hp格式的连续Petrov-Galerkin时间步进方法求解扩散-粘性波动方程：无条件稳定性与最优先验误差估计

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：hp-version continuous Petrov–Galerkin time-stepping for the diffusive-viscous wave equation: Unconditional stability and optimal a priori error estimates

　　

• DVWE的无条件稳定hp-CPG时间步进格式。
• 时间节点处的离散能量耗散得以保持。
• 最优hp误差估计与离散化参数无关。
• 指数p收敛性及对非均匀介质的适用性。

引言

我们考虑扩散-粘性波动方程（DVWE）：

???u + γ??u ? ηΔ??u ? ζ2Δu = f，在Ω×(0,T]上，
u = 0，在?Ω×(0,T]上，
u(·,0) = u?，在Ω内，
??u(·,0) = u?，在Ω内，

其中Ω???（d=1,2,3）是具有边界?Ω的开有界凸多边形区域。未知量u表示波场。系数γ>0表示扩散衰减，η>0表示粘性衰减，ζ>0表示非色散介质中的波传播速度。

DVWE对流体饱和多孔介质中的地震波传播进行建模，并捕捉了对油气勘探至关重要的频率相关反射特征。经典声波和弹性理论通常忽略能量耗散；然而，实验室和现场数据表明，来自流体饱和层的反射表现出显著的色散和衰减，尤其在低频段[1], [2], [3]。这些效应表现为与含气地层相比，反射振幅增大和旅行时延迟，为储层识别提供了有价值的指示。DVWE将摩擦耗散和粘性阻尼引入经典波动方程，其有效性已通过现场观测得到证实[1], [3]。在数学上，该方程将二阶双曲项与三阶混合导数项耦合在一起，兼具双曲和抛物行为，从而带来了相当大的数值挑战。由于粘性项的抛物性质，显式时间步进方法受到严格的CFL限制[4], [5]，而全隐式方法则需要求解大型耦合系统。

在DVWE的数值处理方面已取得相当可观的进展。关于空间离散化，有限差分法[5], [6], [7]、有限体积法[8], [9], [10]和有限元方法[11], [12]已被广泛研究。间断Galerkin（DG）方法及其变体，包括局部DG方法[4]和超弱DG方法[13]，因其高精度、几何灵活性以及在处理不连续系数时的稳健性而引起了相当大的关注。可杂化DG方法也已被开发出来，为该方程实现了超收敛性质[14]。上述工作主要处理有界域上的DVWE。对于无界域上的波传播问题，人们开发了谱方法，利用其处理辐射条件或人工边界时的高精度和效率；参见，例如，[15], [16], [17], [18]及其参考文献。在本文中，我们专注于有界域，并参考文献中对无界几何的处理。然而，在时间方向上，大多数现有方法依赖于有限差分格式[5], [7], [19]或低阶隐式-显式方法[13]，通常最多达到二阶精度。这些工作的一个共同局限在于高阶空间逼近与相对低阶时间步进之间的不匹配，当需要在长时间区间上获得高精度时，这会降低整体效率。

为克服这一局限，空间-时间Galerkin方法在两个方向上同时实现高阶精度，已获得越来越多的关注。特别是，hp型Galerkin时间步进格式提供了步长和多项式阶次的灵活性，并可通过适当的hp细分实现指数收敛，即使对于具有初始奇异性的解也是如此。存在两个主要的谱系：连续Petrov–Galerkin（CPG）和DG时间步进方法。这些格式的h型版本最初是针对常微分方程引入的[20], [21], [22]，其hp扩展在[23], [24]中开发，随后推广到抛物型和双曲型偏微分方程[25], [26], [27]。

特别是，CPG时间步进方法已成功应用于多种演化方程。它被证明是A-稳定的，并且在离散水平上固有地耗散能量，这保证了稳健的长时间行为[28]。这些性质促使其应用于抛物问题[29], [30], [31]、波动方程[32], [33], [34]、Schr?dinger方程[35]以及对流主导的Sobolev方程和粘弹性波动方程[36], [37]。高阶CPG时间离散化也已与并行求解器结合，用于耗散和波传播问题[38]。最近，我们为二阶和四阶抛物方程开发了hp型CPG时间步进格式[25], [39]，建立了最优的hp误差估计。

这些进展证实了CPG时间步进在稳定性方面具有强大的性质，并在离散水平上具有固有的能量耗散特性，使其成为物理能量衰减至关重要的问题（如本文考虑的DVWE）的理想候选方法。对于DVWE，目前仅研究了hp-DG时间步进格式[40]，其中证明了能量范数和DG范数下的hp误差估计，收敛率在空间网格尺寸、时间步长和时间多项式阶次方面是 Optimal 的，但在空间多项式阶次方面次最优一阶。相比之下，本工作提出的hp-CPG方法在所有这些离散化参数上均实现了最优收敛率。因此，本工作通过为DVWE开发并分析hp-CPG时间步进方法来填补这一空白。

