经验现实种群动态时间序列的符号回归

《Ecological Informatics》：Symbolic regression for empirically realistic population dynamic time series

　　

摘要翻译：
机器学习在生态学中的应用正在迅速扩展。符号回归因其在从模拟及实验室种群时间序列中逆向工程出人类可读的解释性种群模型（包括逻辑斯蒂增长和Lotka–Volterra方程）方面的成功而受到特别关注。然而，野外种群往往缺乏先前评估中所用理想化时间序列的特征。我们通过量化符号回归在采样密度、种群周期不对称性、过程噪声以及错误纳入虚假变量等变化的合成数据上的成功程度，评估了其对此类时间序列的实用性。我们进一步比较了两种用于估算种群增长率的预处理选项（即离散时间与连续时间方法），以及四种用于选择方程的工作流程（两种主观方法，通过视觉评估模型复杂度带来的性能增益；两种客观方法，通过量化性能指标确定模型选择）。结果表明，采样密度与过程噪声之间的权衡主要驱动了方程和变量的恢复。当采样密度低于每周期25个数据点时，符号回归未能恢复潜在方程；然而在较高采样密度下，过程噪声确实提高了方程恢复率。重要的是，尽管在每周期25个或更多数据点的采样密度下真实模型经常被恢复，但评估工作流程并未一致地将其选中。这种差异凸显了需要更稳健的算法后选择标准，以在竞争性候选方程中识别目标方程。

论文解读文章

研究背景与科学问题
生态学家长期致力于通过观测、实验和数学建模来揭示自然系统的模式与过程。传统的建模方式通常基于先验概念，例如逻辑斯蒂增长方程（Verhulst, 1838）和Lotka–Volterra方程（Lotka, 1925; Volterra, 1926），这些经典模型通过逻辑、直觉和第一性原理构建。然而，这种先验方法易受范式惯性和主观偏见影响，对于复杂或研究较少的系统可能产生偏差。近年来，数据驱动的建模方法逐渐兴起，其中符号回归（symbolic regression）因能生成人类可读、机制可解释的方程而备受关注。已有研究在模拟数据和实验室种群时间序列中成功恢复了逻辑斯蒂增长和Lotka–Volterra方程，证明了其潜力。然而，野外种群时间序列通常缺乏理想化模拟数据的高采样密度、规则周期和无过程噪声等特征，因此符号回归在野外相关条件下的适用性仍不清楚。现有评估大多假设极高的采样密度，且仅考虑已知的驱动变量，忽略了过程噪声、周期不对称、虚假变量以及方程选择工作流程的影响。为此，研究人员基于巨藻（Macrocystis pyrifera）的Bence-Nisbet机制模型生成经验相关的时间序列，系统评估了采样密度、过程噪声、周期对称性、增长率预处理方法以及四种方程选择工作流程对符号回归成功率的综合影响。这项研究填补了符号回归从理想化数据走向实际生态时间序列应用的关键知识空白。

主要技术方法
研究人员使用Bence-Nisbet时滞微分方程作为生成模型，该模型通过成年巨藻对幼体补充的空间竞争效应产生种群周期，并具有对称和不对称周期形态。在基础模型上引入了乘性过程噪声（即幼体定居率和成年死亡率受到随机扰动）。研究设置了六个案例，涵盖确定性对称/不对称周期（离散时间与连续时间预处理）以及低/高过程噪声下的不对称随机周期，每个案例均以每周期100、50、25、10和5个数据点的密度进行降采样。响应变量为每capita增长率，分别采用离散时间对数比率法和连续时间三次样条插值求导法计算。预测变量包括真实变量（A(t)、A(t?2)）和两个虚假自相关变量（A(t?1)、A(t?3)）。研究使用Python库PySR（v1.3.1）运行符号回归，每种条件独立运行100次，共3000次搜索。评估了四种方程选择工作流程：两种主观方法（基于MSE或ln(MSE)的Pareto前沿目视检查）和两种客观方法（PySR的score指标和贝叶斯信息准则BIC）。

研究结果
方程恢复与选择成功率：在四种工作流程下，Bence-Nisbet模型的恢复成功率在0%到75%之间波动，主要受采样密度和过程噪声影响，周期对称性和预处理方法无一致效应。客观工作流程（3和4）整体表现不如主观工作流程（1和2）。在采样密度低于每周期50个数据点时，除少数过程噪声存在的情况外，各工作流程几乎从未成功恢复真实方程。然而，当采样密度达到每周期25个以上数据点时，符号回归算法本身经常能演化出真实方程（黑色条形表示），但四种工作流程未能一致地将其从Pareto前沿中选中。

变量恢复与多样性：在Pareto前沿附近的顶部10个方程中，变量组合的多样性总体较低，最常出现的变量组合是A(t)和A(t?2)，频率为31.8%，其次是A(t)、A(t?1)和A(t?2)（23.2%）。随着采样密度提高，仅包含两个正确变量的方程频率在各个复杂度水平上明显增加。低采样密度下，虚假变量被纳入的频率上升，尤其是在过程噪声存在时。仅包含两个虚假变量A(t?1)和A(t?3)的方程极少出现（36,000个方程中仅178个）。值得注意的是，在采样密度≥25点/周期时，真实方程Bence-Nisbet模型出现在顶部10个方程中，且在其复杂度等级（14）内以最低MSE排名第一的概率为60%，但也存在排名下降甚至未进入Pareto前沿的情况。

讨论与结论
研究强调必须区分符号回归分析的三个不同环节：算法演化正确方程的能力、方程在Pareto前沿上的位置、以及工作流程的方程选择能力。尽管单次运行的成功率不高，但重复多次运行后，符号回归在高采样密度下经常能演化出正确方程，且这些方程往往排名靠前。这支持了高质量长期生态时间序列的价值。采样密度的影响并非源于经典混叠效应（所有采样频率均高于Nyquist-Shannon频率），而是通过降低插值精度和增长率估计的准确性来削弱数据的信息量。过程噪声反而能扩大系统吸引子的覆盖范围，增强数据信息量，从而提高恢复成功率。周期不对称和预处理方法的影响相对次要。虚假变量的引入表明，高采样密度下符号回归能正确识别真实驱动变量，但低采样密度下因自相关而出现虚假变量。研究结论指出，符号回归在数据信息充分且方程选择标准恰当的情况下可以恢复机制性种群模型，当前主要瓶颈并非方程生成，而是从动态等价的候选模型中识别出正确模型。因此，改进超越Pareto前沿依赖的后验评估标准（如引入结构可辨识性判据或动力学诊断指标）是方法论发展的重要方向，这将有助于制定符号回归在生态推断中的通用指导准则。该研究发表在《Ecological Informatics》。