考虑收敛模式复杂性的隧道开挖诱发地层变形双引擎预测方法

《TUNNELLING AND UNDERGROUND SPACE TECHNOLOGY》：An improved dual-engine predictive approach for strata deformation induced by tunnel excavation considering the complexity of convergence patterns

　　

摘要

隧道收敛模式是分析隧道掘进引起的地层变形时的一个关键边界条件，受复杂地质条件和施工活动的影响。然而，现有的解析方法依赖于理想化的收敛假设，限制了其准确反映实际工程条件下地层变形的能力。在先前开发的二元预测框架的基础上，本研究改进了解析公式和反演算法，并纳入了收敛模式的复杂性，从而能够更高效、更精细地预测地层变形。基于傅里叶级数和坐标变换，建立了隧道收敛模式的统一方程，能够准确描述隧道轮廓轨迹。利用三个独立坐标系之间的变换关系，建立了统一方程参数与隧道轮廓变形之间的解析关系，并推导了任意收敛模式下地层变形的复变函数解。模型退化分析和参数敏感性分析表明，所提出的解是传统复变函数解的广义形式，提供了更精细的地层变形表征。通过进一步集成具有强非线性拟合能力的深度学习模型，实现了样本区段的收敛模式反演，并开发了一种考虑收敛模式复杂性的改进型二元预测方法。工程应用表明，改进后的方法能够实现令人满意的预测性能，预测的沉降值与现场测量值比传统方法的预测值更接近。所提出的方法能够高效、实时、精细地预测地层变形，在工程应用中具有相当大的潜力。

1. 引言

在隧道掘进过程中，地层变形的实时准确预测对于提高施工效率和确保施工安全至关重要。随着城市化的推进，隧道工程越来越多地具有大断面、浅埋和复杂地质条件的特征。这些因素增加了地层与结构相互作用的复杂性，导致地层变形模式表现出明显的非线性特征（Jin et al., 2022, Hu et al., 2025）。传统的经验（Peck, 1969）、解析（Gao et al., 2021）、数值模拟（Yang et al., 2025）和人工智能（Wang et al., 2025a）方法无法同时满足实时和高精度预测的要求，因此无法及时反映地层的动态响应。这一局限性使得施工人员在根据地层条件提前采取有效控制措施或及时调整掘进计划时困难重重，从而降低了施工效率，增加了运营风险和不确定性。因此，开发隧道掘进引起的地层变形的实时高精度预测方法具有重要的理论意义和实际工程价值。

与岩土工程中的其他问题类似，隧道掘进引起的地层变形分析和预测经历了从传统的经验、解析和数值模拟方法（Lin et al., 2021），到数据驱动的神经网络方法（Lai et al., 2025），再到将物理模型与神经网络相结合的混合方法（Wu et al., 2025, Kong et al., 2023b）的演变过程。尽管传统的解析和数值模拟方法提供了明确的物理解释，但它们在捕捉土壤和岩石性质与施工条件之间复杂相互作用方面存在固有的局限性。此外，其结果对模型简化和输入参数非常敏感，这限制了预测精度和适用性（Lin et al., 2024, Cao et al., 2024）。纯数据驱动模型（如神经网络）具有较强的非线性拟合能力，但本质上运行于"黑箱"状态，缺乏明确的物理机制约束。因此，通常需要大量高质量训练数据，当数据稀少或运行条件超出训练范围时，由于外推误差，预测性能可能会下降，从而降低其物理可信度和泛化能力（Cheng et al., 2022, Jiang et al., 2025）。相比之下，混合方法将神经网络的强非线性拟合能力与物理模型的力学守恒定律和本构关系相结合。这种整合显著提高了预测精度和鲁棒性，确保了物理合理性，并展现出传统方法或纯数据驱动模型无法实现的优势（Shi et al., 2019, Sun et al., 2025）。

目前，将物理模型与神经网络相结合的混合方法可以大致分为两种主要类型。第一种方法是通过修改损失函数、激活函数和其他设计方面将物理约束引入神经网络模型，从而确保模型满足问题的固有物理约束，在一定程度上提高预测性能（Feng et al., 2021, Wang et al., 2023b）。然而，这种方法本质上仍然是数据驱动方法。即模型复杂度没有显著降低，所需样本量没有大幅减少，能够高效处理的预测目标数量仍然有限（Zhao et al., 2025）。第二种方法是将复杂问题分解为几个子任务，分别使用传统方法和神经网络进行处理，从而利用两种方法的各自优势（Liu et al., 2024, Ruan et al., 2025）。通过任务分解，神经网络通常只需处理相对简单的子任务，这大大降低了模型复杂度和相应的样本需求，从而增强了实际适用性（Guo et al., 2023, Wang et al., 2025b）。

分析隧道掘进引起的地层变形的传统方法包括经验方法、解析方法和数值模拟方法；原则上，所有这些方法都可以与神经网络相结合。尽管解析方法通常涉及更复杂的数学推导，但其结果可以纳入计算机程序，只需简单调整输入参数即可高效便捷地分析地层变形。此外，解析方法具有明确的理论基础，提供更全面的解析结果（Miao et al., 2022, Hemant and Jyant, 2023）。因此，将地层变形预测问题分解为多个子任务，分别使用解析方法和神经网络进行处理，可以显著提高预测效率和精度。

在实际工程中，由于衬砌和支护结构的存在，变形的隧道轮廓通常无法直接观测，这使得从现场测量中确定其变形模式变得特别困难。此外，衬砌引入了多连通域问题，进一步复杂化了解析求解过程。因此，在分析隧道掘进引起的地层变形时，通常采用隧道轮廓处的位移边界条件（Gong et al., 2023, Gao et al., 2023）。由于未变形的隧道轮廓是已知的，分析隧道掘进引起的地层变形的前提是确定变形的隧道轮廓，即隧道收敛模式（Feng et al., 2019）。相应地，许多学者基于不同假设提出了各种隧道收敛模式，这些模式大致可分为四类：均匀收敛、间隙参数、双间隙参数和非均匀收敛模式。随着进一步的研究，非均匀收敛模式逐渐获得工程界的认可，成为工程实践中最广泛认可的收敛模式（Xu et al., 2023, Sun et al., 2024, Zhang et al., 2024）。然而，这些现有的收敛模式主要是基于工程经验和类比分析开发的，没有考虑实际工程中岩土性质的空间变异性或衬砌背后回填的不均匀性（Wang et al., 2023a）。一些研究者（Kong et al., 2018, Lu et al., 2019, Pieride et al., 2023, Kong et al., 2023a）在分析倾斜地表下隧道掘进引起的地层变形时考虑了不同的隧道收敛模式。然而，这些研究没有考虑收敛模式的任意性，特别是隧道轮廓中心的水平和垂直偏移。因此，严格来说，它们对隧道轮廓变形的描述可能无法完全反映实际的收敛特征。

隧道收敛模式作为分析隧道掘进引起的地层变形的关键边界条件，直接影响了解析结果的准确性。在工程实践中，地质和施工条件通常非常复杂且具有非均质性。因此，变形的隧道轮廓可能不完全局限在开挖边界内，土体损失的分布也可能是不对称的（Adoko et al., 2013, Hamed et al., 2017, Chalajour and Hataf, 2023）。然而，现有的地层变形解析理论基于理想化的收敛模式，因此往往无法准确反映复杂工程条件下周围地层的实际变形行为。Liu et al. (2025) 提出了一种盾构隧道掘进引起的地层变形的二元预测方法，将神经网络与解析理论相结合，实现了地层变形的实时预测，但没有考虑隧道收敛模式的复杂性。随着城市化的持续发展，在密集建成区建设隧道的需求对控制隧道周围地层变形提出了越来越严格的要求（Maleki, 2025, Tian et al., 2026）。因此，有必要建立一种考虑隧道收敛模式复杂性的隧道掘进引起的地层变形预测方法，以准确分析和精细化控制周围地层变形。

在本研究中，首先建立了隧道收敛模式的统一方程，以准确描述隧道轮廓变形。基于三个独立坐标系之间的变换关系，推导了任意收敛模式下隧道轮廓的变形，并建立了任意收敛模式下地层变形的复变函数解。随后，进行了模型退化分析和参数敏感性分析，以验证解析解的可靠性。通过集成具有强非线性拟合能力的深度学习模型，开发了样本区段收敛模式的反演方法，并提出了一种考虑隧道收敛模式复杂性的隧道掘进引起的地层变形改进型二元预测方法。最后，通过工程应用验证了改进型二元预测方法的实用性。

2. 隧道收敛模式与轮廓变形分析

2.1 隧道收敛模式统一方程的建立

在分析隧道掘进引起的地层变形时，通常采用隧道轮廓处的位移边界条件。由于未变形的隧道轮廓在实践中是已知的，因此确定变形的隧道轮廓，即隧道收敛模式，是分析的前提。隧道收敛模式受各种复杂因素的影响，包括地质条件、隧道半径、隧道埋深和施工方法，这使得通过理论分析或现场测量来确定收敛模式变得困难（Zhang and Xia, 2021, Zhou et al., 2023, Lee et al., 2022）。

为了分析任意收敛模式下隧道掘进引起的地层变形，首先需要建立隧道收敛模式的统一方程，以准确表征隧道轮廓变形，如图1所示，其中R是隧道开挖半径，H是隧道埋深。以隧道中心正上方的地面点O为原点建立直角坐标系XOY。以未变形和变形后的隧道轮廓几何中心O1和O2分别定义两个极坐标系ρ1O1β和ρ2O2φ。在这个坐标系框架内，通过确定变形后的隧道轮廓，可以准确而全面地表征隧道收敛模式。

