聚类稳定化变投影动态模态分解用于鲁棒的运行模态识别

《Computers & Structures》：Cluster-stabilized variable-projection dynamic mode decomposition for robust operational modal identification

　　

•聚类稳定变投影 DMD 能够从含噪声、非平稳响应中实现运行模态识别。
•变投影动态模态分解执行全局指数和拟合，具有改善的噪声鲁棒性。
•基于密度的聚类与跨秩稳定化相结合，巩固持续模态并拒斥虚假分量。

引言
模态分析旨在识别结构的动态特性，如固有频率、阻尼比和模态振型，这些特性支持振动缓解、响应预测以及结构健康监测（SHM）任务，例如损伤检测 [1]、[2]。对于大型土木工程基础设施，受控输入测试往往成本高昂、具有干扰性或不可行。因此，运行模态分析（OMA）从环境激励下采集的仅输出测量值中估计模态参数 [3]。在 SHM 系统中，识别出的模态参数趋势提供了结构状态和性能的物理可解释指标 [4]。

然而，在实际操作中，运行条件很少满足许多经典 OMA 公式背后的假设。环境激励可能因交通、风或波浪荷载而在时间上发生变化，同时测得的响应受传感器噪声和有限记录长度的影响。在这种条件下，平稳性仅近似满足，这可能导致分解中出现模态混叠和虚假分量。因此，固有频率的估计，特别是阻尼比，可能表现出增加的方差和系统偏差。

结构动力学中的经典 OMA 方法通常分为时域、频域和时频方法。时域方法包括基于相关性的技术和状态空间识别框架，通常涉及构建块汉克尔矩阵和大规模矩阵分解。对于具有许多通道的长期监测，计算成本可能相当大。此外，识别质量对汉克尔维度的选择和数值条件敏感。在低信噪比或有限记录长度的情况下，这种敏感性尤为明显 [5]、[6]、[7]、[8]、[9]。

频域方法从谱特性推断模态参数，通常计算效率高。然而，间距较近的模态难以分辨，且有限窗口谱估计容易受泄漏和共振峰模糊的影响，当运行条件偏离平稳性时，这可能增加估计方差并引入偏差 [10]、[11]、[12]、[13]。

时频方法使用短时傅里叶变换 [14]、[15]、[16]、小波变换 [17]、[18]、S 变换 [19]、[20] 和希尔伯特 - 黄变换 [21]、[22] 等技术跟踪谱内容的时间演化。这些方法适合非平稳响应，避免了显式参数建模，但其准确性可能受时频分辨率折衷、交叉项伪影、对基函数选择的敏感性以及模态混叠或端点效应的影响。

这些实际限制促使人们对基础设施运行模态参数识别的数据驱动方法产生了日益增长的兴趣 [23]、[24]、[25]、[26]。其中，DBSCAN 在自动化运行模态分析中备受关注 [27]、[28]。DBSCAN 可以自动识别高密度稳定物理模态簇，而无需预先指定簇数，同时还能将低密度虚假模态和异常值视为噪声。这种能力大大提高了模态识别的可靠性和自动化程度。由于其对复杂数据分布的适应性，DBSCAN 特别适合土木工程结构的振动数据。同时，考虑到 DBSCAN 的成功取决于模态参数识别结果的准确性和计算效率，动态模态分解（DMD）作为一种直接从测量响应中表示时空动态的有效数据驱动工具，正日益受到关注。DMD 最初由 Schmid [29] 提出，并与 Koopman 算子框架密切相关，DMD 通过拟合有限维线性算子到快照数据来近似系统演化，其特征分解产生动态模态及其相关的振荡频率和衰减率。尽管 DMD 源于线性系统理论，但其作为 Koopman 算子局部线性近似的解释使得通过短时窗口分析非平稳动态成为可能。由于其紧凑的公式和良好的可扩展性，DMD 已被应用于广泛的领域，包括流动稳定性分析 [30]、交通流预测 [31] 和电力系统的机电振荡分析 [32]。这些特性使其特别适用于从密集传感器网络获取的大型 SHM 信号。

对于结构响应，DMD 输出在模态分析术语中具有自然解释。具体来说，DMD 模态近似结构模态振型，而 DMD 特征值提供模态频率和衰减率。这些特征值可以轻松转换为阻尼比。作为一种 OMA 技术，DMD 通常有时域实施，可以在进行模态分解的同时降维，当测量通道和快照数量很大时，这具有优势。现有研究已经证明了基于 DMD 的机械结构模态参数提取的可行性 [33]。DMD 还与基于视觉的测量相结合，以实现非接触式 OMA [34]、[35]、[36]。尽管如此，在全尺寸工程结构中的应用仍然相对有限，并且包括噪声鲁棒估计、秩选择以及可靠分离间距较近模态在内的几个实际问题，需要在 SHM 应用中进行进一步研究。

