SP-PAT-IGA：基于单斑块参数化的多连通平面域等几何分析方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：SP-PAT-IGA: Single-patch parameterization of multiply-connected planar domains for isogeometric analysis

　　

**摘要**

构建适用于分析的多重连通平面域单片样条参数化仍然是等几何分析领域中的挑战性任务，尤其是当期望获得单片表示以实现更优的光滑性和分析性能时。尽管主流的贴片方法通过域分解来应对几何复杂性，但它们不可避免地引入了人为界面，在贴片交界处产生奇异性，并要求额外的连续性约束，从而损害了光滑性和收敛性。此外，现有分解技术对多重连通平面域的普适性仍不清晰，将其推广到三维情形更是充满挑战。本文提出了一种新颖且一致的框架，用于生成多重连通平面域的高质量单片参数化。给定输入的多重连通域，我们的方法首先建立一个到带孔单位正方形上的拟共形映射——这是一个包含若干内部方形孔的标准参数域。拟共形映射和这些内部正方形的几何构型（中心和边长）均被视为未知量。随后我们开发了一种交替优化算法，同时求解拟共形映射和内部正方形的布局。最终物理空间中的参数化通过对逆映射进行截断分层B样条逼近获得。从简单环形几何到高等亏工程构件的大量数值实验表明，我们的方法能够生成高质量的参数化结果，并显著优于传统的贴片方案。然而，我们也承认当前框架并未显式强制生成的参数化保持几何对称性——这一局限可能影响后续模拟的准确性和可靠性。我们在未来工作中讨论了潜在的补救措施。

**引言**

在由Hughes等人[1]提出的等几何分析（IGA）领域中，该技术旨在弥合计算机辅助设计与有限元分析[2]、[3]、[4]之间的鸿沟，几何参数化的质量深刻影响后续模拟的准确性、稳定性和效率[5]。理想情况下，物理域应由单个光滑且适用于分析的样条贴片表示。这种表示消除了内部界面，保持了高阶连续性，避免了贴片引起的奇异性导致的收敛退化，并简化了等几何方法的实现。然而，为具有任意亏数（即多个孔洞）的平面域构建单片且适用于分析的参数化仍是该领域中一个尚未解决的难题。

大多数现有参数化技术通过将几何或拓扑复杂的域分解为多个较简单的子域来处理此类问题，每个子域分别参数化——这一范式被称为贴片参数化[6]。图1(b)和1(c)分别展示了采用闭合形式多正方形域分解方法[7]和$G^1$光滑贴片方法[8]对图1(a)所示法兰形域进行域分解和参数化的结果。虽然该策略实用且被广泛采用，但它引入了并非源于几何本身的人为贴片边界。这些内部界面以及可能在贴片角点或价数不匹配交界处产生的潜在奇异性，需要额外的连续性约束来消除数值伪影，并可能损害最优收敛阶[9]、[10]。一个更为关键且常被忽视的挑战在于分解过程本身。尽管有多种域分解算法可用（例如基于骨架的方法[8]、[11]、基于多正方形/多立方体的方法[7]、[12]、基于曲面叶理理论的方法[13]、[14]或基于交叉场驱动的方法[15]、[16]），但它们在多重连通域上的普适性仍不清晰。特别是，将多重连通平面域分解为少量高质量贴片通常需要人工调优或启发式规则，而在三维情形下问题则变得更加困难，目前尚无普遍稳健的分解策略。因此，迫切需要一种能够生成多重连通域高质量单片参数化的方法论，从而完全绕过分解步骤并避免其带来的可靠性问题。

本文提出了一种新的方法论框架来应对这一根本性缺口。我们的核心贡献是一个统一流程，用于为多重连通平面域构建单片且适用于分析的截断分层B样条参数化。该方法的基础在于将多重连通的物理域映射到参数空间中的一个带孔单位正方形——一个包含若干内部方形孔的正方形，其孔洞数量等于亏数。核心创新在于将问题表述为同时搜索拟共形映射和这些内部参数孔的几何构型（中心和边长）。我们提出了一种高效的交替优化算法来求解这一耦合问题，获得低失真的双射参数化。图1(d)和1(f)分别展示了所提出方法生成的法兰形域的参数域和等参曲线。

然而需要指出的是，尽管所提出的单片方法旨在克服贴片分解的局限性，其向三维的推广同样面临重大挑战，详见注3。此外，该方法目前未强制保持若干物理域中固有的几何对称性。这可能导致非对称的参数化，从而影响后续模拟的准确性和可靠性——这一局限在注4中明确阐述。

本文其余部分结构如下。第2节全面回顾了等几何参数化的最先进方法，重点介绍平面情形。第3节阐述了支撑我们所提方法的关键数学预备知识。第4节详细说明了构建多重连通平面域单片参数化的完整算法流程。第5节详细描述了所提算法所有核心子问题的数值离散化策略和求解方法。第6节报告了大量的数值实验，包括参数化质量验证、计算效率评估以及与传统贴片方法的对比分析。最后，第7节总结本工作的主要结论并概述了未来研究的有前景方向。

**相关工作**

在等几何分析中，域参数化问题因其对确保模拟质量的关键作用而得到了广泛研究。现有方法大致可分为两大类：单片参数化和贴片参数化。本节重点回顾与平面域相关的工作。

**数学预备知识**

本节介绍所提方法的关键数学基础，包括截断分层B样条表示、拟共形映射理论以及复映射的离散化。

全文中，我们将平面点与复数等同。具体而言，点$(x,y)\in\mathbb{R}^2$表示为$z=x+\sqrt{-1}y\in\mathbb{C}$。

**计算多重连通平面域的单片参数化**

给定多重连通平面域$\Omega$的边界表示，该表示由一组NURBS曲线定义或由多边形定义（如本文所采用，见图2(a)中的红色多边形），我们的目标是为$\Omega$开发一个单片且适用于分析的样条参数化。为此，我们首先构建一个从$\Omega$到带孔单位正方形$\hat{\Omega}$的映射。所需的参数化则通过对逆映射使用截断分层B样条进行逼近获得。概述

**数值实现**

本节描述第4.1.2节中引入的子问题的离散化和求解策略，以及第4.2节中的面积失真最小化。

**实验结果**

我们在八种具有不同拓扑复杂度的CAD几何体上（图1、图2、图3、图4、图5、图6、图7、图8、图9、图10、图11）测试了所提参数化方法的有效性和实用性。需要注意的是，只有近期先进的贴片参数化方法才能在这些复杂几何体上获得令人满意的结果。为了进一步验证新方法，我们进行了两项竞争性

**结论**

本工作提出了一种新颖的框架，用于生成多重连通平面域的高质量、单片、适用于分析的截断分层B样条参数化，解决了等几何分析中的一项挑战性问题。核心思想是将物理域映射到带孔单位正方形，将拟共形映射和内部孔洞的几何构型均视为未知量。开发了一种交替优化算法来求解这一耦合问题，随后进行面积失真

**CRediT作者贡献声明**

邹瑞杰：可视化、验证、软件、数据整理。潘茂东：撰写初稿、监督、项目管理、方法论、调查、获取资助、形式化分析、概念化。陈发莱：撰写初稿、监督、调查、获取资助、概念化。郑烨：验证、形式化分析、数据整理。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些可能影响本文所报告的工作。

**致谢**

本工作得到中国国家重点研发计划（项目编号2024YFA1016300）、国家自然科学基金（项目编号12471359、12494550、12494555、12371383）、江苏省基础研究计划（项目编号BK20250176）以及中央高校基本科研业务费（项目编号NE2025007）的支持。

邹瑞杰|潘茂东|陈发莱|郑烨