于单个发电系统，但不能完全考虑附近发电机组的存在。当存在多个IBR系统时，提出了替代指标，如加权短路比（Weighted Short Circuit Ratio, WSCR）（[14]），定义为：

WSCR = ΣS_ac,i / ΣP_rated,i （2）

其中S_ac,i是连接到第i个逆变器接口资源的母线处的短路视在功率，P_rated,i是相应逆变器接口资源的额定功率。

文献中还提出了若干额外指标来评估高比例逆变器接口资源网络中的系统强度。复合短路比（Composite Short-Circuit Ratio, CSCR）（[1]）通过将电气上接近的多个IBR聚合成一个复合节点来扩展传统SCR概念。CSCR定义为：

CSCR = S_ac,c / P_rated,c （3）

其中S_ac,c是复合母线处的短路视在功率，P_rated,c代表所考虑区域内连接的所有逆变器接口资源的总额定功率。

加权短路比（WSCR）和复合短路比（CSCR）都基于逆变器接口资源电气上彼此接近的假设。因此，它们忽略了换流器母线之间的阻抗，可能无法准确表示以地理分布的IBR之间强电气交互为特征的系统。

为克服此限制，参考文献（[15]）中引入了等效短路比（Equivalent Short-Circuit Ratio, EqSCR）。EqSCR通过考虑换流器母线之间的交互，显式考虑了网络拓扑和多逆变器接口资源之间的电气耦合。这使得在现代可再生能源主导的输电系统中能更准确地表征弱电网条件。

当SCR值不足时，要么必须安装同步电机（可能作为同步调相机运行），要么逆变器运行理念必须转向构网型（grid-forming）概念。在此运行模式下，逆变器不再表现为通过锁相环同步到电网的电流源，而是通过直接调节电压幅值和频率来模拟同步电机的行为。因此，换流器表现为能够主动支持系统电压稳定的电压源。

换流器技术类型也对电压稳定行为有显著影响。电网换相换流器（Line-Commutated Converter, LCC）HVDC系统在扰动期间具有显著的无功功率吸收特性，因此可能加剧弱电网条件下的电压失稳现象。相反，电压源换流器（Voltage-Source Converter, VSC）技术提供了增强的有功和无功功率可控性，允许改进的电压支撑能力和更灵活的运行（[1]）。

从电压稳定评估的角度来看，逆变器接口资源的影响还必须根据所考虑的时间尺度加以区分。在准稳态研究中，可行运行点和相关的潮流雅可比矩阵取决于换流器无功功率能力、电流限制、有功功率设定点、厂级电压控制以及采用的跟网型（grid-following）或构网型（grid-forming）控制模式。一旦换流器达到其电流限制，有功和无功功率就不能再被视为独立可控。因此，假设无限制无功功率支撑的静态指标可能高估实际稳定裕度。

在短期时间尺度上，锁相环和电流控制动态、故障穿越逻辑、有功或无功电流优先级、保护设置以及故障后有功功率恢复可能主导电压轨迹。构网型控制可以改善弱电网中的电压和频率支撑，但其贡献仍受换流器电流限制和控制设置的约束。因此，经典基于模型的指标在明确表示换流器运行模式、控制和限制的情况下，对于识别网络压力仍然有用。基于PMU的动态指标提供了关于实际扰动后响应的补充信息，并且当快速换流器交互无法由准稳态模型充分表示时尤其相关（[1,2,4]）。

向换流器主导电力系统的持续过渡正深刻改变着控制电压稳定的机制。同步发电被逆变器接口资源逐步替代降低了系统强度，并改变了有功功率传输、无功功率支撑和电压调节之间的交互。因此，有功功率流与电压幅值之间弱耦合的经典假设（许多传统电压稳定评估方法的基础）正逐渐变得不那么准确。因此，电压稳定不能再仅被视为无功功率充足性问题，而应分析为有功和无功功率动态、换流器控制动作和网络强度耦合的结果。

2025年4月28日影响伊比利亚电力系统的大规模停电事件进一步凸显了换流器丰富的电力系统中电压失稳现象的日益复杂性。根据ENTSO-E专家小组（[16]）进行的最终调查，该事件是由技术、运行和控制相关因素组合造成的，电压控制和无功功率管理在级联事件序列中发挥了核心作用。该扰动并非归因于可再生能源发电本身，而是证明了换流器控制策略、网络强度、无功功率支撑和系统运行条件之间的交互可能显著影响现代输电网络中的电压稳定。这些发现加强了对于能够将静态运行裕度与适用于实时监测和决策支持的动态指标相结合的电压稳定评估方法的需求。

图3总结了逆变器接口资源影响现代电力系统电压稳定的主要机制。

[图3：逆变器接口资源影响现代电力系统电压稳定的主要机制]

