分数阶状态反馈控制器抑制非线性自激振荡：精确解析与数值解

《Mathematics》：Fractional-Order State Feedback Controller to Suppress the Nonlinear Self-Excited Oscillations: Accurate Analytical and Numerical Solution

　　

本研究针对受谐波激励并采用分数阶状态反馈控制的非线性自激振荡器，提出一种改进的传统多尺度法(TMSM)，称为失谐多尺度法(DMSM)，以推导精确的解析解。与围绕线性固有频率扰动系统的TMSM不同，DMSM隐式地围绕幅值依赖的响应频率扰动系统。基于此公式，研究人员推导了所考虑分数阶系统的降阶幅值–相位调制方程，并与TMSM所得结果比较。研究发现DMSM给出与一阶谐波平衡法(HBM)完全相同的骨架曲线，而TMSM仅提供其首阶近似。此外DMSM揭示有效线性与非线性阻尼及刚度系数依赖于幅值依赖的响应频率，而TMSM中这些系数依赖于固定的线性固有频率。进一步表明TMSM的失谐项仅是DMSM所得精确失谐项的的一阶近似。据此研究人员通过频率响应曲线(FRC)、分岔图与稳定性图，用DMSM对比TMSM分析该系统动力学，考察不同分数阶导数在弱、中、强反馈增益下的系统动力学。研究人员还开发并验证了基于Runge–Kutta–Grünwald–Letnikov(RK–GL)算法的分数阶数值仿真，所有FRC均经数值核实。数值结果清楚显示所提DMSM不仅在主线性共振附近，而且在弱、中、强反馈增益下宽激发频率范围内与数值结果高度吻合；相反TMSM在此精度上失效，尤其在强反馈与大失谐下可能产生误导预测。利用DMSM提取降阶幅值–相位方程可提供高精度解析预测及对系统动力学的深刻物理洞察，尽管在稳态解上准确，但对瞬态行为及响应整体演化的洞察有限。

研究背景方面，自激振荡器是一类通过内部反馈在低幅值提供等效负阻尼、高幅值提供正阻尼从而产生持续极限环的非线性系统，常见于气动弹性颤振等工程场景，其失控可导致塔科马海峡大桥式破坏。已有研究采用非线性饱和控制器(NSC)、共振加速度/速度/正位置反馈(PPF)、积分共振控制器(IRC)等抑制自激振动，但整数阶控制器调参灵活度有限；分数阶控制器因额外自由度受关注。然而现有分数阶非线性系统分析多依赖TMSM，其围绕线性固有频率展开，在强非线性、强反馈、大失谐下精度不足；谐波平衡法(HBM)虽准但计算繁复且物理直观差。为兼顾精度与物理可解释性，研究人员将Nie等提出的DMSM首次引入分数阶状态反馈自激系统。

关键技术方法上，研究人员采用两条解析路径对照：传统多尺度法(TMSM)以线性固有频率ω₀设快时间尺度，推导O(ε)可解性条件得幅值–相位方程；失谐多尺度法(DMSM)改设响应频率ω=ω₀+εσ并围绕幅值依赖非线性频率展开，获得精确失谐项与频率依赖的有效阻尼/刚度系数。分数阶导数取Caputo定义，其单频近似导出自e^-iαπ/2相移。数值验证方面，研究人员将原方程化为状态空间，用Grünwald–Letnikov(GL)公式离散Caputo导数并截短记忆窗，嵌入四阶Runge–Kutta得到RK–GL算法；系统参数固定为μ=0.1, ω₀=1, α₁=0.5, β=0.2, γ=0.1, f=0.5, α∈(0,1)。无控制与有控制情形均以RK–GL解作基准。

研究结果部分，第1节引言阐明自激振动危害与分数阶控制动机，指出TMSM在共振外失效。第2节分数阶非线性数学模型给出受迫悬臂梁一阶模态方程及Caputo导数定义。第3节扰动分析中，3.1传统多尺度法(TMSM)推得稳态频率响应方程(18)，其失谐项为Ω-ω₀首阶近似；3.2失谐多尺度法(DMSM)推得方程(29)(30)及精确FRE(31)，证明DMSM骨架曲线与一阶HBM方程(38)恒等，而TMSM仅给出其振幅展开首阶。第4节结果讨论中，4.1无控制系统中骨架曲线对比显示DMSM与HBM重合、TMSM偏离随幅值增大；FRC与RK对比表明DMSM在全频段捕捉鞍结(SN)与Hopf分岔位置，TMSM在ω=1.3处误判准周期为真周期；系数演化图证实DMSM有效阻尼c_eff(ω)、刚度k_eff(ω)随响应频率变，TMSM取ω=ω₀常数。4.2受控系统线性分析由特征方程(53)解出Hopf边界(59)，RK–GL在稳定点衰减、不稳定点发散，FRC(64)与数值吻合。非线性分析下，4.2.2节给出α=0~1的稳定性图：负反馈时α增大提升c_eff、降低k_eff，不稳定区收缩；弱增益(κ=-0.05)FRC中DMSM全程贴RK–GL，TMSM在Ω>ω₀高估；中增益(κ=-0.5)DMSM仍准，TMSM近共振亦偏；强增益(κ=-5)下α=0呈软弹簧大峰，TMSM严重高估幅值与带宽，α→1趋纯微分控制，峰被抑平。瞬态图(图14)示DMSM调幅包络与RK–GL位移一致，TMSM过估。

讨论与结论翻译：研究人员证实DMSM通过围绕幅值依赖响应频率扰动，恢复与一阶HBM一致的骨架关系，其有效线性/非线性阻尼与刚度及精确失谐项Ω-ω(ω)取代TMSM的固定ω₀与首阶近似Ω-ω₀，从而在弱至强分数阶反馈、宽频激发下与RK–GL数值高度一致；TMSM仅在近线性共振小增益下可用，强反馈远失谐会产生伪周期或幅值误判。所提RK–GL算法结合GL离散与RK4，截短记忆长L=200、步长h=0.01，可可靠仿真Caputo型分数阶方程。该工作首次将DMSM用于分数阶状态反馈自激系统，发表于《Mathematics》，为分数阶振动抑制提供兼具精度与慢流物理洞察的解析工具，但降阶方程对瞬态细部演化仍限于慢尺度描述。