图1. 坐标系和隧道收敛模式示意图

在实际工程中，未变形和变形后的隧道轮廓几何中心通常不重合。为了便于后续开发改进型二元预测方法，需要确保高阶傅里叶系数保持足够小。Kong et al. (2019) 提出的收敛模式方程没有考虑未变形和变形后的隧道轮廓几何中心之间可能存在的偏移，这限制了其适用性。为解决这一问题，将变形后的隧道轮廓在极坐标系ρ2O2φ中表示为傅里叶级数，如式(1)所示。根据几何关系，隧道轮廓的整体平移不影响土体损失值。

因此，当变形后的隧道轮廓由公式 (1) 表示时，地层损失值可以通过公式 (2) 计算：

(1) $W_2 = f_0 + \sum_{n=1}^{\infty} f_n \cos n\varphi + g_n \sin n\varphi$

(2) $V = \kappa \pi R^2 = \pi R^2 - \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} W_2^2 d\varphi$

地层损失区域定义为未变形隧道轮廓与变形后隧道轮廓之间的面积，可以在 XOY 笛卡尔坐标系中用公式 (3) 表示：

(3)
$\Omega_1 = \{(x, y) \mid x^2 + (y + H)^2 \leq R^2\}$
$\Omega_2 = \{(x, y) \mid (x - l)^2 + (y + H - h)^2 \leq W_2^2, \varphi = \arg[(x - l) + i(y + H - h)]\}$
$\Omega = \Omega_1 - \Omega_2$

其中：R 为隧道半径；H 为隧道埋深；V 为地层损失值，定义为未变形与变形后隧道轮廓之间区域的体积；$\kappa$ 为地层损失率，根据工程经验通常小于 4.0%；$W_2$ 为变形后隧道轮廓在 $\rho_2O_2\varphi$ 坐标系中的径向坐标；$n = 1, 2, 3, \dots$；$f_0, f_n$ 和 $g_n$ 为傅里叶级数系数；$\varphi$ 为 $\rho_2O_2\varphi$ 坐标系中的圆周坐标；x 和 y 分别为 XOY 笛卡尔坐标系中沿 X 和 Y 方向的坐标；$\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 分别为对应未变形和变形后隧道轮廓在 XOY 笛卡尔坐标系中的隧道域；i 为虚数单位；l 和 h 分别为隧道中心的水平和垂直偏移量，代表 O1 和 O2 沿 X 和 Y 方向的距离。

考虑到实际工程中隧道轮廓变形通常较小，l 和 h 应满足公式 (4)，以确保曲线的单值性。

(4) $\sqrt{l^2 + h^2} \ll R$

通过结合公式 (1) 和 (3)，仅确定相关参数即可准确描述隧道收敛模式。为了便于后续计算，将所有参数组装为一个向量，如公式 (5) 所示：

(5) $\Delta = [l, h, f_0, f_1, g_1, f_2, g_2, f_3, g_3, \dots]$

其中 $\Delta$ 是隧道收敛模式的参数向量。

**2.2 隧道轮廓变形的确定**

为了计算任意收敛模式下隧道开挖引起的地层变形，必须首先根据隧道收敛模式参数确定隧道轮廓变形，然后用于定义相应的边界条件。由于隧道中心的水平和垂直偏移量满足公式 (4)，描述未变形和变形后隧道轮廓的数学方程在 $\rho_1O_1\beta$ 和 $\rho_2O_2\varphi$ 坐标系中均满足单值性条件。

为了便于后续解析过程中的保角映射，需要在 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中获得隧道轮廓变形。为此，将变形后的隧道轮廓在 $\rho_1O_1\beta$ 中展开为傅里叶级数，如公式 (6) 所示：

(6) $W_1 = p_0 + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos n\beta + q_n \sin n\beta$

其中 $W_1$ 为变形后隧道轮廓在 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的径向坐标；$p_0, p_n$ 和 $q_n$ 为傅里叶级数系数；$\beta$ 为 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的圆周坐标。

参考图 1，将公式 (1) 定义的变形后隧道轮廓转换为 XOY 笛卡尔坐标系，其参数方程满足公式 (7)：

(7)
$W_x = l + W_2 \cos \varphi$
$W_y = -H + h + W_2 \sin \varphi$

其中 $W_x$ 和 $W_y$ 分别为变形后隧道轮廓在 XOY 坐标系中的 X 和 Y 坐标。

基于坐标转换关系，变形后隧道轮廓在 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的参数方程满足公式 (8)：

(8)
$W_1 = \sqrt{W_x^2 + (W_y + H)^2} = \sqrt{(l + W_2 \cos \varphi)^2 + (h + W_2 \sin \varphi)^2}$
$\beta = \arg[W_x + i(W_y + H)] = \arg[(l + W_2 \cos \varphi) + i(h + W_2 \sin \varphi)]$

将公式 (8) 展开为傅里叶级数，根据解的唯一性原理可获得公式 (6) 中的系数，从而确定变形后隧道轮廓在 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的方程。根据傅里叶级数理论，这些系数满足公式 (9)：

(9)
$p_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} W_1 d\beta = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} W_1 \frac{d\beta}{d\varphi} d\varphi$
$p_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} W_1 \cos n\beta d\beta = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} W_1 \cos n\beta \frac{d\beta}{d\varphi} d\varphi$
$q_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} W_1 \sin n\beta d\beta = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} W_1 \sin n\beta \frac{d\beta}{d\varphi} d\varphi$

由于方程的复杂性，通常无法获得系数的显式解析表达式，通常是在离散化后通过数值方法获得。为确保计算精度和效率，也可以使用离散傅里叶变换 (DFT) 来计算这些系数，如公式 (10) 所示。公式 (6) 中的系数与 DFT 系数 $\chi_n$ 之间的关系由公式 (11) 表示：

(10) $\chi_n = \sum_{t=0}^{M-1} W_{1t} e^{-i \frac{n \cdot 2t\pi}{M}}$

(11)
$p_0 = \frac{2 \text{Re}(\chi_0)}{N}$
$p_n = \frac{2 \text{Re}(\chi_n)}{N}$
$q_n = \frac{-2 \text{Im}(\chi_n)}{N}$

其中 $\chi_n$ 为 DFT 系数；$W_{1t}$ 为均匀采样后第 t 个采样点处变形后隧道轮廓的径向坐标；M 为未变形与变形后隧道轮廓之间坐标变换的采样点数，为确保计算精度，M 应设置为足够大的值；$t = 0, 1, 2, \dots$

相应地，$\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的隧道轮廓变形由公式 (12) 明确给出：

(12) $W = W_1 - R = p_0 - R + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos n\beta + q_n \sin n\beta$

其中 W 为 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的隧道轮廓变形。

需要注意的是，由于参数 l 和 h 的存在，公式 (6) 中的系数比公式 (1) 中的系数衰减更慢。这是引入以 O2 为中心的极坐标系 $\rho_2O_2\varphi$ 的原因。在实际应用中，为确保计算精度，需要在公式 (6) 中保留足够多的级数项；然而，这一步骤仅作为中间计算过程，并不会增加方法的实施复杂度。

**3. 任意收敛模式下隧道开挖引起的地层变形解析解**

**3.1 隧道开挖引起的地层变形复变函数解**

复变函数法可用于分析任意形状隧道开挖引起的地层变形，特别适用于任意隧道收敛模式下的地层变形问题。本研究以圆形隧道为例进行说明。对于非圆形隧道，可以通过修改相应的保角映射函数来扩展所提出的解析框架。

二维弹性半无限空间中圆形隧道开挖引起的地层变形问题（如图 2 所示），基于复变函数理论从常规半无限域（z 空间）保角映射到环形域（ζ 空间）。相应的映射和逆映射函数列于公式 (13)。映射函数将 z 空间中的地表（y = 0）映射到 ζ 空间中的 $|\zeta| = 1$，并将隧道轮廓映射到 ζ 空间中的 $|\zeta| = \alpha$。

(13)
$\zeta(z) = \frac{i z (1 + \alpha^2) - H(1 - \alpha^2)}{i z (1 + \alpha^2) + H(1 - \alpha^2)}$
$z(\zeta) = -i H \frac{1 - \alpha^2}{1 + \alpha^2} \frac{1 + \zeta}{1 - \zeta}$

其中 $\eta$ 和 $\xi$ 为 ζ 空间中的坐标变量；$\alpha$ 为根据公式 (14) 计算得到的参数；z 和 $\zeta$ 分别为 z 空间和 ζ 空间中的复坐标变量，且同样满足公式 (14)：

(14)
$\alpha = \frac{H}{R} - \sqrt{(\frac{H}{R})^2 - 1}$
$z = x + i y$
$\zeta = \xi + i \eta$

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图 2. z 空间与 ζ 空间之间的保角映射。

根据复变函数理论 (Verruijt, 1998, Strack and Verruijt, 2002)，z 空间中周围地层的变形和应力分布可以由两个解析函数表示，如公式 (15) 所示：

(15)
$2G(u_x + i u_y) = (3 - 4v)f(z) - \bar{z}\frac{df(z)}{dz} - \overline{g(z)}$
$\sigma_x + \sigma_y = 2(\frac{df(z)}{dz} + \overline{\frac{df(z)}{dz}})$
$\sigma_x + \sigma_y + 2i \tau_{xy} = 2(\bar{z}\frac{d^2f(z)}{dz^2} + \frac{dg(z)}{dz})$