3. 电压稳定评估方法

3.1. 文献选择标准

本研究是作为结构化叙述性综述而非按照PRISMA方案进行的正式系统性综述。文献检索主要通过IEEE Xplore、Scopus和Web of Science进行，Google Scholar用作引文追踪和识别相关技术报告的补充来源。检索结合了诸如电压稳定评估、电压稳定指标、电压崩溃、短期电压稳定、长期电压稳定、PMU、广域监测、逆变器接口资源、构网型换流器、雅可比方法、李雅普诺夫指数和人工智能等术语。

主要发表窗口涵盖2020年至2025年，而早期开创性贡献在需要描述所评述方法理论基础时予以保留。符合条件的来源包括提出、分析或比较电压稳定评估方法的同行评审期刊和会议论文以及权威技术报告；涉及长期或短期电压稳定；或考察基于PMU的监测、逆变器主导系统或实时实施。重复记录、非技术出版物、仅关注电压控制而无稳定评估成分的研究以及缺乏足够方法细节的著作被排除。

所选文献根据失稳现象的特征时间尺度、模型依赖性、测量要求、计算负担和在线监测适用性进行组织。因此，本文应被解释为结构化专家综合而非该领域所有出版物的详尽系统图谱。在最终更新综述前可获得的、与近期系统事件直接相关的官方技术报告也被额外考虑。

3.2. 电压稳定评估方法

电压稳定评估（Voltage Stability Assessment, VSA）方法可大致分为两类：长期和短期方法。长期方法主要旨在准稳态假设下评估系统运行点接近电压崩溃条件的程度，而短期方法则关注严重扰动后电压的快速动态演变。

从方法角度来看，长期电压稳定方法通常分为三大类：基于模型的方法；预防性或混合方法；基于测量的方法。

基于模型的技术依赖于网络模型的详细知识，包括导纳矩阵、发电机模型、负荷表示和潮流雅可比矩阵。这些方法通常包括连续潮流技术、灵敏度分析、模态分析、奇异值分解方法和负荷裕度指标。其主要优势在于获得的稳定裕度具有很强的物理可解释性。然而，由于需要持续更新的准确网络模型，其在实际运行环境中的实施可能具有挑战性。

预防性和混合方法将离线模拟与在线监测技术相结合。在这些方法中，离线分析大量运行条件和事故组合，以识别关键运行区域并导出适合在线部署的简化稳定指标。此类方法在计算效率和物理精度之间提供了折衷，允许运行人员无需实时执行完整动态模拟即可估计稳定裕度。

另一方面，基于测量的方法利用PMU和广域监测系统（Wide Area Monitoring Systems, WAMS）提供的同步相量测量。这些方法直接根据电压和电流测量估计稳定裕度，无需完全了解系统模型。戴维南等效方法、基于阻抗的方法和数据驱动技术属于此类。其主要优势在于在持续变化的运行条件下以及以高比例逆变器接口资源为特征的现代电网中的适应性。

图4总结了本文讨论的电压稳定评估方法的主要分类。

[图4：现代电力系统中电压稳定评估方法分类]

短期电压稳定评估方法则主要关注扰动后系统的即时动态响应。这些方法通常依赖高频PMU测量，并具有严格的实时要求。由于需要快速检测能力，短期方法通常避免详细的参数估计，而直接处理电压轨迹。

研究最广泛的短期指标包括基于李雅普诺夫的方法、基于轨迹的指标、暂态电压偏差指示器和事故严重度指标（[3,17]）。特别是，最大李雅普诺夫指数（Maximum Lyapunov Exponent, MLE）方法因其免模型特性以及直接从测量电压轨迹提供失稳早期指示的能力而日益受到关注。

不同的VSA方法也可根据其实施所需的信息量进行分类。一些方法需要完整的网络知识，包括拓扑和动态模型，而另一些方法则仅在本地电压测量上运行。同样，不同技术之间的计算要求也可能存在显著差异。经典静态指标通常计算效率高，因此适用于在线应用，而详细动态模拟和基于优化的方法可能对实时部署要求过高。

另一个重要方面涉及这些方法在以高比例可再生能源和逆变器接口发电为特征的现代运行条件下的适用性。若干传统方法最初是为同步电机主导系统开发的，因此在换流器主导网络中可能需要重大调整。特别是，系统惯量的减少、换流器控制动态日益增强的相关性以及电力电子接口的广泛存在正在逐步改变与电压失稳现象相关的机制。

对于实际运行部署，电压稳定评估技术应满足若干重要要求：有限的计算负担；实时适用性；对测量不确定性和噪声的鲁棒性；在不同运行条件下的适应性；提供足够早期预警信号的能力；所获得的稳定指标的物理可解释性。

