《Journal of Applied Geophysics》：A novel multithreaded parallel computing approach for solving convolution integrals in geoid modelling
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•回顾KTH方法在大地水准面建模中的计算方案。•介绍输入数据以及陆地基岩重力异常数据的网格化过程。•将并行计算引入大地水准面确定中的卷积积分。•对新软件在积分帽尺寸、网格和线程数方面进行测试。•通过控制基准点从绝对和相对意义上评估大地水准面模型。引言重力场是一个物理量，定义为
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回顾KTH方法在大地水准面建模中的计算方案。
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介绍输入数据以及陆地基岩重力异常数据的网格化过程。
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将并行计算引入大地水准面确定中的卷积积分。
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对新软件在积分帽尺寸、网格和线程数方面进行测试。
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通过控制基准点从绝对和相对意义上评估大地水准面模型。
引言
重力场是一个物理量，定义为地球引力与地球绕其自身轴旋转产生的离心力的合力。该量对大地水准面的确定至关重要。大地水准面代表地球的真实物理形状，是大地上最重要的概念之一。与地球物理表面相比，大地水准面具有更光滑的结构，且更接近地球几何模型（参考椭球体）的表面。因此，与其直接确定大地水准面，不如确定大地水准面高，即表达相对于参考椭球体的偏差。在此背景下，利用各种方法确定精确大地水准面模型的研究至今仍在进行中。
文献回顾表明，大地水准面的确定有几种方法。根据数据类型，所有方法可分为四大类：天文大地测量方法、几何方法、重力测量方法和混合方法（Hofmann-Wellenhof和Moritz，2006）。天文大地测量方法基于垂线偏折（例如Abd-Elmotaal和Kühtreiber，2014，Albayrak等，2024，Yilmaz和Abbak，2026）。由于确定大地水准面法线的困难，该方法在大地水准面确定中并未被频繁使用。几何方法基于全球导航卫星系统（GNSS）与水准数据的结合（例如Erol等，2008）。从GNSS获得的椭球高（大地高）与从水准测量导出的正常高之间的差值，提供了几何大地水准面高。然而，由于水准测量的工作量繁重且所需时间显著，该方法通常局限于城市和小城镇等小型研究区域。重力测量方法依赖于利用重力观测值对Stokes/Hotine积分进行数值计算（例如Abdalla和Fairhead，2011，Abbak等，2022）。与其他方法相比，重力测量方法在区域大地水准面确定中通常更受青睐，因为重力数据可以在野外研究中实际采集。最后，混合方法是指通过将重力测量方法和几何方法结合在一起的解决方案来确定精确的大地水准面（例如Fidanci和Abbak，2026）。
在重力测量方法中，无论采用哪种子方法（Stokes、Hotine等），都需要对双重面积（卷积）积分进行数值计算（例如Sakil等，2021，I??k等，2021）。这一过程在标准计算下计算量庞大且耗时。因此，大地测量文献中提出了几种提供更快解决方案的技术（Schwarz等，1990，Haagmans等，1993，Huang等，2000）。其中，快速傅里叶变换（FFT）是广泛用于此目的的方法。通过应用一维、二维或三维FFT，可以显著节省计算时间（Schwarz等，1990，Haagmans等，1993，Peng等，1995，Tsoulis，1998）。然而，FFT的应用会带来某些挑战和近似误差。例如，FFT要求数据点数为2的幂次，尽管现代FFT实现（例如在MATLAB中）能够高效支持任意输入尺寸。在这种情况下，使用人工填充将数据集补全到最近的2的幂次。为克服近似问题，Huang等（2000）、Hirt等（2011）以及Abdalla和Ferreira（2022）还提出了其他数值方法。然而，替代方法比FFT近似方法更慢。为了在不产生近似误差的情况下优化时间，一种使用并行计算技术的新方法似乎对重力大地水准面确定更为有利。因此，预期并行计算能够加速具有更多数据的大地测量任务的计算性能（Chen和Zhang，2018，Bu等，2025）。从这一角度来看，据我们所知，此前地球科学领域尚无研究报道将并行计算应用于重力大地水准面确定。
尽管计算机近年来变得更加强大，但某些问题在个人电脑上执行时仍需要过多的计算时间。近年来，并行计算方法在工程计算中的吸引力日益增加，研究人员一直在努力将著名的方法和算法并行实现（Bu等，2025）。转向并行方法的主要原因是数据量的快速增长和硬件技术的加速发展。在本文中，重力大地水准面确定中卷积面积积分的求解过程通过基于多线程的并行计算方法来处理。研究涵盖了必要的计算步骤、优势和局限性、与替代方法的比较，以及通过绝对和相对分析验证方法准确性。根据积分帽尺寸、数据密度和线程数，呈现了加速效果的数值和可视化演示及其技术分析。因此，本文仅聚焦于重力大地水准面确定的计算创新性。
本文首先介绍大地水准面确定中采用的KTH方法的基本原理以及并行计算技术的概述。然后，提供有关输入数据的详细信息。随后，进行案例研究，通过并行计算高效地实施重力大地水准面确定。最后，对数值应用中获得的发现进行评估，并提出未来研究的建议。最终产品是一个新的软件包，通过互联网免费分发给终端用户。
章节摘要
方法论
本节介绍KTH方法在大地水准面确定中的数学理论以及与卷积积分求解相关的并行计算技术的基本概念。最后，简要讨论用于大地水准面模型精度评估的绝对和相对评价理论。
材料
本节提供区域大地水准面确定所需数据集的详细信息。由于评估并行计算的潜力需要多核计算机，本节末尾介绍了本研究中所使用计算机的详细信息。
数值研究
详细分析了并行计算对重力大地水准面确定的影响。首先，描述输入数据的准备工作，特别是重力异常的网格化处理。随后，根据积分帽尺寸、数据密度和线程数评估计算加速效果。此外，从绝对和相对意义上对大地水准面模型进行精度评估。
结论与讨论
本研究调查了并行计算对重力大地水准面确定的时间影响。首先，介绍了KTH方法的基本原理并将其应用于计算测试区域的大地水准面模型。在此背景下，输入数据通过LSMSSOFT进行处理，侧重于实用大地水准面确定而非实现精确的大地水准面模型。
原始LSMSSOFT是一种串行（顺序）软件，使用单核进行计算。为了
CRediT作者贡献声明
Ramazan Alpay Abbak：撰写——初稿、验证、软件、方法论、调查研究、概念化。Vahit Tongur：撰写——审阅与编辑、方法论、概念化。Alper K?l??：撰写——审阅与编辑、方法论。Erkan ülker：撰写——审阅与编辑、监督。
代码可用性
联系方式：raabbak@ktun.edu.tr
编程语言：C++
许可证：GNU通用公共许可证（第1版）
程序大小：4.3 MB
利益冲突声明
作者声明不存在已知可能影响本文所述工作的竞争财务利益或个人关系。
Ramazan Alpay Abbak|Vahit Tongur|Alper K?l??|Erkan ülker