其中 G 为剪切模量；v 为泊松比；$f(z)$ 和 $g(z)$ 为 z 空间中的两个未知解析函数；$u_x$ 和 $u_y$ 分别为 z 空间中沿 X 和 Y 方向的变形；$\sigma_x, \sigma_y$ 和 $\tau_{xy}$ 分别为 z 空间中的正应力和剪应力；顶横线“—”表示复共轭。

根据公式 (15)，通过确定 $f(z)$ 和 $g(z)$ 即可得到隧道开挖引起的地层变形。基于复变函数理论，环形域中的解析函数可以唯一地展开为洛朗级数；因此，ζ 空间中的解析函数 f 和 g 也可以用洛朗级数表示，如公式 (16) 所示：

(16)
$f(\zeta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \zeta^n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \zeta^{-n}$
$g(\zeta) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \zeta^n + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \zeta^{-n}$

其中 $a_0, a_n, b_n, c_0, c_n$ 和 $d_n$ 为洛朗级数系数。

由上述分析可知，确定地层变形可以归结为应用边界条件计算系数 $a_0, a_n, b_n, c_0, c_n$ 和 $d_n$。该问题涉及四个边界条件，描述如下：

1) 地表面被视为自由面，应处理为零应力边界；即 z 空间中的 y = 0 和 ζ 空间中的 $|\zeta| = 1$ 对应零应力。
2) 隧道收敛模式已知，意味着隧道轮廓的变形已确定；即 ζ 空间中 $|\zeta| = \alpha$ 处的位移已知。
3) 为确保物理一致性和解的有界性，高阶系数应趋近于零；即当 $n \to \infty$ 时，$a_n, b_n, c_n, d_n \to 0$。
4) 无穷远处的地层变形为零。

将公式 (16) 代入公式 (15) 并应用边界条件 1) 和 2)，得到公式 (17)、(18)、(19) (Verruijt, 1998)。

(17)
$c_0 = -\bar{a}_0 - \frac{1}{2}a_1 - \frac{1}{2}b_1$
$c_n = -\bar{b}_n + \frac{1}{2}(n - 1)a_{n-1} - \frac{1}{2}(n + 1)a_{n+1}$
$d_n = -\bar{a}_n + \frac{1}{2}(n - 1)b_{n-1} - \frac{1}{2}(n + 1)b_{n+1}$

(18)
$(1 - \alpha^2)(n + 1)\bar{a}_{n+1} - [\alpha^2 + (3 - 4v)\alpha^{-2n}]b_{n+1} = (1 - \alpha^2)n\bar{a}_n - [1 + (3 - 4v)\alpha^{-2n}]b_n + A_{-n}\alpha^{-n}$
$[1 + (3 - 4v)\alpha^{2n+2}]\bar{a}_{n+1} + (1 - \alpha^2)(n + 1)b_{n+1} = \alpha^2[1 + (3 - 4v)\alpha^{2n}]\bar{a}_n + (1 - \alpha^2)n b_n + \bar{A}_{n+1}\alpha^{n+1}$

(19)
$(1 - \alpha^2)\bar{a}_1 - [(3 - 4v) + \alpha^2]b_1 = A_0 - [(3 - 4v) + 1]a_0$
$[1 + (3 - 4v)\alpha^2]\bar{a}_1 + (1 - \alpha^2)b_1 = \bar{A}_1\alpha + [(3 - 4v) + 1]\alpha^2\bar{a}_0$

其中 $A_k$ 为系数，通过对隧道轮廓变形在 ζ 空间中展开为复指数形式的傅里叶级数获得，满足公式 (20)；且 $k = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

(20) $2G(u'_x + i u'_y)(1 - \alpha e^{i\theta}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k e^{ik\theta}$

其中 $u'_x$ 和 $u'_y$ 分别为 XOY 坐标系中隧道轮廓处沿 X 和 Y 方向的变形分量。

可以观察到，一旦确定了 $a_0$，然后可以使用公式 (17)、(18)、(19) 中的递推公式获得公式 (16) 中的所有系数。由于公式 (17)、(18)、(19) 中的递推公式是线性的，为了 满足边界条件 3)，可以为 $a_0$ 选择两个具有不同实部和虚部的任意复数值。然后计算相应的系数序列 $a_n$，并采用线性插值来确定使高阶系数趋于零的 $a_0$ 值。边界条件 4) 仅需进行远场修正。因此，问题的核心归结为求解系数 $A_k$。

**3.2 任意收敛模式下隧道轮廓变形的保角映射**

如上所述，应用复变函数法求解隧道开挖引起的地层变形的关键步骤是确定系数 $A_k$。第 2.2 节提供了任意收敛模式下 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的隧道轮廓变形方程。为了求解系数 $A_k$，这些方程也必须映射到 ζ 空间中。

首先将隧道轮廓变形转换为 XOY 坐标系，并以复指数形式表示，如公式 (21) 所示：

(21) $u'_x + i u'_y = W \cos \beta + i W \sin \beta = W e^{i\beta}$

在 XOY 笛卡尔坐标系中，隧道轮廓的几何关系由公式 (22) 中的参数方程描述：

(22)
$x = R \cos \beta$
$y = -H + R \sin \beta$

将公式 (22) 表示为复指数形式，如公式 (23) 所示，直接变换可得公式 (24)：

(23) $z = -iH + R e^{i\beta}$

(24) $e^{i\beta} = \frac{z + iH}{R}$

基于复变函数理论，公式 (13) 将隧道轮廓从 z 空间映射到 ζ 空间中的 $|\zeta| = \alpha$，并可以表示为复指数形式，如公式 (25) 所示：

(25) $\zeta = \alpha e^{i\theta}$

其中 $\theta$ 为 ζ 空间中的圆周坐标变量，如图 2 所示。

根据公式 (13) 中的逆映射函数，得到公式 (26)，将其代入公式 (24) 可得公式 (27)：

(26) $z + iH = \frac{i R \alpha - e^{i\theta}}{1 - \alpha e^{i\theta}}$

(27)
$e^{i\beta} = \frac{i \alpha - e^{i\theta}}{1 - \alpha e^{i\theta}} = T_\theta$
$e^{i\beta}(1 - \alpha e^{i\theta}) = i(\alpha - e^{i\theta})$

其中 $T_\theta$ 是 $e^{i\beta}$ 经公式 (13) 映射后的结果，是 $\theta$ 的函数，满足公式 (27)。

由于公式 (12) 提供了 $\rho_1O_1\beta$ 坐标系中的隧道轮廓变形 W，为了计算系数 $A_k$，必须将 W 映射到 ζ 空间。根据公式 (27)，可以得到公式 (28)。

(28)
$\cos n\beta = \frac{1}{2}(e^{in\beta} + e^{-in\beta}) = \frac{1}{2}(T_\theta^n + T_\theta^{-n})$
$\sin n\beta = \frac{1}{2i}(e^{in\beta} - e^{-in\beta}) = \frac{1}{2i}(T_\theta^n - T_\theta^{-n})$

将公式 (28) 代入公式 (12)，得到任意收敛模式下 ζ 空间中的隧道轮廓变形，如公式 (29) 所示：

(29) $W = p_0 - R + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} p_n (T_\theta^n + T_\theta^{-n}) + \frac{1}{2i} q_n (T_\theta^n - T_\theta^{-n})$

相应地，完成了任意收敛模式下隧道轮廓变形的保角映射，从而为求解系数 $A_k$ 提供了基础。

**3.3 任意收敛模式下地层变形的复变函数解**

如前所述，为了求解任意收敛模式下的地层变形，需要根据隧道轮廓变形 W 确定系数 $A_k$。将公式 (21)、(27)、(29) 代入公式 (20) 可得公式 (30)：

(30) $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k e^{ik\theta} = G [i(p_0 - 2R) + \sum_{n=1}^{\infty} p_n i(T_\theta^n + T_\theta^{-n}) + q_n (T_\theta^n - T_\theta^{-n})] (\alpha - e^{i\theta})$

因此，通过将公式 (30) 的右侧展开为复指数傅里叶级数，可以根据解的唯一性原理确定系数 $A_k$。由于表达式的复杂性，$A_k$ 可以使用公式 (31) 中的积分公式或公式 (10) 中的离散傅里叶变换 (DFT) 方法计算。

(31) $A_k = \frac{G}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} [i(p_0 - 2R) + \sum_{n=1}^{\infty} p_n i(T_\theta^n + T_\theta^{-n}) + q_n (T_\theta^n - T_\theta^{-n})] (\alpha - e^{i\theta}) e^{-ik\theta} d\theta$

通过将系数 $A_k$ 代入公式 (17)、(18)、(19) 并结合公式 (15)，可以获得任意收敛模式下隧道开挖引起的地层变形复变函数解。由于公式 (12) 将隧道轮廓变形 W 表示为级数，公式 (30) 的右侧代表该级数与复指数的乘积。因此，通常难以获得显式表达式，通常需要数值实现，如图 3 所示。

具体步骤如下：1）已知隧道埋深H、隧道半径R、地层剪切模量G、泊松比v以及隧道收敛模式参数向量Δ。2）根据公式(8)，将变形后的隧道轮廓变换到ρ1O1β坐标系中。然后，利用公式(9)或DFT方法求解系数p0、pn和qn，从而根据公式(12)确定隧道轮廓变形。3)将隧道轮廓变形映射到ζ空间中，利用公式(31)或DFT方法确定系数Ak。4)给a0赋两个实部和虚部不同的任意复数值，根据公式(18)中的递推公式计算对应的an，然后通过线性插值获得使高阶系数趋于零的a0值，从而满足边界条件3)。5)利用第4步得到的a0值，并应用公式(17)、(18)、(19)中的递推公式，确定Laurent级数的系数an、bn、c0、cn和dn。6)将第5步得到的系数代入公式(16)，获得两个解析函数f和g。然后根据公式(13)将这些函数变换到z空间中，并代入公式(15)确定地层变形。7)为满足边界条件4)所要求的远场地层变形为零的要求，需要进行远场修正。计算无穷远处地表变形以确定远场修正值，然后将其从第6步得到的变形值中减去，从而确定最终的地层变形。