因此，适当指标的选择不仅取决于理论精度，还取决于与测量基础设施、通信系统、计算平台以及输电系统运营商采用的决策程序相关的运行约束。

3.3. 对换流器主导电力系统的适用性

逆变器接口资源渗透率的增加并不使传统电压稳定指标本质上失效，因为母线电压、电流和功率注入之间的代数关系仍然适用。然而，这些方程所表示的运行点以及由此产生的指标的解释变得取决于换流器控制模式、电流限制、网络强度和感兴趣的时间尺度（[14,15]）。在高比例逆变器接口资源的系统中，换流器控制拓宽并耦合了传统上与电压、角度和频率稳定相关频率范围。因此，准稳态指数不应被解释为换流器驱动稳定性的完整度量（[1,2,18,19]）。

对于基于潮流、导纳和雅可比的方法，主要调整涉及运行模型的公式化而非指标的代数定义。逆变器接口资源应按照其实际稳态控制目标表示——例如，恒定有功和无功功率、电压/无功功率控制或构网型电压控制——并应考虑其无功功率能力、电流饱和以及有功/无功电流优先级逻辑。已发表研究表明，逆变器控制模式能实质性影响静态电压稳定裕度，而电流饱和可以修改可行的功率注入以及换流器在扰动后恢复其电压控制模式的能力（[20,21]）。因此，静态指标在筛选网络压力方面仍然有用，但如果忽略换流器限制和运行模式转换，可能会高估可用运行裕度。

对于灵敏度、模态和奇异值方法，当简化的雅可比矩阵（reduced power-flow Jacobian）的基础解耦假设足够准确时，它仍然具有信息量。然而，在薄弱的多换流器网络中，锁相环动态、网络拓扑和换流器间交互可能实质性改变同步稳定裕度（[22,23]）。当有功-无功功率耦合显著时，准稳态分析应考虑完整的潮流雅可比矩阵，而不是仅依赖严格解耦的公式。对于小信号动态研究，线性化的微分代数模型应根据所研究的频率范围和时间尺度，包括锁相环、内环电流控制器、外环电压或无功功率控制器以及构网型控制回路的相关状态。

基于测量和基于轨迹的指标提供了关于实际扰动后响应的补充信息，并且较少依赖对专有换流器控制的显式表示。然而，它们并非无参数：逆变器接口资源引入的更快且可能振荡的动态会影响所需的采样率、滤波程序、数值微分、移动窗口长度和决策阈值。因此，基于模型的准静态指标和基于PMU的动态指标应被视为互补而非可互换的评估工具（[8,19]）。

4. 长期电压稳定评估方法

长期电压稳定评估在准稳态假设下评估运行点接近电压崩溃条件的程度。本节评述的方法在数学公式、信息要求、计算负担和在线实施适用性方面有所不同。它们对换流器主导系统的适用性根据第2.2节和第3节引入的考虑进行解释。

4.1. L指数分析

为进行适当和严格澄清，参考开创性工作（[5]），该工作无疑可被视为电压稳定估计领域的基石。一个指标针对简单系统推导然后推广。选择聚焦此方法是因为该指标在现代互联电力系统背景下可以有效评估，前提是PMU适当分布在整个网络中以便估计系统配置。

4.1.1. 简单两母线系统的估计

考虑图5中示意性表示的系统。假设V₁和V₂是节点电压相量，I₁和I₂是节点电流相量，S₁和S₂表示相应的复功率。

[图5：具有一个发电母线和一个负荷母线的简单系统]

两端元件完全由导纳矩阵描述：

[I₁; I₂] = [Y₁₁ Y₁₂; Y₂₁ Y₂₂] [V₁; V₂] （4）

因此可以对节点2写出以下关系：

I₂ = Y₂₁V₁ + Y₂₂V₂ （5）

其中I₂ = S₂*/V₂*是复功率相关的电流。该关系可重写为：

S₂* = Y₂₂* |V₂|² + Y₂₁* V₁*V₂* （7）

其中Y₂₁ = |Y₂₁|∠θ₂₁，Y₂₂ = |Y₂₂|∠θ₂₂，V₁ = |V₁|∠δ₁，V₂ = |V₂|∠δ₂。定义V₀ = -Y₂₁V₁/Y₂₂和Z = 1/|Y₂₂|，则S₂* = |V₂|²/Z* - V₀*V₂/Z*。|V₂|由（7）确定。方程（7）可表示为：

S₂* = (V₀*V₂ - |V₂|²)/Z* （9）

这表明具有恒定模值|S₂|的运行点位于复平面V₂上的圆上，其圆心为V₀/2，半径为|V₀|/2。这些圆的包络提供了稳定极限。在包络处，由（8）给出的两个根重合，即|V₂| = |V₀|/2，且S₂ = |V₀|²/(4Z*)。由（9）可得|V₀| = 2|V₂|。在失稳条件下，模值关系为|V₀| = 2|V₂|，这促使指标L的定义：

