具有比例时延的随机模糊胞元神经网络基于观测器的全局均方多项式同步

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Observer-based global mean-square polynomial synchronization for stochastic fuzzy cellular neural networks with proportional delays

　　

**摘要**

本文主要研究具有比例延迟和不可测状态的随机模糊细胞神经网络（FCNNs）的基于观测器的全局均方多项式同步问题。鉴于神经网络数据在实际应用中无法被完全测量，为确保驱动FCNN与响应FCNN之间实现全局均方多项式同步，本文设计了一种基于观测器的反馈控制器，利用可测量的网络输出来实现控制。此外，本文提出了一种直接分析方法，该方法基于误差系统的解和新颖的积分缩放不等式，不仅避免了对繁琐的Lyapunov-Krasovskii泛函构造的需求，还简化了与比例延迟相符的同步判据推导，显著减轻了工作量和计算复杂度。最终，通过数值示例验证了所提出方法的理论优势和实际应用价值。

**引言**

自Chua和Yang [1] 于1988年开创性地引入细胞神经网络（CNN）范式以来，这种具有局部互联特性和实时信号处理能力的非线性动态系统引起了学术界的广泛关注。为进一步增强CNN处理现实世界中不确定性、模糊性和含糊信息的能力，学者们于1996年将模糊逻辑理论与CNN框架相结合 [2]，正式开启了FCNN研究领域。经过数十年的理论发展，FCNN已成功应用于众多关键工程领域 [3]、[4]、[5]、[6]，如图像处理 [7]、[8]、[9]、模式识别 [10]、[11]，以及细胞检测 [12]、[13]。

同步是神经网络的重要动态特性，对于揭示网络在随机环境中的动态响应机制具有重要意义 [14]、[15]、[16]、[17]、[18]。然而，在实际工程应用中，由于物理传感限制、通信约束、随机干扰或高昂的传感成本，完整的神经元状态往往无法实时获取。因此，传统的完全状态反馈同步方案可能难以实施甚至不可能实现。为了克服这一局限，引入状态观测器从可测量的网络输出中重构不可访问的神经元状态。此类观测器降低了对昂贵传感设备的依赖，提高了动态运行和信号传输过程中同步控制的可行性和可靠性。作为更为普遍且实用的同步形式，均方多项式同步不仅要求误差系统的稳定性，还具备代数收敛性，这对于分析具有比例延迟的复杂网络中的信息传输和处理至关重要。

目前，延迟FCNN的同步已取得了一些成果，这里仅简要回顾与本文密切相关的研究。在文献 [19] 中，采用非分解方法（不分解四元数）研究具有比例延迟的四元值FCNN的存在性、唯一性、几乎周期性和全局多项式同步。

在文献 [20] 中，采用四元数的非分解方法，结合It?公式和随机分析理论，研究具有延迟、随机性和参数失配的四元值FCNN的准射影同步问题。然而，这些研究通常假设所有神经元状态均可直接测量，这限制了其在状态信息不可访问系统中的应用。因此，基于观测器的控制策略已被广泛研究，以仅使用可测量输出来估计内部状态 [21]、[22]、[23]。例如，Zhou等人 [24] 针对模糊神经网络提出了一种基于观测器的脉冲控制方案，在不确定信息交互下有效地实现了状态估计和同步。近年来，基于观测器的控制方法研究受到越来越多的关注，并成为该领域的一个重要方向。文献 [25] 基于随机分析理论，为具有Markov跳跃的随机神经网络设计了一种基于观测器的保证成本控制器。此外，对于在随机通信协议下运行的主从神经网络，文献 [26] 开发了一种基于观测器的准同步控制方案，以确保同步误差在均方意义下有界。最近，Gui等人 [27] 设计了Luenberger观测器来估计未知状态，并研究了分数阶延迟神经网络的最短时间同步问题。然而，据我们所知，随机FCNN的基于观测器的全局均方多项式同步问题尚未得到探索，这促使我们对此主题开展研究。

此外，FCNN经常受到比例延迟的影响 [28]、[29]。与有界延迟 [30]、[31]、[32] 不同，比例延迟随时间线性扩展，严重增加了稳定性分析的复杂性 [33]。最近，Chen和Jiang [34] 研究了具有多重比例延迟的Caputo-Katugampola分数阶FCNN的最短时间稳定性问题。传统方法通过构造复杂的Lyapunov-Krasovskii泛函或应用代数变量变换来处理比例延迟 [35]，这不可避免地引入了过度的数学复杂性和高度保守的条件。为了优雅地克服这一问题，我们开发了一种新颖的积分缩放不等式（见下文命题1）。这种方法不依赖于繁琐的Lyapunov方法，而是将比例延迟项直接约束在解分析框架内。这显著简化了推导过程，得到了简洁且严格可验证的全局均方多项式同步判据。

基于以上讨论，本文研究具有比例延迟和不可测状态的随机FCNN的基于观测器的全局均方多项式同步问题。与现有的Lyapunov-Krasovskii泛函方法、变量变换方法和完全状态反馈方法相比，本文的三项主要贡献总结如下：

- 与传统Lyapunov-Krasovskii泛函方法不同，本文提出的方法直接分析误差系统的解。因此，它避免了复杂Lyapunov-Krasovskii泛函的构造，简化了全局均方多项式同步判据的推导。
- 提出了一种新的积分缩放不等式，直接对原时间域中的比例延迟项进行估计。与现有的变量变换方法相比，所提出的不等式避免了额外的坐标变换，更适合处理随机扰动下的比例延迟和多项式收敛问题。
- 与通常要求所有神经元状态均可测量的现有同步方法不同，本文设计了一种基于观测器的反馈控制器，仅使用可测量的网络输出。观测器重构不可访问的神经元状态，从而提高了所提出同步方案的实用适用性。

**符号说明**：符号?表示实数域。h_j(·)表示从?到?的连续函数。对于向量 x=[x? x? ? x_n]?∈??，‖x‖:=((∑_{i=1}^{n} x_i2)^{1/2}) 表示x的欧几里得范数。对于给定的正整数M，设?M?={1,2,?,M}。

**模型与控制器设计**

驱动随机FCNN的动态特性由以下微分方程决定 [36]：

其中，x_i(t)表示第i个神经元的状态，s_m(t)表示第m个可测量输出；参数a_i指定衰减率，神经元之间的互联由标准...

**主要结果**

本节将建立确保随机驱动-响应模型（1）和（2）实现全局均方多项式同步的充分条件。

**定理1** 模型（6）的解满足：

模型（7）的解满足：

**数值仿真**

本节给出一个数值示例，以展示前面章节所推导理论结果的有效性和适用性。我们考虑一个三神经元随机FCNN模型，这是广泛用于观察耦合网络中复杂动态行为的经典配置。驱动系统的参数选取确保其在比例延迟和随机扰动的影响下表现出丰富的动力学行为。

**例1** 对于随机FCNN（1）...

**结论**

本文研究了具有比例延迟的随机FCNN的基于观测器的全局均方多项式同步问题。设计了状态观测器和反馈控制器以克服神经元状态不可测量的实际限制。此外，通过利用误差系统解析解构造新颖的积分缩放不等式，建立全局均方多项式同步判据时无需依赖复杂的...

**CRediT作者贡献声明**

Zhita Zhao：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，方法论，概念化。Ge Han：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，软件，形式化分析。Xiaona Yang：撰写——审稿与编辑，验证，软件，资金支持。Xian Zhang：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，监督指导，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

Zhita Zhao | Ge Han | Xiaona Yang | Xian Zhang

黑龙江大学数学科学学院，哈尔滨，150080，中华人民共和国