解析结果可以整合到计算机程序中。在实际应用中，只需简单调整输入参数，即可高效、便捷地分析任意收敛模式下隧道开挖引起的地层变形，从而便于在工程实践中推广应用。

4. 模型退化与参数敏感性分析

4.1. 模型退化分析及其验证

为验证所提出解析方法的可靠性，本节进行模型退化分析及验证。如前所述，隧道收敛模式是分析隧道开挖引起地层变形的关键边界条件，难以仅通过理论分析确定。因此，许多研究人员提出了各种假设来描述变形后的隧道轮廓，从而发展出不同的隧道收敛模式。这些模式一般可分为四类，如图4所示。

1) 均匀收敛（Sagaseta, 1987；Yang et al., 2004）

均匀收敛模式假设开挖空间在围岩土压力作用下发生均匀收缩。变形后的隧道轮廓仍为圆形，且其中心位置不变。因此，仅需一个参数即可定义变形后的轮廓。根据几何关系，该模型的收敛模式参数满足公式(32)：

其中n=1, 2, 3, 4……

根据第2.2节所述方法，该模式下隧道轮廓变形参数满足公式(33)。因此，公式(30)退化为公式(34)。根据解的唯一性原理，系数Ak满足公式(35)，与Verruijt (1998)的结果完全一致。

2) 间隙参数（Lee et al., 1992）

基于均匀收敛模式，隧道轮廓发生整体垂直平移。变形后的隧道轮廓仍为圆形，其底部边界与未变形隧道轮廓相切；即垂直平移量等于隧道轮廓的均匀收敛值。因此，仅需一个参数即可定义变形后的隧道轮廓。根据几何关系，该模型的收敛模式参数满足公式(36)：

其中n=1, 2, 3, 4……

3) 双间隙参数（Loganathan and Poulos, 1998；Verruijt and Booker, 1996）

与间隙参数模式类似，变形后的隧道轮廓仍为圆形；然而，未变形与变形后的隧道轮廓不再相切。也就是说，垂直平移量小于隧道轮廓的均匀收敛值。因此，该模型需要两个参数来定义变形后的隧道轮廓。根据几何关系，该模型的收敛模式参数满足公式(37)：

其中n=1, 2, 3, 4……

4) 非均匀收敛（Pinto and Andrew, 2013）

在双间隙参数模式的基础上，考虑到隧道周围岩土压力在垂直和水平方向上的非均匀分布，引入隧道轮廓的椭圆变形，类似于弹性力学中圆形腔体的位移解。在椭圆变形过程中，长轴的伸长量等于短轴的缩短量。因此，该模型需要三个参数来定义变形后的隧道轮廓。根据几何关系，该模型的收敛模式参数满足公式(38)：

其中n=3, 4……

对于间隙参数、双间隙参数和非均匀收敛模式，由于级数项以及水平和垂直偏移的耦合作用，通常难以获得Ak的解析表达式。因此，可以利用公式(31)中的积分公式或离散傅里叶变换（DFT）方法来计算Ak。

在四种隧道收敛模式中，均匀收敛和间隙参数模式相对简单易用。然而，它们对隧道轮廓变形的假设过于理想化，特别是对于浅埋隧道开挖，可能导致较大误差。因此，在常规交通隧道中很少应用。大量研究和工程实践表明，非均匀收敛模式对隧道轮廓变形的假设与工程观测结果一致，在学术界得到广泛认可（Xu et al., 2022；Li et al., 2022；Qi et al., 2023）。然而，该模式仍然依赖于理想化假设，无法完全反映施工和地质条件的复杂性。所得到的地层变形严格对称，这与实际工程的现场监测数据有所偏差（Mu et al., 2021；Yang et al., 2024）。本文所提出的方法能够分析任意收敛模式下隧道开挖引起的地层变形，为更精确的分析和地层变形的精细化控制提供了参考。

4.2. 参数敏感性分析

本节对选定的收敛模式参数进行敏感性分析，并分析不同收敛模式下隧道开挖引起的地层变形特性，为后续收敛模式反演和双引擎预测方法的开发提供依据。

4.2.1. 参数选择

考虑到地表损失满足公式(2)，简单变换后得到公式(39)。显然，其解不具有唯一性。直接分析表明，除l、h和f0外，其余参数会导致隧道体积膨胀，产生负的地表损失。这一结论与Liu et al. (2025)的报道一致。在实际工程中，地表损失值不可能为负。因此，f0必须满足公式(40)：

需要注意的是，公式(1)作为描述隧道收敛模式的理论表达式，并未充分考虑实际工程条件。因此，尽管某些参数值可能满足公式(39)，但对应的隧道收敛模式可能不具有物理意义。因此，有必要对各参数的取值范围进行约束，以反映实际的工程条件。考虑到在实际工程中，隧道轮廓变形相对较小，一般不超过隧道半径的2.0%，本研究采用的参数范围如公式(41)所示：

为分析不同收敛模式参数对地层变形的影响，采用控制变量法。在该分析中，地表损失率κ保持不变，f0利用公式(42)确定：

由于除f0外的所有参数都不能独立产生正的地表损失，因此在参数敏感性分析中无法区分各参数与f0之间的耦合效应。

如第3.3节所述，远场修正涉及从整个地层变形场中减去一个常数，因此不会影响地表损失值。为方便后续计算并更清晰地展示变形模式，设定隧道半径R=0.5 m、隧道埋深H=1.0 m、剪切模量G=0.1 MPa、泊松比v=0.3、地表损失率κ=3.96%。考虑到参数数量较多，为节省篇幅，所研究参数的取值设为?0.02R和0.02R。结合上述参数设定与公式(42)，得到各组的参数组合，如表1所示。表中f0由公式(42)推导得出。为节省篇幅，仅考虑公式(5)的前九项，忽略n≥4时隧道轮廓的高频振荡。

表1. 各组采用的参数组合

注：表中未列出的所有参数均设为0。

4.2.2. 隧道轮廓变形

为研究不同参数对隧道轮廓变形的影响，图5展示了不同参数组下的未变形与变形后的隧道轮廓。图例中的"收敛模式"和"变形轮廓"分别表示远场修正前后的变形隧道轮廓。由于篇幅限制及问题的固有对称性，仅展示参数值为0.02R时对应的隧道轮廓曲线。

可以看出，所建立的隧道收敛模式统一方程能准确描述隧道轮廓变形，且不同参数对隧道轮廓变形的影响差异显著。由于远场修正的存在，变形后的隧道轮廓并不完全与公式(1)所描述的轮廓重合，两者之间存在偏移，该偏移由收敛模式参数决定。

结合公式(1)与图5的简单分析表明，水平和垂直偏移量l和h导致隧道轮廓在水平和垂直方向上平移，但不影响隧道整体形状，也不改变地表损失值。类似地，g1引起隧道轮廓的垂直偏移，并在隧道正上方和正下方产生明显的形状变化；而f1引起隧道轮廓的侧向偏移，并在左右两侧产生显著的形状变化。f2和g2使隧道轮廓呈椭圆形，从而产生非均匀收敛模式。具体而言，f2引起长轴方向为水平或垂直方向的椭圆变形，而g2相对于f2将椭圆长轴旋转45°。f3、g3、f4、g4等高阶参数则在隧道轮廓上产生多个小的凸起和凹陷，其数量与阶数n相对应。

现有的隧道收敛模式和地层变形解析理论主要关注h、f0和f2。然而，实际工程条件高度复杂多变，隧道可能呈现涉及多个参数的复合收敛模式。本研究提出的方法可以同时考虑所有相关参数的影响。

4.2.3. 地层变形

为分析不同收敛模式参数对隧道开挖引起地层变形的影响，给出了各参数组的地层变形等值线图。为保持正文简洁，所有对应图片均见附录A。

作为对比，图A1展示了均匀收敛模式（f0=1.9600R）下的地层变形。可以看出，所提出方法得到的地层变形与工程经验以及Pinto and Andrew (2013)报道的均匀收敛模式下的地层变形结果完全一致，从而验证了所提出方法的可靠性。当仅有参数f0不为零时，隧道开挖引起的地层变形呈现完美的对称性。

图A2和图A3展示了仅有参数f0、l和h不为零时的地层变形情况。

可以观察到，水平偏移量 $l$ 引起岩层变形的横向平移，而垂直偏移量 $h$ 引起竖向平移，导致相对于图 A1 中对照组的变形呈不对称分布。它们对岩层变形影响的大小取决于其绝对值，而影响方向则由符号决定。

图 A4 和图 A5 展示了仅一阶系数（$f_1$ 和 $g_1$）以及 $f_0$ 非零时的岩层变形情况。可以观察到，$f_1$ 和 $g_1$ 对岩层变形的影响与 $l$ 和 $h$ 类似，仅在隧道轮廓附近存在细微差异。由于 $f_1$ 和 $g_1$ 引起隧道体积膨胀，因此在考虑 $f_1$、$g_1$ 和 $f_0$ 时的岩层变形略小于仅考虑 $l$、$h$ 和 $f_0$ 时的变形。

