通过一种关键的条件商方法，实现对大型机床位置依赖自然频率的准确实时预测

《CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology》：Accurate real-time prediction of position-dependent natural frequencies of large-scale machine tools via a key conditional quotient method

　　摘要
大型机床的自然频率在工作空间内表现出强烈的位置依赖性。准确实时预测位置依赖的自然频率对于避免共振和优化切削参数至关重要。然而，现有方法面临高昂的测试成本、被忽视的测量不确定性以及在仿真不确定性下同时实现准确性和实时性能的困难。本研究提出了一种概率关键条件商（KCQ）方法，该方法将少量含噪声的振动数据与具有参数不确定性的有限元仿真相结合，以实现准确的实时预测。推导出了条件概率密度函数（PDF）、条件均值和条件方差的正则表达式，将预测任务转化为条件统计量的计算。为了高效解决这一问题，采用了非等权重广义拟蒙特卡洛（GQMC）方法和狄拉克δ函数的高斯平滑处理。开发了一个离线-在线耦合的KCQ框架，以支持毫秒级的实时性能。在JR-2203Q龙门机床上的验证表明，预测误差低于3%，计算时间少于5毫秒，证明了该方法在预测精度和计算速度方面的有效性。

引言
机床是制造业的核心基础设备，其加工精度和稳定性直接决定了航空航天、能源和模具制造等领域高端零件的制造质量[1]、[2]。在机床的各种动态特性中，自然频率是表征整个机器结构动态行为的最基本和最关键的参数之一[3]、[4]、[5]。当主轴旋转频率或其谐波接近机床的自然频率时，可能会引起共振和颤振，导致表面质量严重恶化以及刀具和主轴的加速磨损，在极端情况下还会造成结构损坏和加工中断[6]、[7]。因此，准确了解机床的自然频率是确保加工稳定性的前提条件。然而，机床的自然频率并不是恒定的。特别是对于大型机床，当主轴头和滑动鞍座等移动部件移动到不同位置时，结构的质量和刚度分布会发生显著变化，从而导致自然频率的明显位置依赖性[8]、[9]、[10]。这意味着仅通过少数几个位置进行振动测试测得的自然频率很难代表机床在整个工作空间内的真实动态特性。因此，准确实时预测整个工作空间内的位置依赖自然频率具有重要意义[11]、[12]。例如，随着数字孪生技术在机床中的广泛应用，能够实时获取任何加工位置的自然频率可以有效防止共振，并为切削参数优化提供基础，从而提高加工精度和效率[13]、[14]、[15]。事实上，表征和预测整个工作空间内机床的位置依赖量——从几何误差和热误差到动态特性——同时量化相关不确定性已成为机床研究中的常见趋势[16]、[17]、[18]。这对应对预测方法提出了更高的要求，包括工作空间覆盖范围、实时计算性能以及处理不确定性的能力。
关于位置依赖自然频率的预测，现有研究方法大致可以分为三类[19]：基于振动测试的方法、理论或有限元仿真方法以及数据驱动方法。基于振动测试的方法通过在工作空间的多个位置进行实验模态分析（EMA）来获取自然频率信息，并根据测量数据建立预测模型[5]、[20]。Putz等人[21]使用EMA研究了工作空间内不同方向上自然频率的变化特性。Baumann等人[22]在23个工作位置进行了振动测试，并采用三角形插值方案来预测工作空间内任意位置的模态参数。Deng等人[23]选择了27个工作位置进行振动测试，并构建了一个克里金替代模型来预测模态参数。这些方法直接基于测量数据，因此具有较高的可信度；然而，随着测量位置数量的增加，实验成本会迅速增加。对于大型机床，由于结构复杂和尺寸庞大，在整个工作空间进行振动测试通常需要提升平台等辅助设备，使得实验难以进行，导致长时间测试周期和高成本[24]。更重要的是，受传感器误差和环境干扰的影响，测量数据不可避免地包含测量误差[25]、[26]，而插值方案和替代模型通常将测量值视为精确值，因此测量误差会直接传播到预测结果中而不加以量化。因此，仅依赖振动测试的方法在预测大型机床的位置依赖自然频率方面存在明显局限。
