基于非局域性信息的蜂窝梁均匀化网络

《COMPOSITE STRUCTURES》：Nonlocality-informed homogenization network for cellular beams

　　

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  开发了一种两阶段非局部均质化模型，用于捕捉蜂窝梁的尺寸依赖性弯曲响应。
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  提出了一种基于非局部性信息的均质化网络（NIHN）。
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  为所提出的网络引入了一种数据模型解耦的两阶段迭代优化策略。
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  该框架能够准确高效地预测蜂窝梁的响应。

引言

3D打印技术的进步使得可以制造出具有微架构可调特性的超材料，这些超材料的性能优于其基础材料[1]。这促进了其在航空航天、海洋等领域的大量应用，在这些领域中，轻量化、高强度结构至关重要[2]、[3]。这些结构化材料能够实现对机械[4]、热[5]、[6]和声学行为[7]、[8]的前所未有的控制，为轻量化结构、能量吸收和多功能性能等提供了新的可能性。然而，微观结构与宏观性能之间的基本联系仍然不明确，特别是在尺寸效应变得显著的情况下。

当晶格常数与宏观结构尺寸相当时，蜂窝结构的尺寸依赖性响应已被广泛观察到[9]、[10]。尽管直接数值模拟可以准确解决这些响应，但其计算成本往往很高[11]。为了降低计算成本，已经开发了许多基于RVE（Representative Volume Element）的蜂窝结构均质化方法，包括混合规则、Mori–Tanaka方法、自洽方案和渐近均质化[12]、[13]、[14]、[15]。基于FEM（Finite Element Method）、FFT（Fast Fourier Transform）等的数值方法以及${\text{FE}}^2$的均质化方法，可以在没有强解析假设的情况下进一步确定复杂微观结构的有效特性[16]、[17]。然而，这些方法通常依赖于RVE尺寸与宏观结构尺寸之间的明确分离。当这一假设被削弱时，特别是对于微观结构尺寸与厚度相当的结构（如梁或壳体），边界条件和运动学一致性变得重要。非周期性厚度方向边界条件和更高阶的均质化框架可以提高对有限尺寸响应的预测[18]、[19]。然而，从经典弹性理论衍生的均质化模型是以无量纲应变为基础制定的，因此本质上缺乏捕捉尺寸依赖性现象的能力[20]、[21]。

在广义连续介质力学中，已经提出了几种模型，通过额外的运动场、更高阶的梯度或特征长度来表示尺寸依赖性行为。代表性例子包括非局部弹性理论[22]、[23]、应变梯度理论[24]、[25]、非局部应变梯度理论[26]、[27]、耦合应力理论[28]、[29]和Micropolar/Cosserat理论[30]、[31]。对于晶格和结构化材料，Cosserat连续化、应变梯度力学和一致的耦合应力梁模型已被用于描述微观结构的旋转、表面效应和更高阶的弯曲响应[32]、[33]、[34]。这些研究表明，尺寸依赖性响应可以通过不同的广义连续介质模型来表示。在这些理论中，差分非局部弹性理论被广泛用于捕捉纳米棒[35]、[36]、纳米梁[37]、[38]和纳米板[39]等中的尺度效应。它也被纳入到蜂窝结构的均质化框架中，包括非局部动态均质化、时空调制非局部均质化和应力驱动的非局部均质化[41]、[42]、[43]、[44]。这些研究通过非局部效应解释了经典力学中的非经典现象，即尺寸依赖性行为，并开发了相应的模型来描述它们。这为建模蜂窝结构提供了一条更准确的途径，即将观察到的行为映射到广义有效介质描述上。