图 A6 和图 A7 展示了仅二阶系数（$f_2$ 和 $g_2$）以及 $f_0$ 非零时的岩层变形情况。可以观察到，$f_2$ 和 $g_2$ 对变形模式有显著影响，某些参数值可能导致同一水平线上的变形曲线失去对称性。当仅 $f_2$ 和 $f_0$ 非零时，所得收敛模式对应于第 4.1 节中描述的非均匀收敛模式。可以观察到，所提方法获得的岩层变形模式与 Pinto 和 Andrew（2013）在非均匀收敛模式下报告的岩层变形结果完全一致，进一步验证了所提方法的可靠性。

图 A8 和图 A9 展示了仅三阶系数（$f_3$ 和 $g_3$）以及 $f_0$ 非零时的岩层变形情况。可以观察到，这些高阶系数引起隧道开挖所导致岩层变形的显著变化，特别是在隧道轮廓附近。某些高阶系数可能导致岩层变形不对称；因此，基于对称沉降假设的方法（如 Peck 经验法（1969））在复杂的隧道收敛模式下可能不适用。

为研究不同参数对岩层变形的敏感性，计算了每个参数扰动 ±0.02R 对应的岩层变形差值，并绘制了变形差值的等值线图以说明其影响。为保持正文的简洁性，所有相关图件均提供在附录 B 中。

图 B1–B8 展示了参数扰动 ±0.02R 对应的岩层变形差值等值线图。可以观察到，不同参数对岩层变形的影响方式差异显著，且这种影响在隧道轮廓附近尤为明显。地面沉降同样对参数变化敏感，且不同参数对沉降响应的影响差异较大。鉴于实际工程项目中通常只能获取地面沉降的现场测量数据，该发现为后续对样本区段的收敛模式反演分析提供了重要依据。

## 5. 考虑收敛模式复杂性的隧道开挖诱发岩层变形双引擎预测

### 5.1 双引擎预测方法

Liu 等人（2025）开发了一种隧道开挖诱发岩层变形的双引擎预测方法，将解析理论与神经网络相结合，实现了岩层变形的实时预测。然而，该方法基于理想化的隧道收敛模式，因此预测结果无法充分反映岩土性质变异性和施工条件复杂性对实际工程中岩层变形的影响。第 3 节建立了任意收敛模式下隧道开挖诱发岩层变形的复变函数解。在此基础上，按照 Liu 等人（2025）的方法，可以开发考虑收敛模式复杂性的双引擎预测方法，实现对岩层变形的更精细预测。

本节基于第 3 节建立的解析理论和机器学习方法，结合解析理论揭示物理机制的优势和深度学习模型强大的非线性建模能力，开发考虑收敛模式复杂性的隧道开挖诱发岩层变形双引擎预测方法。该方法的总体框架如图 6 所示。

**图 6. 改进双引擎预测方法流程图**

该方法主要包括以下四个步骤：

1. 选择具有充分可靠实测数据的隧道区段作为样本。以与收敛模式相关的参数向量作为输入，以隧道收敛模式参数向量作为目标输出。由此得到神经网络模型对应的输入-输出对，从而形成完整的样本集。

2. 选择适当的神经网络模型，并使用步骤 1) 获得的样本集进行有效训练。

3. 选择待预测的隧道区段，提取其输入向量，并输入到步骤 2) 中训练好的模型中，预测该区段的隧道收敛模式。

4. 将步骤 3) 中预测的隧道收敛模式代入第 3 节建立的岩层变形解析解中，得到对应的岩层变形。

为实现程序化预测过程，可以采用 Liu 等人（2025）提出的方法构建地层信息数据库。此时，双引擎预测过程中的主要挑战在于样本的获取，即对应步骤 1)。

### 5.2 样本获取方法

#### 5.2.1 样本输入向量

为实现隧道收敛模式的预测，应将与收敛模式相关的系列因素作为样本输入。收敛模式受众多因素影响，这解释了为什么仅凭理论分析难以确定收敛模式（Chang 等人，2022；Liang 等人，2025）。简单的逻辑推断表明，隧道收敛模式主要受以下因素影响：隧道半径、隧道深度、区段与隧道开挖面的距离、地层力学性质、水土压力、两侧注浆压力或注浆量、注浆材料力学性质、衬砌力学性质以及衬砌厚度。为简化处理，地质参数取隧道中心处的值，所得样本输入向量表示为式（43）：

$$\boldsymbol{m} = [R, H, s, G, \nu, \sigma'_v, p_w, k_0, Q_l, Q_r, E_Q, \nu_Q, E_c, \nu_c, t_c]^T \tag{43}$$

其中 $\boldsymbol{m}$ 为样本输入向量；$s$ 为区段与隧道开挖面之间的距离，当区段位于开挖面前方时取正值；$G$ 和 $\nu$ 分别为计算深度处地层的剪切模量和泊松比；$\sigma'_v$ 为计算深度处的有效竖向土压力；$p_w$ 为水压力；$k_0$ 为岩土体侧压力系数；$Q_l$ 和 $Q_r$ 分别为隧道左侧和右侧的单位长度注浆量；$E_Q$ 和 $\nu_Q$ 分别为注浆材料的弹性模量和泊松比；$E_c$ 和 $\nu_c$ 分别为衬砌的弹性模量和泊松比；$t_c$ 为衬砌厚度。

在实际应用中，可根据实际情况灵活调整样本输入向量。例如，可省略非必要的输入参数以简化预测过程。当该方法应用于特定项目时，$R$、$E_Q$、$\nu_Q$、$E_c$、$\nu_c$ 和 $t_c$ 保持不变，因此可从输入向量中排除。由此，输入向量简化为式（44）：

$$\boldsymbol{m'} = [H, \sigma'_v, s, G, \nu, p_w, k_0, Q_l, Q_r]^T \tag{44}$$

其中 $\boldsymbol{m'}$ 为简化后的样本输入向量。

鉴于各隧道项目在地质和施工条件上存在显著差异，当结合不同项目的训练样本时，应将项目特定的因素（如地质和施工条件）纳入输入向量。然而，当训练数据集有限时，由于项目间的显著异质性，不建议结合不同项目的样本（Liu 等人，2025）。

#### 5.2.2 样本目标输出

如第 4.2.3 节所讨论，不同收敛模式参数对岩层变形的影响差异显著。鉴于样本区段的现场测量数据已知，可进行参数反演以确定样本区段的隧道收敛模式，从而获得样本的目标输出向量。由于第 3 节建立的岩层变形解析理论需要隧道收敛模式向量作为输入，且涉及的输入参数多于 Liu 等人（2025）的方法，单一的网格搜索算法不足以完成参数反演过程。此外，在实际工程应用中，地面沉降往往受到重视，而水平和深层土体变形数据相对稀缺。因此，隧道收敛模式的确定应主要基于地面沉降测量值。另外，计算公式高度复杂，难以建立从岩层变形到收敛模式向量 $\Delta$ 的解析映射。

如第 4.2 节分析，不同参数对地面沉降的影响差异显著。因此，可以利用深度学习模型的非线性拟合能力进行参数反演。详细步骤如图 7 所示。

**图 7. 样本区段隧道收敛模式反演流程图**

具体步骤如下：

1. 从实际项目中选择一个具有充分可靠现场实测数据的区段作为样本区段。根据前人研究（Peck，1969；Villy 和 Stathis，2005），地面沉降服从高斯分布，如式（45）所示。这表明地面沉降曲线可以由三个参数唯一确定：峰值、拐点位置和峰值位置。通过简单推导可以证明，在不可压缩介质假设下，地表损失率满足式（46）：

$$u_y(x) = w_{\max} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \tag{45}$$

$$\kappa \pi R^2 = \sqrt{2\pi}\sigma w_{\max} \tag{46}$$

其中 $w_{\max}$ 为峰值；$\mu \pm \sigma$ 为拐点的 X 坐标；$\mu$ 为峰值的 X 坐标。对于第 4.1 节描述的四种收敛模式，$\mu = 0$。

2. 根据工程地质数据确定解析理论所需的输入参数。然后根据现场监测方案确定测量点位置，构建测量点位置矩阵 $P$，如式（47）所示。为确保反演结果的可靠性，应尽量增加测量点数量，尽管这不可避免地会增加计算量。

$$P = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_a & \cdots \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_a & \cdots \end{bmatrix}^T \tag{47}$$

其中 $P$ 为测量点位置矩阵；$a$ 为测量点索引，$a = 1, 2, \ldots$；$x_a$ 和 $y_a$ 分别为第 $a$ 个测量点的 X 和 Y 坐标。

3. 确定隧道收敛模式中参数个数 $t$，并初步定义各参数的取值范围。然后对各参数进行离散化形成 $t$ 个向量，取其笛卡尔积构建 $t$ 维网格，便于后续分析中选取 $\Delta$ 值。为提高样本代表性，还可采用拉丁超立方抽样方法。

当地表损失率 $\kappa$ 已知时，可通过式（42）确定 $f_0$，独立待定参数个数减少为 $t-1$。相应地，收敛模式反演所需样本数 $N$ 满足式（48）：

$$N = b^{t-1} \tag{48}$$

其中 $N$ 为收敛模式反演所需样本数；$b$ 为每个独立参数分配的平均离散点数。

收敛模式反演可理解为高维网格中的插值过程；因此，$b$ 不应设置过小。基于初步计算和反演经验，$b = 4$ 足以满足精度要求。在实际应用中，也可根据可用计算资源、工程经验和代表性区段的初步反演结果，适当忽略高阶系数的贡献。

