板结构的三维协同拓扑优化：通过CUF方法利用贯穿厚度的设计空间

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Three-dimensional synergistic topology optimization of plate structures: Exploiting the through-thickness design space via the CUF approach

　　• 提出了一种基于CUF的3D协同拓扑优化框架，用于板结构。
• 隐式几何投影将3D拓扑映射到2D设计变量上。
• 通过减小问题规模，获得了厚度方向的设计自由度。
• 生成了没有封闭内部空洞的空间连续固体。
• 优化结果能够恢复桥梁的典型结构，而无需预先假设拓扑结构。

**引言**
板结构、壳结构和薄壁结构是现代工程系统中重要的承重构件。由于其轻量化配置、结构效率、高比刚度和长期耐久性，这些结构能够在复杂的机械环境中提供可靠的承载性能[1]。它们的机械优势在于能够通过弯曲和膜作用共同承受外部载荷，从而实现高结构效率。因此，板结构、壳结构和薄壁结构广泛应用于土木建筑、航空航天、汽车制造和海洋工程等领域。

板结构的机械性能与其几何形状和材料分布密切相关。在规定的载荷和边界条件下设计最优配置是结构力学中的一个长期问题，而经验或参数试错方法通常无法满足现代工程应用的设计要求。根据设计变量的物理属性，板结构的最优设计通常分为三类：尺寸优化、形状优化和拓扑优化。尺寸优化改变结构的几何参数（如板厚、截面尺寸或加劲杆高度），同时保持其整体拓扑结构。一个经典的例子是Cheng和Olhoff对固体弹性板的优化设计[2]，该研究将板厚作为设计变量；这项工作是显著影响连续结构优化发展的早期研究之一。另一方面，形状优化修改结构的外部轮廓和内部边界，设计变量控制形状演变。根据参数化策略，这些变量可以是基于几何特征的计算机辅助设计（CAD）参数（通过自适应更新扩展设计空间[3]，[4]），或基于节点的表面坐标（无需CAD即可描述具有大量几何自由度的边界[5]，[6]）。

拓扑优化确定给定设计域内的最优材料分布，从而改变结构的载荷传递路径并提供更大的设计自由度。在连续结构优化的早期发展基础上，已经开发出多种用于固体结构拓扑优化的方法。代表性方法包括带有惩罚项的各向同性固体模型（SIMP）[7]，[8]、进化结构优化和双向进化结构优化（ESO/BESO）方法[9]，[10]、水平集方法（LSM）[11]，以及基于显式几何描述的移动可变形组件（MMC）框架[12]，[13]。作为连续松弛策略的替代方案，Liang等人[14]，[15]提出了一种直接求解0-1离散变量的拓扑优化框架，消除了中间密度，并对拓扑复杂性进行了显式控制。

当应用于板结构和壳结构时，这些拓扑优化方法通常与板或壳的有限元公式结合使用。代表性的贡献包括基于SIMP的壳结构形状和拓扑同步优化[16]、用于壳结构屈曲优化的水平集方法[17]和通用壳结构拓扑设计[18]，以及基于显式MMC的加劲板优化[19]，[20]。由于传统的板结构和壳结构元素仅在参考表面上描述结构运动学，并不解决厚度方向上的物理几何问题，因此得到的设计空间受到限制，无法在厚度方向上重新分配材料。尽管现有的板结构拓扑优化方法可以有效重新分配平面内的材料以提高结构效率，但它们本质上受限于参考表面的设计空间。板结构的三维承载能力取决于厚度方向上的材料排列，当设计域排除厚度方向时，这种能力就无法利用。这一限制促使人们提出了多几何设计变量的协同进化方法，主要沿着两条路径进行研究。

第一条路径是形状和拓扑的协同优化。早期研究采用解耦的顺序策略；例如，Schwarz等人[21]提出了一种两阶段框架，首先通过拓扑优化获得初始概念配置，然后通过形状优化平滑边界以消除应力奇点。最近的研究趋向于完全耦合的公式。Shimoda等人[22]开发了一种在同一数学框架内同时优化结构和拓扑的协同方法，并报告了与顺序两阶段方法相比整体刚度的提高。

第二条路径是拓扑和厚度的协同设计，这与本文的研究更为相关。对于层压复合材料，S?rensen和Lund[23]观察到同时优化离散材料和厚度会在厚度方向上产生物理上没有意义的中间空洞，并引入了基于单位阶跃函数的连续近似厚度过滤器来强制满足铸造类型的约束。对于具有应力约束的自由形壳结构，Lai和Xie[24]提出了一种完全耦合的拓扑-厚度进化优化方法，消除了两个设计领域之间的变量分离。Li等人[25]，[26]考虑了厚度和材料布局的协同设计，并开发了一种结合移动可变形组件（MMC）方法和带惩罚项的形状函数（SFP）插值的拓扑优化框架，以优化加劲杆布局和层压顺序。