在仅输出模态识别中，标准动态模态分解通过双快照回归估计线性传播子，当测量噪声污染两个快照矩阵时，这本质上是一个含变量误差问题。这违反了普通最小二乘法的假设，导致恢复的特征值和模态振型出现系统偏差。在实际中，这种偏差可能源于多种因素，包括测量噪声、非平稳效应、模型误差以及与其他理想假设的偏差。对于短记录、间距较近的模态和低信噪比——环境振动测试的典型条件——这种偏差尤为明显。

在此背景下，本研究开发了一种准确且计算高效的基于 DMD 的复杂大型工程结构模态参数识别框架，并系统评估了其在运行条件下的性能。主要贡献总结如下：
(1) 开发了一个聚类稳定变投影 DMD（CSVP-DMD）框架，用于仅输出运行模态识别。所提出的方法将模态估计表述为可分离非线性最小二乘问题，并使用变投影对整个时间历史拟合全局指数和模型，通过 Levenberg-Marquardt 方案求解。这种公式改善了对含噪声回归量的鲁棒性，并减少了在测量噪声、非平稳响应和模型不匹配情况下可能影响标准双快照 DMD 的系统误差。
(2) 为了减轻对截断秩的敏感性并抑制虚假模态，引入了一种跨秩稳定化程序，以跟踪一系列秩上的持续极点。当与频 - 阻尼平面上的基于密度的聚类相结合时，该方法自动整合稳定的物理模态，分离间距较近的分量，并提供减少手动调节的可重复性指标。
(3) CSVP-DMD 在具有间距较近模态的数值系统、包含非平稳地震情况的 IASC-ASCE 基准以及 KW51 铁路桥的现场数据上进行了验证。在所有研究中，CSVP-DMD 比标准 DMD 产生更准确和可重复的模态参数，与 SSI-COV 的整体性能相当，支持其在复杂大型结构中的高效基于振动的识别适用性。

CSVP-DMD 采用两阶段框架，其中经典的双快照最小二乘拟合被表述为可分离非线性最小二乘问题的全局指数和回归所取代。通过在一个统一的优化中利用所有时间快照，该方法通过整体残差最小化估计特征值，从而减少偏差并提高模态参数识别的准确性和鲁棒性。为了避免直接求解可分离非线性最小二乘问题所带来的高计算成本和初始化敏感性，采用变投影方法来降低优化维度。进一步引入了一种跨秩稳定化程序，以去除虚假模态并保留物理上有意义的模态。

所提框架的流程图如图 1 所示。本文其余部分组织如下。第 2 节回顾了理论背景并详细介绍了所提出的基于 CSVP-DMD 的鲁棒模态识别框架。第 3 节介绍了数值和实验验证。第 4 节总结了本文。

章节摘录
方法
本节介绍了所提出的聚类稳定变投影动态模态分解框架的公式和实施。首先，介绍了基于 Koopman 的离散时间动力学解释及其与结构模态参数的关系。然后，描述了经典动态模态分解公式并分析了其在测量噪声下的偏差。最后，介绍了所提出的减偏识别框架及相应的

数值和实验验证
本节评估了所提出的 CSVP-DMD 的 (i) 频率和阻尼估计准确性，(ii) 用模态保证准则（MAC）量化的模态振型一致性，以及 (iii) 信号重构保真度。考虑了两项数值研究：(a) 一个特意设计具有间距较近模态的 3-自由度集总质量系统，以及 (b) 在自由振动和地震激励下的 IASC-ASCE 第一阶段基准结构。此外，还使用了一个来自 KW51 的全尺寸现场数据集

讨论
标准 DMD 和 CSVP-DMD 之间的性能差异可以从估计观点来解释。标准 DMD 从含噪声的快照对中估计一步算子。回归量中的噪声、系统非平稳性和模型近似误差都可能使识别出的算子产生偏差。反过来，这种偏差会扰乱特征结构，表现为模态混叠和可重复性降低。CSVP-DMD 则对整个时间历史拟合全局指数和模型，并且

结论
本文提出了 CSVP-DMD 以实现鲁棒的运行模态识别。主要结论如下：
(1) CSVP-DMD 能够在显著测量噪声和非平稳条件下，准确且可重复地识别模态参数，包括间距较近的模态。
(2) 变投影方法对整个时间历史拟合全局指数和模型，并解析地消除线性系数，显著减少了偏差并改善了鲁棒性

CRediT 作者贡献声明
Dong Yang：撰写 - 初稿，可视化，方法学，概念化。Fang-Min Nie：撰写 - 初稿，验证，软件，形式分析，数据管理。Sheng-Kui Di：撰写 - 审阅与编辑，监督，调查。Jing Zhang：撰写 - 审阅与编辑，验证，资源。Ye Yuan：撰写 - 审阅与编辑，可视化，方法学，调查。Miaosi Dong：撰写 - 审阅与编辑，可视化，验证，形式分析。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

致谢
本研究得到国家自然科学基金（批准号 52578567 和 52278303）、甘肃省重大科技专项（批准号 24ZDGA001）以及广州市教育局项目（批准号 2024312301）的支持。

Dong Yang|Fang-Min Nie|Sheng-Kui Di|Jing Zhang|Ye Yuan|Miaosi Dong