4. 根据步骤 3) 构建的网格，提取第 $j$ 个节点处的数据，记为 $\Delta_j$。

然后，根据Δj所描述的隧道收敛模式，计算P中每个点的变形值uxa和uya，并依次将其组装为水平变形向量Uxj和垂直变形向量Uyj，如式(49)所示：

(49) {Uxj = [u1x, u2x, …, uax, …]^T；Uyj = [u1y, u2y, …, uay, …]^T}

其中，uxa和uya分别为第a个测量点的水平变形和垂直变形；Uxj和Uyj为在Δj所描述的隧道收敛模式下P中所有点对应的变形向量。

5) 将Uxj、Uyj或其组合作为输入，Δj作为输出，构建训练样本。重复步骤4)和5)以生成完整的样本集。

6) 选择适当的深度学习模型，并使用步骤5)获得的样本集对其进行训练，确保模型达到令人满意的收敛状态。

7) 按照P中测量点的顺序，根据该断面的实测变形数据或拟合曲线上的变形值，采用与步骤5)中相同的格式构建预测断面的输入向量。将该向量输入步骤6)训练好的模型中，获得该断面的反演输出Δ，从而确定相应的隧道收敛模式。

需要注意的是，步骤1)并非强制要求；然而，一旦已知地表损失率，便可利用式(42)计算参数f0。该方法不仅显著减少了样本量，通常可降低一个数量级，而且有效地约束了收敛模式方程中的参数，从而确保其与实际工程条件更加一致。如果将f0与其他参数一起离散化，则生成的样本中有相当数量的节点将对应于不满足恒定地表损失率已知条件的隧道收敛模式，从而导致不必要的计算开销。地表损失率可通过先前开发的"双引擎预测方法"（Liu et al., 2025）获得，从而为两种预测方法的耦合提供依据。

在实际工程中，现场监测通常重点关注地表沉降，而水平变形和深部地层变形则较少被监测。这通常意味着在大多数情况下，仅有y = 0的测量点可用，且这些点均对应于垂直变形。因此，在此类条件下，训练深度学习模型的样本输入必须为Uyj，而收敛模式预测的输入应为Uy。当现场实测数据有限时，输入节点数量较少以及数据多样性不足可能无法使输入参数充分捕捉输入与输出参数之间的复杂关系，从而降低预测性能。因此，在基于现场实测数据分析隧道收敛模式时，应选择测量更为全面的断面。

基于上述过程，可以建立一种改进的隧道开挖引起的地层变形"双引擎预测方法"，该方法考虑了收敛模式的复杂性，并能准确预测地层变形。该方法的核心理念在于解析理论与深度学习之间的两次相继融合。在第一次融合中，解析理论与深度学习相结合，反演样本断面的收敛模式，从而获得第二次融合的训练样本的目标输出。在第二次融合中，利用第一次融合获得的样本集训练神经网络模型，预测预测断面的收敛模式，然后将预测结果代入解析解中，确定相应的地层变形。

6. 案例研究

6.1 工程概况

广州有轨电车广佛环线项目位于中国广州市，起点为广州东站，终点为花城街站。线路全长约39.6 km，全线均为地下线路，如图8(a)所示。具体而言，位于广州市白云区的第二工区的隧道全长为8452.759 m。该隧道采用6台直径为8.8 m的双护盾TBM掘进施工，如图8(b)所示。隧道管片的内径为3.85 m，外径为4.25 m。

图8 项目线路示意图及双护盾TBM结构。（a）项目线路；（b）双护盾TBM结构。

基于现场实测数据，选取了15个地质断面进行分析。其地质参数列于表2，各断面的地质条件列于表3。土层编号自地表向下依次编号，对应表2中的土层编号，所列土层厚度对应相应的土层。

表2 地质参数。

| 土层编号 | 土层类型 | 密度/(kg/m3) | G/MPa | k0 | v | 凝聚力/kPa | 内摩擦角/(°) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 填土 | 1900 | 1.42 | 0.471 | 0.32 | 12.0 | 18.0 |
| 2 | 含粉细砂 | 1850 | — | 0.429 | 0.30 | 0.0 | 27.0 |
| 3 | 中粗砂 | 1900 | — | 0.538 | 0.35 | 0.0 | 32.0 |
| 4 | 砾石 | 2000 | 1.60 | 0.316 | 0.24 | 0.0 | 34.0 |
| 5 | 塑性粉质黏土 | 1840 | 0.97 | 0.471 | 0.32 | 18.0 | 16.0 |
| 6 | 粉土 | 1640 | 2.12 | 0.754 | 0.43 | 8.0 | 8.0 |
| 7 | 全风化花岗岩 | 1910 | 3.11 | 0.370 | 0.27 | 28.0 | 22.0 |
| 8 | 强风化半岩半土花岗岩 | 1940 | 400.00 | 0.333 | 0.25 | 36.0 | 25.0 |
| 9 | 强风化块状花岗岩 | 1950 | 406.50 | 0.299 | 0.23 | 40.0 | 25.0 |
| 10 | 中风化花岗岩 | 2450 | 4166.67 | 0.250 | 0.20 | 400.0 | 35.0 |
| 11 | 微风化花岗岩 | 2630 | 10593.22 | 0.220 | 0.18 | 1000.0 | 42.0 |

表3 地质断面。

| 断面里程 | 土层编号列表 | 土层厚度列表/m | 隧道深度/m | 地下水深度/m |
|---|---|---|---|---|
| Y650 | 1, 3, 5, 7, 8, 10, 11 | 5.5, 1.5, 1.8, 11.0, 2.5, 2.5 | 21.2 | 29.5 | 5.0 |
| Y640 | 1, 5, 7, 10, 11 | 7.0, 2.5, 13.0, 4.5 | 19.5 | 29.0 | 5.5 |
| Y620 | 1, 5, 3, 7, 10, 11 | 6.5, 1.0, 0.5, 9.5, 3.0 | 24.0 | 28.5 | 4.8 |
| Y610 | 1, 5, 2, 8, 11 | 6.0, 1.0, 0.5, 6.0 | 28.0 | 27.0 | 3.0 |
| Y600 | 1, 5, 8, 9, 11 | 5.0, 2.0, 1.5, 3.0 | 21.5 | 26.5 | 2.2 |
| Y585 | 1, 5, 3, 8, 9, 10, 11 | 4.5, 0.5, 2.0, 3.0, 1.5, 3.0 | 27.5 | 26.5 | 2.1 |
| Y575 | 1, 3, 8, 9, 10, 11 | 5.5, 1.5, 2.0, 3.0, 6.0 | 25.0 | 26.0 | 2.1 |
| Y565 | 1, 3, 8, 9, 10, 11 | 4.5, 2.5, 2.0, 3.0, 6.5 | 24.5 | 27.0 | 2.1 |
| Y550 | 1, 6, 3, 7, 9, 10, 11 | 4.5, 1.5, 1.5, 1.0, 3.0, 7.0 | 26.0 | 28.0 | 2.5 |
| Y540 | 1, 6, 2, 3, 7, 9, 10, 11 | 4.5, 2.5, 1.0, 1.0, 2.0, 2.5, 6.5 | 25.0 | 29.0 | 2.9 |
| Y525 | 1, 6, 2, 4, 7, 9, 10, 11 | 4.0, 3.0, 1.0, 0.5, 0.5, 2.5, 8.0 | 25.0 | 29.0 | 4.0 |
| Y510 | 1, 6, 8, 10, 11 | 3.0, 2.0, 2.5, 7.5 | 30.0 | 30.0 | 3.5 |
| Y490 | 1, 6, 8, 10, 11 | 3.0, 1.0, 1.5, 7.0 | 32.5 | 30.0 | 3.0 |
| Y480 | 1, 8, 10, 11 | 2.0, 1.0, 6.5 | 35.5 | 30.5 | 2.5 |
| Y470 | 1, 8, 10, 11 | 2.0, 1.5, 5.5 | 36.0 | 30.5 | 3.2 |

考虑到隧道开挖是一个动态过程，对于每个地质断面，在不同掘进面距离s下可获得多组现场实测数据。所选典型地质断面在不同距离s下的代表性地表沉降数据列于表4。

表4 典型断面实测地表沉降（mm）。

| 断面 | 编号 | x/m | ?90 | ?60 | ?30 | ?15 | 0 | 15 | 30 | 60 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Y650 | 1–1 | | ?10.3 | 0.3 | 3.5 | 4.9 | 5.0 | 5.6 | 3.9 | 1.6 | ?0.4 |
| Y650 | 1–2 | | 0.1 | 0.3 | 3.5 | 4.6 | 5.8 | 5.7 | 4.2 | 1.2 | 0.9 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| Y640 | 2–1 | | ?0.7 | ?0.2 | 3.5 | 3.9 | 4.5 | 5.3 | 3.0 | 1.5 | ?0.6 |
| Y640 | 2–2 | | ?0.4 | 0.2 | 3.8 | 4.6 | 4.8 | 5.0 | 3.6 | 0.6 | 0.5 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |

6.2 隧道收敛模式预测

(1) 样本输入向量

在本案例研究中，R、EQ、νQ、Ec、vc和tc为常数，因此从输入中排除。利用5.2.1节所述的"双引擎预测样本输入获取方法"，并考虑可用的现场数据，所选样本输入向量如式(50)所示：