非局部连续介质模型的控制方程通常由于非局部积分项而保持积分-微分形式，这使它们的数值解变得复杂。已经开发了多种数值方法来解决从广义连续介质力学导出的控制方程，包括有限元方法（FEM）、谱方法[45]、[46]、无网格方法[47]和广义差分求积法（GDQM）[49]、[50]等。谱方法已被应用于非局部算子和分数非局部偏微分方程[51]、[52]，而无网格方法和GDQM已被用于尺寸依赖性梁和板的弯曲、振动和稳定性分析[53]、[54]、[55]、[56]。然而，对于非局部或更高阶的控制方程，这些传统方法可能需要密集的离散化和对非局部或更高阶边界条件的仔细处理，这可能导致计算成本增加和数值不稳定性。

为了解决这些问题，物理信息神经网络（PINN）作为一种有前景的替代方案应运而生[57]、[58]。通过将控制方程和边界条件嵌入损失函数，PINN使用自动微分来评估所需的导数，而无需传统的网格离散化[59]、[60]。最近的应用包括非局部梁弯曲、周期性结构的色散分析和基于非局部应变梯度模型的结构化晶格的均质化[61]、[62]、[63]、[64]。然而，在现有的研究中，PINN通常依赖于纯微分公式或数据驱动的监督，其预测准确性很大程度上取决于物理一致数据的可用性[65]。特别是，仅基于控制方程和边界条件的损失函数可能不足以识别微观结构依赖的参数或区分物理上相关的尺寸依赖性响应。PINN训练还可能受到病态多目标优化的影响，在这种情况下，控制方程、边界条件和数据约束之间的不平衡残差会阻碍收敛[66]、[67]、[68]。在逆问题中，这种难度进一步放大，因为未知的物理参数和网络权重需要同时优化。

在这项研究中，提出了一种基于非局部性信息的均质化网络（NIHN）框架，以阐明微观结构特征与多尺度航空航天蜂窝结构的尺寸依赖性机械响应之间的关系，如图1所示。本文的组织结构如下：第2节严格从集总系统推导出两阶段非局部梁模型，从而能够准确模拟蜂窝结构的尺寸依赖性弯曲行为。基于这种连续体公式，建立了积分-微分控制方程。为了解决该方程固有的计算挑战，第3节开发了一个增强了混合优化器的非局部相互作用信息均质化网络框架。第4节实现了这个NIHN，以分析不同超材料配置下的弯曲响应。最后，第5节总结了这项工作的主要结论。

章节片段

蜂窝梁的尺寸依赖性弯曲行为

图2(a)展示了填充有不同晶格常数a的Gyroid晶格的蜂窝梁。直接数值模拟完全解析的蜂窝梁需要大量的计算资源和时间。因此，首先使用基于经典RVE的均质化方法来获得经典的有效杨氏模量$E_{\text{c}}$[69]。更多细节见附录A。在经典局部均质化近似下，蜂窝梁被表示为均匀梁

具有三维非局部性的非局部性信息均质化网络框架

本节扩展了两阶段非局部模型，以考虑沿所有三个空间方向的等效微观结构介导的空间耦合，并推导出相应的积分-微分控制方程。为了进一步揭示微观结构特征如何影响宏观响应，引入了一种基于非局部性信息的均质化网络（NIHN）框架。

结果与讨论

在本节中，严格评估了NIHN的准确性，并通过不同晶格配置的蜂窝梁的弯曲分析进一步证明了其能力。

结论

本研究通过将非局部连续介质模型与物理信息学习策略相结合，开发了一种基于非局部性信息的均质化网络（NIHN）框架，以预测当经典局部均质化不足以解释时蜂窝梁的尺寸依赖性弯曲响应。该框架既不假设组成材料中存在内在的长程力，也不暗示经典平均会产生非局部性。相反，非局部性被引入作为一种有效机制

CRediT作者贡献声明

Shuo Li：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、正式分析、数据整理。Yi Jiao：可视化、验证、调查。Zhengjiang Wu：可视化、验证、调查。Di Wu：可视化、验证、调查。Li Li：撰写——原始草稿、验证、监督、资源管理、方法论、调查、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能会影响本文报告的工作。

致谢

本工作得到了中国国家自然科学基金（项目编号52575116和52175095）和湖北省青年拔尖人才培训计划的支持。