基于水平集与富集形函数耦合的反演有限元方法用于裂纹板壳结构的结构健康监控

《Computers & Structures》：Inverse finite element method coupling level-set and enriched shape functions for SHM of cracked plate-shell structures

　　

## 摘要

逆有限元方法（iFEM）是一种在结构健康监控（SHM）领域具有重要工程价值的技术。然而，传统的iFEM在有效建模各种内部结构不连续性（特别是裂纹）时面临重大困难。本文将近似逆有限元方法与扩展有限元方法（XFEM）相结合，提出了一种新型的四节点四边形逆扩展壳单元，命名为iXQS4单元，旨在提高iFEM对裂纹引起的不连续性和应变奇异性的建模精度。该方法将扩展有限元方法的富集形函数（Heaviside函数和渐近尖端函数）以及水平集函数融入iFEM框架中。该方法能够精确捕捉裂纹引起的位移跳跃并描述奇异应变场，从而提高了裂纹板-壳结构形状的辨识精度，并能够计算混合模式应力强度因子（SIFs）。数值结果验证了iXQS4单元在裂纹板-壳结构SHM应用中的有效性和可靠性。

## 引言

壳结构由于其轻量化设计和高比强度特性，被广泛应用于航空航天、船舶建造和桥梁建设等关键工程领域[1]，[2]。然而，在长期服役过程中，由于复杂载荷等环境因素的影响，板和壳结构往往会出现各种缺陷，如裂纹和孔洞等。这些缺陷会严重损害结构的强度和稳定性[3]，[4]。因此，开发针对板和壳结构的结构健康监控方法以实现潜在缺陷的早期检测和定位，具有重要的理论意义和实际价值[5]，[6]，[7]，[8]。

结构健康监控（SHM）是一种集成了传感器、数据采集和分析模型的技术系统，用于实现对关键结构的状态感知和安全评估[9]，[10]。该技术能够识别裂纹、分层和腐蚀等损伤，有助于潜在缺陷的检测，并最大限度地提高资产的可用性和安全性[11]，[12]，[13]。随着传感器技术和数据处理算法的进步，基于应变的形状感知技术在SHM领域得到了广泛应用[14]，[15]。形状感知技术利用离散应变测量数据实时重构位移场或应变分布，为SHM系统提供关键输入信息，以提高安全性并实现更准确的失效预测[16]。

在过去几十年中，基于离散应变测量的各种变形重构方法不断发展，可归纳为四大类。第一类是基于测量应变的数值积分方法，如Ko位移理论[17]。该理论基于Euler-Bernoulli梁假设，将轴向应变与弯曲挠度的二阶导数相关联，从而重构全场位移[18]。第二类是基于插值函数逼近原理的模态方法[19]。该方法主要利用整体或分段连续的基函数来逼近位移场。第三类是基于机器学习技术的数据驱动方法。该方法的核心在于识别一个高维非线性映射函数，以建立局部传感器信息与整体几何形状之间的对应关系[20]，[21]。第四类是由Tessler和Spangler提出的逆有限元方法（iFEM）[22]。其核心原理是利用最小二乘变分原理，通过最小化测量应变与由位移插值得到的理论应变之间的差异来重构全场位移。与上述三种技术相比，iFEM的核心优势在于其算法逻辑不依赖于先验载荷信息或复杂材料参数。该方法仅通过整合结构几何形状、边界约束和测量应变数据即可实现全场变形重构[23]，[24]。

iFEM已被证明是一种快速、精确且鲁棒的基于应变的形状感知方法。近年来，人们通过各种逆单元的开发，付出了大量努力来提高iFEM的适用性和重构性能。这些发展主要集中在增强插值能力、扩展几何适应性、提高数值稳定性以及克服不同结构配置相关的问题。代表性的逆公式包括三角形逆壳单元（iMIN3、iTRIA3）[25]，[26]、四边形逆壳单元（iQS4）[27]、弯曲逆壳单元（iCS8）[28]、基于Kirchhoff-Love理论的逆单元（iKLS）[29]、混合插值逆壳单元（iMICS4）[30]、应变平滑逆单元（iSPS、iSQS）[31]，[32]以及逆梁单元（iBeam3）[33]和实体逆单元[34]。这些进展显著地将iFEM的应用范围从简单的梁和板结构扩展到了复杂的壳和三维结构，同时提高了变形重构精度和计算鲁棒性。

尽管这些发展显著扩大了iFEM在各种结构配置中的适用范围，但大多数现有的逆单元都存在一个共同的方法学局限性：它们是基于传统的多项式形函数构建的，假设每个单元内的位移和应变场是连续的。虽然这种光滑场公式对完整结构是有效的，但对于存在变形不连续性和局部奇异场的裂纹结构则不适用。具体而言，裂纹在裂纹表面引入位移跳跃，并在裂纹尖端附近引入奇异应变场，这些都无法被传统的连续插值方案精确表示。因此，传统的iFEM公式可能导致裂纹引起的变形重构不准确以及断裂参数估计不可靠。