理论或有限元仿真方法从机床的物理模型出发预测位置依赖的自然频率。在理论建模方面，Luo等人[19]、[27]、[28]基于质量变化等方法系统分析了移动部件位置变化对机床自然频率的影响。Liu等人[29]利用矩阵摄动理论研究了整个工作空间内第一自然频率的变化。Qiu等人[30]将位置依赖自然频率的分析转化为可解析求解的特征对更新问题。这些方法具有明确的物理含义；然而，它们高度依赖于对机床结构的全面了解以及对动态问题的理想化简化，因此难以直接应用于结构复杂的大型机床。从有限元建模的角度来看，Liu等人[31]通过有限元分析构建了一个模态形状数据库，以全面表征机床在不同工作条件下的动态行为。Chan等人[11]对五轴机床的位置依赖自然频率进行了有限元分析和实验验证。然而，对于大型机床，整个机床的高保真有限元模型通常涉及大量的自由度，因此单次分析耗时较长，难以直接满足实时预测的要求。为了提高计算效率，Zatarain等人[32]提出了机床的模块化合成概念，随后不断开发了模型降维和子结构技术。Law等人[33]、[34]基于改进的降阶模型建立了位置依赖的多体动力学模型，实现了不同工作位置上模态参数的快速预测。Law和Ihlenfeldt[35]开发了一种基于频率的子结构方法，通过耦合子结构在接口处的频率响应函数高效重建了整个机器的动态。Semm等人[36]在子结构耦合中进一步考虑了局部阻尼效应，提高了位置依赖动态行为的预测精度；Garitaonandia等人[37]基于子结构分析预测了不同配置下的钻铣机动态行为。Bilgili等人[38]建立了五轴机床的高效多体动力学模型。Brecher等人[39]实验研究了多轴铣床的轴位置依赖动态。尽管如此，由于大型机床的结构复杂性，建模误差、模型简化假设以及材料和关节界面参数的不确定性等因素不可避免，仅依赖正向模型计算的预测很难保证准确性。
为了克服上述局限性，近年来逐渐出现了数据驱动方法，这些方法通过结合振动测试数据和理论或有限元模型的信息来进行预测。Liu和Altintas[40]采用了一种将理论模型与振动测试数据相结合的渐进式网络来预测机床的位置依赖动态特性。Chen等人和Yu等人[24]、[41]采用了迁移学习策略进一步提高位置依赖动态特征的预测精度。Ullah等人[42]提出了一个集成有限元和神经网络的机床结构空间模态预测框架。通过协同整合仿真模型和振动测试数据，这些方法可以有效减少预测误差[43]。然而，这些方法通常依赖于复杂的神经网络架构或替代模型，通常在训练和推理过程中具有有限的物理可解释性和高昂的计算成本[44]。此外，它们的预测大多是确定性点估计，很少同时提供预测的均值、方差和概率密度等统计信息；此外，振动测试中的测量误差、有限元模型中的参数不确定性以及建模误差对预测结果的传播尚未得到充分考虑。
总之，现有方法仍然难以同时实现整个工作空间的覆盖、实时计算和不确定性量化。基于振动测试的方法进行全工作空间表征的成本较高，且很少量化测量误差。基于模型的方法具有物理可解释性，但其准确性和效率受到重复仿真和不可避免的模型不确定性的限制。数据驱动方法可以提高预测效率，但通常需要具有代表性的训练数据，并且主要产生确定性点估计。因此，如何通过完全融合考虑参数不确定性的有限元仿真信息，并仅使用包含测量误差的少量振动测试，来实现大型机床整个工作空间内位置依赖自然频率的准确实时预测，同时提供量化的预测不确定性，仍然是一个未解决的挑战。为了解决这个问题，本文提出了一种基于概率论的关键条件商（KCQ）方法。该方法只需要在少数工作位置进行振动测试。通过考虑测量不确定性并将振动测试数据与包含不确定性分析的有限元仿真数据相结合，可以实现大型机床整个工作空间内位置依赖自然频率的准确实时预测。本研究的主要贡献总结如下：
- 提出了一种新的KCQ方法，用于预测大型机床整个工作空间内的位置依赖自然频率。与传统方法仅提供确定性点预测不同，该方法将自然频率视为受测量误差和模型参数不确定性共同影响的随机变量，并将预测任务表述为在给定测量数据条件下计算条件统计量。它可以同时提供条件均值、条件方差和条件概率密度函数（PDF），从而允许对预测不确定性进行定量表征。
- 采用了一种非等权重广义拟蒙特卡洛（GQMC）方法来评估KCQ公式中的高维积分项。引入高斯函数对狄拉克δ函数进行平滑处理，从而实现条件均值、条件方差和条件概率密度函数的准确计算。
- 为了满足实时计算要求，开发了一个基于KCQ的离线-在线耦合快速预测框架，能够快速评估位置依赖自然频率的条件统计量。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了位置依赖自然频率预测的KCQ公式。第3节给出了数值实现方法，第4节开发了离线-在线快速预测框架。第5节在JR-2203Q大型机床上验证了该方法，第6节进行了总结。KCQ方法预测位置依赖自然频率的总体工作流程如图1所示。

