一种用于三维问题的最低阶无稳定性虚拟单元方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A lowest-order Stabilization-free Virtual Element Method for 3D problems

　　• 不需要任意稳定化的虚拟元素方法。• 在具有三角形面的多面体上定义的保持算子性质的双线性形式。• 计算稳定多项式投影器的良定性分析和算法。• 评估局部强制性的数值测试。• 对非线性的鲁棒性。

引言
近年来，用于在多边形和多面体网格上逼近偏微分方程的数值方法在科学界受到了相当多的关注，这得益于它们在处理高度复杂几何形状方面的极大灵活性。在这个框架内提出的各种方法中，虚拟元素方法（VEM）是最广泛使用的多面体离散技术之一。自从其在开创性工作[1]中引入以来，VEM已被广泛应用于各种工程应用中。虚拟元素的关键特点在于使用隐式定义的基函数，这些函数不需要显式计算，同时有一组合适的自由度可以构建多项式投影。在传统的VEM公式中，这些投影参与了离散双线性形式的定义，需要添加一个任意的非多项式稳定化项以确保这些形式的强制性。稳定化项需要根据所考虑的问题进行调整，这对于具有强各向异性和非线性的问题来说是一个限制。为了克服这一缺点，最近引入了不需要稳定化项的新VEM公式，称为无稳定化VEM（SFVEM）[2]、[3]、[4]、[5]、[6]，并在科学界引起了极大的关注。这些新公式允许定义自稳定的双线性形式，仅依赖于一致且稳定的多项式投影，同时保持底层算子的结构。这些方法已应用于各种场合，包括具有各向异性和对流主导问题的情况[7]、[8]、[9]、[10]，以及后验误差估计器的开发[12]。然而，只有少数贡献涉及三维应用[13]、[14]、[15]，且三维公式的理论发展仍处于早期阶段。同时，我们还提到了其他旨在克服与多边形方法稳定性相关问题的方法，例如[16]中提出的使用简化基函数来设计稳定化项的方法，[17]、[18]、[19]中提出了用于后验误差分析的稳定化项的界限，[20]中整合了神经网络来近似基函数，以及[21]、[22]中在混合高阶方法背景下提出的其他无稳定化方法。

在这项工作中，我们提出了一个用于在三维网格上开发SFVEM的新框架，扩展了针对二维情况在[23]、[24]中开发的无散度投影方法。我们考虑了原始形式的线性弹性方程，并研究了一种新的投影算子的稳定性，该算子从3D VEM函数的梯度空间应用到无散度多项式空间。作为分析的初步步骤，我们考虑了通常称为三角锥的多面体类别以及低阶公式。我们确定了局部多项式投影空间的一个充分条件，以确保新的梯度投影的强制性。然后，我们展示了将所提出的多项式投影应用于线性弹性方程的离散化可以得到一个良定性公式。我们注意到，所提出的方法可以直接应用于一般的二阶椭圆方程。由于所提出投影的多项式阶数取决于多面体的几何形状，我们提出了一种基于优化QR分解的算法，这与二维情况在[23]、[24]中的做法相同。接着，我们在一般三角锥上进行了广泛的测试，以数值验证所提出的方案是稳定和鲁棒的，并在不同的网格上进行了标准收敛性测试，这些测试确认了预期的收敛速率。此外，我们应用所提出的方法解决非线性弹性问题，并与标准VEM离散化进行了比较。目的是展示所提出的SFVEM方法由于定义了自稳定且保持算子性质的离散化而表现出稳定的收敛性。特别是，它显示了预期的二次收敛性，允许在较少的迭代次数内达到残差阈值。因此，所提出的方法在解决非线性问题时更为鲁棒，因为它不需要调整任何非物理参数，并显著降低了计算成本和整体效率。

本工作的组织结构如下：第2节陈述了我们的模型问题，第3节介绍了新的投影算子和离散方案。第4节讨论了离散公式的良定性，第5节展示了新投影器的计算过程。最后，第6节包含了上述的数值结果。

模型问题
设????3是一个有界开集。我们感兴趣的是解决以下问题：
?{ { {?{ { {?
??????(??)=??
in??,??=0
on????.
???(??)=?????(??)=2??????(??)+???tr?(??(??))
???,??(??)=1
2?(???+????),
其中??和??是Lamé系数，??表示二阶单位张量，??是四阶弹性张量。为了简化问题，我们将分析限制在均匀狄利克雷边界条件下。将结果扩展到更一般的边界条件涉及额外的标准技术。

离散公式
在本节中，我们提出了一个在具有三角形面的多面体网格上定义的无稳定化虚拟元素离散化方法来求解(5)。首先，我们介绍了标量虚拟空间和新的投影算子，然后将其嵌入到向量值框架中。设??表示域??的一个符合性的多面体分解，??∈??表示一个通用多面体。我们假设??满足以下假设：存在一个正常数??，使得对于所有??∈??，??是...

良定性
在本节中，我们想要证明在具有三角形面的通用多面体网格上定义的离散公式(25)的良定性。为此，我们展示了关于标量虚拟空间和投影???0,??????的一些初步结果，该投影在(16)中定义。特别是，在定理3中，我们展示了投影算子???0,??????在局部虚拟空间上诱导了一个半范数，该半范数等同于局部H1-半范数。为了证明这一点，需要对???做出以下假设：
H.1 ????满足...

投影算子???0,??????的计算
在本节中，我们分析了由(16)定义的标量投影算子???0,??????的计算，并且遵循[23]、[24]，我们提出了一种算法，该算法提供了确保稳定性的多项式投影度。该算法基于需要解决的线性系统右侧的增量QR分解来计算表示投影算子的矩阵。特别是，设??∈??，设????是??的顶点数，设{????}??????=1...

数值结果
在本节中，我们研究了所提出的SFVEM方法的性能。我们首先对所提出的方法在具有三角形面的不同多面体集上的局部稳定性进行了数值调查，应用算法1来离散化标量3D泊松问题的局部贡献，详见备注3。然后，我们在一个线性弹性问题上进行了收敛性测试，以评估所提出方法的鲁棒性，并确认预期的理论收敛性。

结论
在这项工作中，我们提出了一种用于三维二阶椭圆方程和弹性问题的新型虚拟元素方法，该方法不需要使用任意的非多项式稳定化项。所提出的无稳定化方案基于基函数梯度的局部高阶多项式投影的定义。我们确定了选择多项式投影度的充分条件，并证明了所提出的方法是...

作者贡献声明
Stefano Berrone：监督、资源、项目管理、方法论、资金获取、概念化。
Andrea Borio：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。
Francesca Marcon：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。
Fabio Vicini：撰写——原始草稿、可视化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢
四位作者是INdAM（意大利国家高等数学研究所）的国家计算科学小组（GNCS）的成员。作者感谢欧盟通过Next Generation EU、M4C2、PRIN 2022 PNRR项目（CUP: E53D23017950001）以及INdAM-GNCS项目2025（CUP: E53C24001950001）和2026（CUP: E53C25002010001）提供的财政支持。

Stefano Berrone | Andrea Borio | Francesca Marcon | Fabio Vicini