(50) m′ = [H, σ′v, s, G, v, pw, k0, Ql, Qr]^T

每个地质断面包含多组现场实测数据，这些数据对应于不同的掘进面距离s。因此，每套数据可视为一个独立断面。选取前124套数据作为样本断面，Y470断面的最后3套数据作为预测断面。根据6.1节所述的工程参数，样本断面的输入向量列于表5，预测断面的输入向量列于表6。相关地质参数根据土层厚度确定加权平均值（Zhou et al., 2020；Miao et al., 2022）。

表5 样本断面输入向量。

| 断面 | 编号 | H/m | σ′v/MPa | s/m | G/GPa | v | pw/kPa | k0 | Ql/m3 | Qr/m3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Y650 | 1–1 | 29.5 | 0.609 | 58 | ?30.0 | 9.4158 | 50.188 | 0.245 | 0.22 | 2.0 | 2.4 |
| Y650 | 1–2 | 29.5 | 0.609 | 58 | ?40.0 | 9.4158 | 50.188 | 0.245 | 0.22 | 2.0 | 2.4 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| Y640 | 2–1 | 29.0 | 0.590 | 15 | ?30.0 | 9.4158 | 50.188 | 0.235 | 0.22 | 1.9 | 2.1 |
| Y640 | 2–2 | 29.0 | 0.590 | 15 | ?40.0 | 9.4158 | 50.188 | 0.235 | 0.22 | 1.9 | 2.1 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |

表6 预测断面输入向量。

| 断面 | H/m | σ′v/MPa | s/m | G/GPa | v | pw/kPa | k0 | Ql/m3 | Qr/m3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Y470 | 30.5 | 0.734 | 25 | ?20.0 | 9.4158 | 50.188 | 0.273 | 0.22 | 2.4 | 2.4 |
| Y470 | 30.5 | 0.734 | 25 | ?30.0 | 9.4158 | 50.188 | 0.273 | 0.22 | 2.4 | 2.4 |
| Y470 | 30.5 | 0.734 | 25 | ?40.0 | 9.4158 | 50.188 | 0.273 | 0.22 | 2.4 | 2.4 |

根据式(48)，收敛模式反演所需样本数量随收敛模式参数数量t的增加而迅速增长。尽管减少参数数量可以提高计算效率并降低过拟合风险，但过低的截断阶数可能会削弱收敛模式的描述能力，从而影响最终地层变形预测的精度。因此，应在综合考虑计算效率、模型复杂度、收敛模式反演精度以及最终地层变形预测精度的基础上确定截断阶数。

为确定适当的截断阶数，从项目中选取了代表性样本断面进行收敛模式预反演。为确保为收敛模式反演生成的样本量为深度学习模型提供足够的训练样本，选取b = 4，即每个收敛模式参数分配平均4个离散点。

考虑计算可行性，在预反演中保留式(5)的前11项，即n < 5。在此设置下，共生成4^10 = 1048576个样本。为提高采样效率，采用拉丁超立方采样生成不同的隧道收敛模式。随后，在?100至100 m之间均匀采样40个测量点，构建测量点矩阵P。然后利用第3节建立的解析解计算每个测量点的地表沉降，所得地表沉降向量作为样本输入，相应的收敛模式参数向量作为目标输出，从而形成预反演样本集。

根据数据集的特征，采用具有相同网络架构的一维卷积神经网络（1D-CNN）模型分别对每个样本断面进行预反演，从而获得每个样本断面的收敛模式参数向量。输入数据采用z-score标准化，输出数据采用最小-最大值归一化。相应超参数列于表7。

表7 收敛模式预反演1D-CNN模型的超参数。

| 输入层维度 | 卷积层设置 | 输出层维度 | 全连接层 | Dropout率 | 优化算法 | 正则化 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 40 | 128@3×1, 256@5×1, 512@3×1 | 11 | 128, 64 | 0.1 | Adam | 1×10?? |
| 激活函数 | 池化层设置 | 初始学习率 | 学习率衰减 | 批大小 | 最大训练轮数 | 执行环境 |
| ReLU | @2×1, @2×1, GlobalMaxPool | 1×10?3 | 每50轮衰减0.5× | 128 | 1000 | 3050-6G |

由于f0始终存在且通常占总能量的最大比例，直接比较可能会掩盖其余收敛模式参数的相对重要性。因此，为更清晰地评估它们的贡献，采用式(51)结合预反演结果确定各收敛模式参数对应的能量比例。

(51) Kj = [Δ]j2 / (l2 + h2 + Σ∞(i=1)(fi2 ? gi2))

其中，Kj表示第j个收敛模式参数的能量比例；[Δ]j表示收敛模式参数向量Δ的第j个元素。由于Δ的第三个元素对应f0，f0不纳入比较范围，故j ≠ 3。

收敛模式参数的能量比例Kj汇总于表8，相应的柱状图如图9所示。

表8 预反演得到的收敛模式参数能量比例Kj（%）。

| 编号 | 参数 | l | h | f0 | f1 | g1 | f2 | g2 | f3 | g3 | f4 | g4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1–1 | | 0.1 | 44.8 | 8.9 | 3 | ?1.9 | 20.6 | 84.5 | 937.6 | 933.7 | 51.4 | 021.0 | 160.1 |
| 1–2 | | 0.9 | 52.2 | 2 | ?2.8 | 27.2 | 133.4 | 547.7 | 313.6 | 63.1 | 20.5 | 10.6 | 30.2 |
| 2–1 | | 2.7 | 75.2 | 2 | ?0.9 | 20.2 | 535.6 | 749.4 | 213.3 | 33.4 | 60.7 | 60.3 | 00.2 |
| 2–2 | | 8.1 | 87.0 | 8 | ?0.0 | 91.9 | 758.6 | 518.2 | 419.4 | 42.8 | 00.9 | 20.2 | 30.2 |

图9 收敛模式参数的能量分布。

可以观察到，前九个收敛模式参数占总能量的98.5%以上，表明额外的更高阶项对收敛模式描述的贡献相对有限。同时，纳入更多系数会增加输出向量的维度，这不仅提高了收敛模式反演的计算成本和样本需求，而且在小样本条件下增加了过拟合风险。因此，综合考虑地层变形预测精度、计算效率、样本需求和模型复杂度，最终保留式(5)的前九项，即n < 4。因此，高阶傅里叶项（n ≥ 4）对应的隧道轮廓高频振荡被忽略。

在确定收敛模式参数数量t = 9后，按照5.2.2节所述方法对样本断面进行收敛模式反演。在此设置下，每个样本断面共生成4^8 = 65536个样本。为提高采样质量，采用拉丁超立方采样生成不同的隧道收敛模式。同样，在?100至100 m之间均匀采样40个测量点构建测量点矩阵P。样本断面的收敛模式反演同样采用1D-CNN模型进行。网络架构和训练策略与预反演基本一致，相应超参数列于表9。样本断面的最终反演结果列于表10。

(3) 收敛模式预测

表9 收敛模式反演1D-CNN模型的超参数。

| 输入层维度 | 卷积层设置 | 输出层维度 | 全连接层 | Dropout率 | 优化算法 | 正则化 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 40 | 64@3×1, 128@5×1, 256@3×1 | 9 | 128, 64 | 0.2 | Adam | 1×10?3 |
| 激活函数 | 池化层设置 | 初始学习率 | 学习率衰减 | 批大小 | 最大训练轮数 | 执行环境 |
| ReLU | @2×1, @2×1, GlobalMaxPool | 1×10?3 | 每50轮衰减0.5× | 128 | 200 | 3050-6G |

表10

预测段的目标输出向量。

| 预测段 | 样本编号 | Δ/m |
|---|---|---|
| Y6501–1 | ?0.00073, 0.01384, 8.77368, 0.00175, 0.00051, 0.00424, 0.01213, 0.00279, ?0.00134 | |
| Y6501–2 | 0.00122, ?0.00188, 8.76656, 0.00012, 0.00139, 0.00731, 0.00872, 0.00047, 0.00223 | |
| …… | …… | …… |
| Y6402–1 | 0.00153, 0.00210, 8.778670, 0.00088, 0.00046, 0.00589, 0.00645, ?0.00006, 0.00071 | |
| Y6402–2 | 0.00358, 0.00332, 8.77821, ?0.00038, 0.00175, 0.01095, 0.00533, ?0.00074, 0.00209 | |
| …… | …… | …… |

从建模角度来看，收敛形态预测可以视为建立输入向量与收敛形态参数向量之间的映射关系。在本案例研究中，预测任务相对简单，因为输入和输出都是低维向量。因此，采用全连接神经网络（FCNN）来预测预测段的收敛形态。考虑到本研究中可用样本量较小，FCNN架构有助于降低过拟合风险，同时保持轻量级且计算高效的预测框架。对样本段进行了五折交叉验证，并使用z-score标准化方法对数据进行标准化处理。相应的超参数列于表11，各预测段的预测隧道收敛形态见表12。

**表11 FCNN模型预测隧道收敛形态的超参数**

| 输入层维度 | 全连接层 | 输出层维度 | Dropout率 | 优化算法 | 激活函数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 16, 16 | 9 | 0.2 | Adam | ReLU |

| 批量大小 | 学习率衰减 | 初始学习率 | 最大训练迭代次数 | 正则化 | 运行环境 |
|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 每50个epoch衰减0.5 | 5×10?? | 400 | 1×10?? | 3050-6G |

**表12 预测段的预测隧道收敛形态**

| 预测段 | Δ/m |
|---|---|
| Y470?20.0 | ?0.00020, 0.00046, 8.78883, 0.00006, ?0.00015, 0.00542, 0.00440, 0.00014, 0.00079 |
| Y470?30.0 | ?0.00038, 0.00082, 8.78190, ?0.00047, ?0.00089, 0.00482, 0.00507, ?0.00061, ?0.00077 |
| Y470?40.0 | ?0.00080, 0.00189, 8.77973, 0.00005, ?0.00004, 0.00430, 0.00541, ?0.00062, ?0.00035 |