理论背景
在无阻尼或比例阻尼条件下，受外部激励的大型机床的结构振动方程可以表示为：
?????? + ?????? + ????? = ??
其中??、???和???分别表示系统的位移、速度和加速度响应；??、??和??表示机床的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。方程（1）对应的特征值方程可以表示为：
??????? = ????2???????
其中????表示...

位置依赖自然频率预测的KCQ方法的数值实现
由于KCQ表达式涉及高维积分和狄拉克δ函数，因此需要数值方案来计算KCQ均值、KCQ方差和KCQ-PDF。

离线-在线耦合KCQ快速预测框架
(29)、(30)、(37)提供了计算大型机床位置依赖自然频率的KCQ均值、KCQ方差和KCQ-PDF的数值表达式。然而，在需要实时预测的应用中（如数字孪生系统），机床位置参数??会随时间连续变化。通过研究(29)、(30)、(37)，可以观察到，对于具有??个测量位置和??个样本点的问题，可以预测自然频率。在云南金润数控机床有限公司制造的JR?2203Q大型龙门机床的数字孪生系统中，需要实时获取与位置相关的自然频率。因此，本节选择JR?2203Q大型龙门机床作为研究对象，以全面验证所提出的KCQ方法在预测整个工作空间内与位置相关的自然频率方面的准确性和实时性能。

结论
本研究提出了一种基于条件商（KCQ）的概率方法，用于准确且实时地预测大型机床的与位置相关的自然频率。主要结论如下：
- 通过仅将少量工作位置的振动测量数据与参数不确定性下的有限元仿真结果相结合，并明确考虑测量误差，所提出的KCQ方法能够实现准确的实时预测。

CRediT作者贡献声明
林伟豪：撰写 - 原稿、软件、方法论、调查、概念化。
邓进：撰写 - 审稿与编辑、数据管理。
吴宣龙：监督、资源、概念化。
吴峰：验证、项目管理、资金获取、正式分析。
胡伟鹏：可视化、资源、数据管理。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金（授权号62388101、12372190和12432005）的支持。

林伟豪 | 吴宣龙 | 吴峰 | 胡伟鹏 | 邓进
工业设备结构分析、优化与CAE软件国家重点实验室，大连理工大学机械与航空航天工程学院，中国大连116024