从纯平面拓扑优化到平面分布和厚度的协同优化的转变对有限元公式提出了新的要求。标准有限元离散化在计算效率和解决方案精度之间存在权衡。如果使用三维固体元素（例如8节点线性六面体元素H8或20节点二次六面体元素H20）进行全局离散化，则在薄壁区域所需的分辨率会导致自由度数量迅速增加，这在通常需要的数百到数千次迭代过程中变得难以处理。壳结构有限元也在不断进步，包括适用于大变形和有限旋转问题的几何精确公式[27]。然而，传统的壳元素（例如4节点简化积分壳元素S4R）虽然计算效率高，但基于简化的单层运动学假设，无法充分表示局部厚度变化或三维局部力学响应。

拓扑和厚度的协同进化还带来了另一个难题，即局部厚度可能减小到接近薄板极限的情况。在这种条件下，低阶固体元素（如H8元素）会出现剪切锁定[28]，[29]，[30]，这会引入寄生横向剪切应变能量并高估刚度矩阵。由此产生的灵敏度信息不再适用于优化算法。高阶三维固体元素可以解决低阶公式的运动学限制，允许板结构的全维设计，但其在多次优化迭代中的直接使用仍然过于昂贵。Carrera统一公式（CUF）[31]，[32]提供了一种替代的高阶框架。该公式基于一个基本核心，将三维位移场表示为厚度方向扩展函数和在参考表面上定义的广义位移的乘积，从而可以提高运动学模型的阶数。在CUF框架中，可以结合抗锁定技术（如简化积分[29]、选择性积分[30]和MITC方法[33]，[34]，[35]）来抑制低阶公式的剪切锁定，同时保持计算效率。

除了锁定问题外，将设计变量直接分配给体积网格节点会导致设计问题的规模随三维离散化而不是平面离散化而增加，从而降低迭代效率。为了解决这个问题，本发明利用CUF背后的变量分离机制，引入了一种拓扑描述函数，将厚度方向的变化与平面分布分离。设计场由两组变量参数化——半厚度和中面位置——这两组变量都在平面（x,y）参考表面上定义。由于这些变量定义在二维表面上而不是整个三维体积中，因此与完全体积参数化相比，设计变量的总数减少了，这使得能够实现厚度方向的协同设计，同时保持优化问题的规模与传统板结构拓扑优化相当。

本文的其余部分组织如下：第2节回顾了基于Carrera统一公式（CUF）及其MITC改进的高阶板结构有限元理论，并介绍了本文中使用的运动学公式。第3节发展了板结构协同尺寸和拓扑优化的数学模型，并推导出与CUF运动学场一致的解析灵敏度。第4节报告了几个数值示例，评估了所提出框架的性能，包括其在剪切锁定下的表现、对三维力学响应的描述及其在不同边界和载荷条件下的板结构应用。第5节总结了主要结论并指出了未来研究的方向。

**CUF基础仿真框架**
本文开发的拓扑优化框架使用Carrera统一公式（CUF）作为基础结构分析核。采用CUF是因为传统的板理论（如Kirchhoff–Love和Reissner–Mindlin）将厚度方向简化为预设的运动学，从而放弃了沿厚度方向的设计自由度；而传统的三维固体元素虽然几何上通用，但计算成本过高且数值计算量很大。

**CUF框架内的板结构参数化拓扑优化策略**
本节为板结构制定了拓扑优化问题。目标是在给定的设计域、体积约束以及边界和载荷条件下，确定最小化结构柔顺性的空间材料分布。下面介绍了所提出的3D协同拓扑优化方法的数学公式。

**数值示例**
本节提供了三个数值示例，评估了所提出的协同尺寸和拓扑优化框架。第4.1节以完全固定的方形板作为标准基准，将框架与传统的2D板结构拓扑优化进行比较，并对其与替代有限元公式和拓扑描述的性能进行了定量评估。然后研究了其三维特性和对跨厚度比率的灵敏度。

**结论**
板结构和薄壁结构是轻量化工程设计的核心，但利用它们的三维承载潜力仍然具有挑战性。传统的板结构和壳结构拓扑优化仅限于二维参考表面，不允许在厚度方向上重新分配材料；而完全三维的固体公式虽然提供了这种自由度，但由于计算成本高、在薄板极限下会出现剪切锁定以及容易产生封闭空洞等问题。

**作者贡献声明**
Zhaojin Chen：撰写——原始草案、可视化、软件开发、方法论、调查、形式分析、概念化。
Xueyan Hu：撰写——审稿与编辑、验证、监督、资源管理、方法论。
Bin Wu：撰写——审稿与编辑、验证、监督。
Erasmo Carrera：撰写——审稿与编辑、监督、方法论、概念化。
Weiqiu Chen：撰写——审稿与编辑、监督、项目管理、资金筹集、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号W2511009、12192211、12402107和U24A2005）以及浙江省诸暨市环江实验室的专项研究项目的支持。此外，本研究还得到了中国111项目（项目编号B21034）的部分支持。

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