L = |V₀|/|V₂| （17）

该指标取值在0和1之间。如（[5]）强调，指标L接近1作为稳定性内在度量与潮流雅可比矩阵变为奇异的考虑相关。对于设定的L值，由（17）可知曲线在S₂复平面上为椭圆。

4.1.2. L指数向复杂网络的扩展

向复杂网络的扩展显然需要区分负荷母线（PQ型）、发电母线（PV型）和松弛母线，因此应已知网络模型。实际上，PQ、PV和松弛母线是建模构造，在此仅用于构建L指数向多母线网络的理论扩展。该指标的实际使用仅需要负荷母线或发电母线的分类。

互联电力网络由矩阵关系描述，可分区为负荷母线（下标L）和发电母线（下标G），系统（20）可以方便地写成混合形式：

[V_L; I_G] = [H_LL H_LG; H_GL H_GG] [I_L; V_G] （21）

其中矩阵H_LL = Y_LL^-1，H_LG = -Y_LL^-1Y_LG，H_GL = Y_GLY_LL^-1，H_GG = Y_GG - Y_GLY_LL^-1Y_LG。所以可以写出：

V_L = H_LLI_L + H_LGV_G （23）

已表明从节点导纳矩阵分区获得的矩阵H_LL实际上是实值的，且每行元素之和接近1。若分别用n_L和n_G表示负荷和发电母线数量，则矩阵H_LL的维度为n_L×n_L。特别是，在（[24]）中证明了若n_G = 1，则以下关系成立：

H_LL·1 = 1 - |H_LG| （24）

如果n_G > 1，可以证明行和接近1。此矩阵在电压稳定分析中起着基础性作用。对每个负荷母线k，可以写出：

V_k = Σ_j∈αL H_LL,kjI_j + Σ_m∈αG H_LG,kmV_m （26）

其中节点集被划分为两个不相交子集α_L和α_G。关系（26）可写为：

1 = (Σ_j∈αL H_LL,kjS_j*/(V_k*V_j*)) + (Σ_m∈αG H_LG,kmV_m/V_k) （27）

该式可用负荷功率改写为：

V?_k = 1 - (Σ_m∈αG H_LG,kmV_m/V_k) （30）

方程（30）直接提示L指数从两母线系统向一般复杂网络的扩展：

L_k = |1 - (Σ_m∈αG H_LG,kmV_m/V_k)| （31）

其中L_k是第k个负荷母线的本地电压稳定指标。系统全局电压稳定指标为：

L_max = max_k∈αL L_k （32）

该指标的评估简单快速，因为不需要计算潮流雅可比矩阵的特征值和特征向量。然而，需要知道系统节点导纳矩阵，这可以通过适当分布的PMU提供的信息来估计。在这种情况下，必须提供PMU电流测量——或替代地提供能够估计电流的有功和无功功率测量。

4.2. 灵敏度矩阵与模态分析

众所周知，潮流的线性化模型（[25]）表示为：

[ΔP; ΔQ] = [J_Pθ J_PV; J_Qθ J_QV] [Δθ; ΔV] （33）

其中ΔP和ΔQ是运行点周围的节点有功和无功功率变化，Δθ和ΔV是节点电压幅值和相角变化向量。由（33）容易证明，如果ΔP = 0，以下变化模型适用：

ΔV = J_R^-1ΔQ （35）

其中J_R = J_QV - J_QθJ_Pθ^-1J_PV是简化的雅可比矩阵。因此可以定义灵敏度矩阵J_R^-1。矩阵J_R^-1表达了系统响应（节点电压变化）对网络无功功率需求变化。评估灵敏度的替代方法基于简化雅可比矩阵的模态分析（[6]）。灵敏度矩阵与简化雅可比矩阵密切相关。特别地，灵敏度也可以通过分析简化雅可比矩阵的特征值来评估。设X和Y为J_R的右和左特征向量矩阵，Λ为特征值矩阵，则J_R = XΛY。方程（35）可表示为：

ΔV = XΛ^-1YΔQ （36）

定义向量v = X^-1ΔV和q = YΔQ，得到：

v = Λ^-1q （38）

如果n是母线数量，这等价于n个解耦系统：

v_i = (1/λ_i)q_i （39）

失稳条件出现在λ_i = 0时。特征值λ_i量化了无功功率注入的增量变化如何影响节点电压幅值，因此直接指示系统接近电压失稳的程度。在稳定运行条件下，节点电压的小变化对应于无功功率的变化。简化雅可比矩阵的特征值因此是稳定的且幅值相对较大。