在整个双引擎预测过程中，样本段收敛形态的反演过程是计算量最大的步骤。在本案例研究中，实验计算机配置为Intel i7-14700 K CPU、32 GB内存和NVIDIA RTX 3050-6 GB GPU。算法在MATLAB平台上实现，CPU执行解析计算，GPU执行深度学习模型训练和推理。在不使用并行计算的情况下，单个样本段的平均反演时间约为3520秒。考虑到实际工程中典型的隧道掘进速率，该计算时间足以满足实时预测的需求。采用并行计算或更高配置的硬件，可进一步提高反演效率。此外，当某一地质段有多组实测数据可用时，该段收敛形态反演模型的样本构建和模型训练过程只需进行一次。在后续应用中，可直接使用训练好的模型快速获得反演结果。

在实际应用中，先前的双引擎预测方法（Liu等，2025）依赖于理想化的收敛形态，具有较高的计算效率，通常能在几十秒内产生预测结果，但其预测精度受简化收敛假设的固有局限。相比之下，本研究提出的改进预测方法明确考虑了收敛形态的复杂性，理论上能够实现更高的预测精度。尽管其计算效率相对较低，但仍能满足实际隧道掘进作业的时效性要求。通过整合这两种方法，可以发挥两者的互补优势，从而建立一个更加实用、灵活和稳健的双引擎预测系统。

**6.3 双引擎预测结果**

基于表12中给出的隧道收敛形态预测和第3节提出的解析理论，可以获得预测段的双引擎预测结果。本节首先将现场实测地表沉降数据与预测结果进行对比，然后分析隧道轮廓和地层变形形态，以验证改进双引擎预测方法的可靠性。

**(1) 地表沉降**

为验证所提出的改进双引擎预测方法的可靠性，将现场实测地表沉降曲线、本文提出的改进方法、先前的双引擎预测方法（Liu等，2025）以及偏移修正Peck公式的预测结果进行了对比，如图10所示。相应的统计指标汇总于表13。

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> **图10 预测段的地表沉降对比曲线**。（a）Y470断面，s = ?20 m；（b）Y470断面，s = ?30 m；（c）Y470断面，s = ?40 m。

**表13 不同方法预测结果的RMSE和R2值**

| 断面 | 方法 | 改进方法 | 先前方法（Liu等，2025） | Peck偏移修正（式(45)） |
|---|---|---|---|---|
| | | RMSE/mm | R2 | RMSE/mm | R2 | RMSE/mm | R2 |
| Y470断面，s = ?20 m | | 0.587 | 0.897551 | 0.717 | 0.788861 | 0.577 | 0.881740 |
| Y470断面，s = ?30 m | | 0.282 | 0.920904 | 0.809 | 0.811315 | 0.600 | 0.905487 |
| Y470断面，s = ?40 m | | 0.737 | 0.900232 | 0.8343 | 0.864565 | 1.025 | 0.804485 |

注：RMSE表示均方根误差；R2表示决定系数。

可以看出，与先前方法相比，本文提出的方法预测的地表沉降与现场实测值吻合度更好。这种改进可以归因于本文方法考虑了隧道收敛形态的复杂性，更好地反映了地表损失区域的复杂分布。随着隧道掘进的进行，地表沉降逐渐增大。这是因为地表损失在隧道掘进过程中逐渐发生，最终趋于稳定。由于收敛形态的复杂性，各断面的地表沉降形态存在差异，沉降峰值位置的差异尤为显著。这些变化应在隧道掘进引起的地层变形的精细化分析中予以考虑。

**(2) 隧道轮廓变形**

图11展示了各预测段的未变形和变形后的隧道轮廓以及地表损失区域。可以观察到，在复杂的施工条件下，变形后的隧道轮廓并不严格保持在开挖边界内，其变形形态与传统收敛形态（图4）存在显著差异。这一发现与现有实验研究的结论一致（Yang等，2019；Zhang等，2025）。因此，采用传统收敛形态进行地层变形分析可能导致显著误差。随着隧道掘进的进行，同一地质段内的隧道收敛形态变化显著，导致地层变形出现较大差异。本文方法捕捉了掘进过程中地层变形的动态演化，这进一步证明了其有效性和适用性。

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> **图11 预测段的未变形和变形后的隧道轮廓及地表损失区域**。（a）Y470断面，s = ?20 m；（b）Y470断面，s = ?30 m；（c）Y470断面，s = ?40 m。

图12、图13、图14分别展示了预测段Y470在纵向位置s = ?20、?30和?40 m处的地层变形等值线图。可以观察到，本文方法获得的地层变形预测结果相对于隧道中心线并非严格对称，这与先前报道的分析结果存在显著差异。这是因为本文方法考虑了地表损失区域的复杂分布，能够更准确地捕捉隧道掘进过程中地层变形的分布和演化。

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> **图12 本文提出的双引擎预测方法获得的Y470断面s = ?20 m处的地层变形**。（a）水平变形ux；（b）垂直变形uy。

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> **图13 本文提出的双引擎预测方法获得的Y470断面s = ?30 m处的地层变形**。（a）水平变形ux；（b）垂直变形uy。

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> **图14 本文提出的双引擎预测方法获得的Y470断面s = ?40 m处的地层变形**。（a）水平变形ux；（b）垂直变形uy。

上述分析表明，基于由15个地质段收集的124组数据构成的样本集，本文提出的改进双引擎预测方法能够实现令人满意的预测结果。随着隧道掘进的推进和可用样本数量的逐步增加，最终的预测精度有望进一步提高。

**7. 结论**

本研究首先基于Fourier级数和坐标变换建立了隧道收敛形态的统一方程，实现了对隧道轮廓轨迹的准确描述。随后推导了任意收敛形态下收敛形态参数与隧道轮廓变形之间的解析关系。基于复变函数理论，考虑收敛形态的复杂性，建立了隧道掘进引起地层变形的复变解。通过模型退化和参数敏感性分析验证了该解的可靠性。此外，开发了考虑收敛形态复杂性的隧道掘进引起地层变形的改进双引擎预测方法。最后将该方法应用于工程案例研究。主要结论总结如下：

1) 建立了隧道收敛形态的统一方程，实现了对复杂条件下隧道轮廓轨迹的准确描述。通过整合三个独立坐标系之间的变换关系，推导了任意收敛形态下的隧道轮廓变形。对于收敛形态参数，水平和垂直偏移不引起地表损失；零阶系数引起隧道收缩，导致地表损失值为正；所有其他系数引起隧道膨胀，导致地表损失值为负。在实际工程中，地表损失一般为非负值；因此，零阶系数必须小于隧道半径的两倍，以满足该要求。

2) 基于隧道收敛形态的统一方程和隧道轮廓变形，利用复变函数理论建立了任意收敛形态下隧道轮廓变形的共形映射，从而建立了任意收敛形态下隧道掘进引起地层变形的复变解，并通过计算编程实现。模型退化和参数敏感性分析的结果表明，该解是传统复变解的通用形式，能够更准确地反映隧道掘进引起的地层变形形态。

3) 不同收敛形态参数对隧道掘进引起地层变形的影响差异显著。某些参数可引起变形场的大幅变化，尤其是隧道轮廓附近。在复杂收敛形态下，地表损失区域的分布可能变得不对称，导致隧道掘进引起的实际地层变形与使用传统方法获得的预测结果之间存在显著差异。地表沉降曲线的峰值位置也可能偏离隧道中心线，这在隧道掘进引起的地层变形的精确分析中应予以考虑。

4) 基于建立的解析理论并借助机器学习的非线性拟合能力，实现了样本段收敛形态的反演。在实际工程中，条件非常复杂，特别是由于岩土性质的随机性和隧道衬砌背后回填的不均匀分布，这可能导致隧道轮廓变形发生显著变化。这意味着变形后的隧道轮廓可能偏离开挖边界，而变形峰值的大小和方向存在一定的不确定性，同一隧道不同断面的收敛形态也可能存在较大差异。

5) 基于建立的解析理论和机器学习方法，开发了考虑收敛形态复杂性的隧道掘进引起地层变形的改进双引擎预测方法。该方法考虑了地表损失区域的空间分布，能够对隧道掘进过程中地层变形的复杂分布和演化进行更精细的表征，并支持实时预测。在工程实践中的应用结果表明，该方法能够实现令人满意的预测性能，预测的地表沉降比传统方法的预测结果与现场实测值吻合度更高。随着隧道掘进的推进，样本量逐步增加，预测精度有望进一步提高。

需要注意的是，尽管本文提出的方法在本案例研究中展现了令人满意的预测性能，但仍需要大量现场实测数据来支持其更广泛的适用性。整个预测过程已通过计算编程实现，这使得能够整合更大范围的现场实测数据。在未来的研究中，将进一步探索改进方法，以完善所提出的方法并增强其鲁棒性。

**CRediT作者贡献声明**

赵嘉乐：初稿撰写、可视化、软件、方法论、调查研究、形式分析。刘洋：项目管理、方法论、经费获取、概念构思。王小晓：审阅与编辑、数据整理。

**生成式AI及AI辅助技术在写作过程中的声明**

在本工作的准备过程中，作者使用了ChatGPT来润色语言，以达到更学术化的语气。在使用该工具后，作者对内容进行了审阅和编辑，并对出版内容承担全部责任。

赵嘉乐 | 刘洋 | 王小晓