认识到传统光滑场iFEM公式对裂纹结构的局限性，一些研究试图将iFEM的能力扩展到裂纹感知的结构监控。现有的方法一般可以归纳为几种策略，包括数据驱动的裂纹识别[35]，[36]、iFEM与先进断裂仿真技术的耦合[37]，[38]、针对已有裂纹结构的逆裂纹尖端单元[39]以及将富集形函数纳入逆公式[40]。尽管这些研究表明了iFEM在损伤和断裂相关结构监控方面的潜力，但大多数现有方法仍然局限于二维面内问题，或者主要关注裂纹检测而非不连续变形的全场重构。因此，它们无法直接应用于裂纹板-壳结构，在这种结构中，膜变形、弯曲变形和裂纹尖端奇异性是强烈耦合的。

从二维面内裂纹模型到由Mindlin-Reissner运动学控制的裂纹板-壳结构的转变，带来了巨大的理论挑战。在二维平面应力或平面应变公式中，只涉及一组面内自由度（DOFs），使用经典的基于r^(1/2)的渐近函数进行裂纹尖端富集足以表示奇异位移场。相比之下，Mindlin-Reissner壳单元涉及耦合的膜位移（u, v）、横向挠度（w）和旋转自由度（θx, θy），每个自由度由不同的物理机制控制，并在裂纹尖端表现出不同的奇异性特征。具体而言，膜位移和旋转遵循经典的r^(1/2)渐近行为，而弯曲主导断裂力学中的横向挠度遵循r^(3/2)奇异性。将所有自由度采用同一组富集函数会导致理论不一致和重构精度下降。此外，用于位移跳跃表示的Heaviside富集函数必须一致地纳入所有壳自由度中，同时考虑膜应变和弯曲应变的厚度变化、富集应变-位移矩阵的计算以及增广伪刚度系统的组装，以确保即使在稀疏传感器布置下系统仍然适定。这些挑战共同构成了一个非平凡的扩展，超越了现有的二维iXFEM公式，也是本文的主要理论动机。

为了解决这些未解决的挑战，本研究开发了一种新型的四节点四边形逆扩展壳单元iXQS4。基于iQS4单元的公式构建，该方法将XFEM的水平集函数和富集形函数融入iFEM框架中。引入了两组不同的裂纹尖端富集函数，以正确反映膜/旋转自由度的r^(1/2)奇异性和横向挠度的r^(3/2)奇异性，确保与Mindlin-Reissner壳断裂力学的理论一致性。将Heaviside函数纳入以表示所有壳自由度的裂纹表面位移跳跃。iXQS4能够精确建模裂纹引起的位移不连续性和应变奇异性。该方法能够在稀疏应变传感器布置条件下实现高精度全场位移重构，并能够准确计算混合模式应力强度因子（SIFs）。数值结果表明iXQS4单元在复杂工况下具有稳健的性能，突显了其在裂纹板-壳结构形状感知和SHM方面的重大潜力。

本文其余部分组织如下。第2节介绍了四节点四边形逆扩展壳单元iXQS4的公式。第3节通过多个不同工况下裂纹板-壳结构的数值算例验证了iXQS4的精度，突出了其在位移场重构方面的优越性能。最后，第4节总结了论文的研究发现。

## 2 板和壳结构的逆扩展有限元公式

本节介绍了一种新型的四节点逆单元iXQS4，用于裂纹板-壳结构的变形重构。该单元基于传统的四节点逆壳单元（iQS4），并融入了XFEM水平集方法和富集形函数来表征裂纹结构，从而实现精确的内部裂纹不连续性建模。该方法克服了传统iFEM单元在处理应力集中方面的局限性。

## 3 数值算例

本节通过四个不同工况下裂纹板-壳结构的数值算例验证了所提出的iXQS4逆单元。使用商业有限元软件Abaqus计算FEM的参考解并验证iXQS4的数值精度，从而评估iXQS4在裂纹板-壳结构SHM中的性能。结构的总位移可计算为：

$$U_T = \sqrt{U_x^2 + U_y^2 + U_z^2}$$

其中$U_x$、$U_y$和$U_z$分别为各方向位移分量。

## 4 结论

逆有限元方法（iFEM）作为前沿技术，在全场形状感知、结构健康监控和定量损伤评估方面具有先进能力。尽管iFEM已在各种SHM应用中得到验证，但其监控精度和可靠性在面对应力集中和奇异性问题时仍面临严峻挑战。为了解决这些问题，本研究提出了一种新型逆壳单元iXQS4，用于裂纹板-壳结构的变形重构。首次……

## CRediT作者贡献声明

Tong Hu：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，软件，方法学，概念化。
Xiao Xiao：撰写——审阅与编辑。
Yaqin Liu：撰写——审阅与编辑。
Weicheng Zhang：撰写——审阅与编辑。
Jianping Xuan：概念化，方法学，指导，撰写——审阅与编辑，获取资助。

## 利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本研究由国家自然科学基金（批准号：52175094）资助。

Tong Hu | Xiao Xiao | Yaqin Liu | Weicheng Zhang | Jianping Xuan