在本文中，我们提出并分析了一种DVWE的全离散格式，该格式将空间中的hp-CPG时间离散化与hp符合性Galerkin（CG）有限元相结合。通过引入速度v=??u，问题(1.1)被重构为一阶系统。CPG方法在时间上采用连续试探函数和不连续试验函数，从而产生Petrov–Galerkin格式；这一选择自然地将全局问题解耦为每个时间区间上的局部问题，从而得到一种高效的时间步进格式。本工作的主要贡献有三方面：

• 无条件稳定性。利用特别构造的线性权函数以及每个时间区间上的Legendre多项式展开，我们证明了全离散格式是A-稳定的，且对时间步长不施加任何CFL型限制。
• 最优hp误差估计。我们证明了L2(L2)和L2(H1)范数下的最优阶hp型先验估计，确保所有所得常数与每个空间和时间离散化参数无关。
• 能量耗散保持。我们表明全离散格式在离散时间节点上继承了连续问题的能量耗散性质。此外，数值实验阐明了物理参数γ和η对耗散率的影响。

本工作所发展的稳定性和先验误差分析建立在Gómez[41]为Hamilton波动方程引入的非标准能量框架之上，并在[42]中针对一类广泛的抛物型和双曲型Galerkin时间离散化进行了系统化。虽然我们采用了将加权试验函数与Legendre多项式分解相结合的核心思想，但本分析在三个本质方面有所不同：

• 我们的模型是DVWE，其中包含额外的耗散项γ??u和?ηΔ??u。这些项改变了能量结构，要求在稳定性估计中进行仔细处理。
• 分析在hp型框架内进行，这要求在空间和时间投影的多项式阶次p和q方面具有精确的显式常数。
• 为保持时间阶次q上的最优收敛性，我们在时间方向上有意避免使用任何多项式逆估计。相反，我们直接在L2(0,T)范数中工作；这对于误差分析已经足够，并且不会引入破坏时间收敛率的依赖q的因子。

本文结构如下。第2节给出必要记号、弱格式和连续能量耗散性质。第3节描述hp型全离散格式。第4节致力于稳定性分析：我们首先证明离散能量在时间节点上耗散，然后建立扰动系统的无条件稳定性。第5节给出先验误差估计，推导出L2(L2)和L2(H1)范数下的最优收敛率。第6节报告数值实验以验证理论结果，第7节给出结论性评论。

节摘要

记号

对于非负整数m，H?(Ω)表示具有范数‖·‖_{H?(Ω)}的标准Sobolev空间；特别地，H?(Ω)=L2(Ω)，其内积和范数分别记为(·,·)和‖·‖_{L2(Ω)}。子空间H?1(Ω)?H1(Ω)由在?Ω上迹为零的函数组成。

设I=(0,T)为感兴趣的时间区间，X为Banach空间。Bochner空间L2(I;X)定义为

L2(I;X) = {w : I→X | w是强可测的且∫? ‖w(t)‖_X2 dt < ∞}，

配备范数 ‖w‖_{L2(I;X)} = (∫? ‖w(t)‖_X2 dt)^{1/2}。

hp型全离散格式

在本节中，我们通过在时间上采用hp-CPG时间步进，在空间上采用hp-CG有限元离散化，为DVWE (1.1)构建一个全离散格式。

稳定性分析

本节分析全离散格式的能量耗散保持性和稳定性。为此，我们首先引入时间L2正交投影。

定义4.1 对于w∈L2(I?; L2(Ω))和整数q?≥0，局部L2正交投影P_{q?}: L2(I?; L2(Ω)) → P_{q?}(I?; L2(Ω))定义为

∫_{I?} (w ? P_{q?}w, z) dt = 0, ?z ∈ P_{q?}(I?; L2(Ω))。

投影P_{q?}满足以下L2稳定性估计：

‖P_{q?}w‖_{L2(I?; L2)} ≤ ‖w‖_{L2(I?; L2)}。

先验误差分析

我们为全离散Galerkin格式得到一个先验误差界。该分析将时间投影与空间椭圆投影相结合，将误差分解为三个组成部分，并对每个部分分别进行估计。

数值结果

我们提出一系列数值例子，以评估hp型全离散Galerkin方法的精度和稳定性。为简化，我们使用尺寸为h的均匀方形网格，时间步长τ，以及多项式阶次p（空间）和q（时间）。

结论

在本文中，我们为DVWE开发并分析了hp型全离散格式，将空间中的hp-CG方法与CPG时间步进方法相结合。基于Gómez[41]的加权能量框架，我们将分析扩展到DVWE的耗散结构，将其适配到hp型框架并仔细追踪常数，并系统性地避免多项式逆估计以保持最优收敛。我们证明了无条件稳定性，其常数与所有离散化参数无关。

CRediT作者贡献声明

贾惠龙：原创草稿撰写、软件、调查。李哲：审校与编辑、验证、形式分析。易丽君：审校与编辑、监督、方法学。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文工作的已知财务利益冲突或个人关系。

致谢

本工作受国家自然科学基金支持（项目编号：12571391、12171322和12271366）。

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