一种面向复合结构代理辅助多尺度建模的材料嵌入物理循环神经网络框架

《COMPOSITE STRUCTURES》：A material-embedded physically recurrent neural network framework for surrogate-assisted multiscale modeling of composite structures

　　

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  将PRNN重新表述为基于核函数的多尺度近似框架。
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  MERNN实现材料嵌入的含路径依赖的本构建模。
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  高效的多材料训练，降低数据成本。
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  在代理辅助FE²中实现两个数量级的效率提升。

引言

复合材料因其优异的比刚度、强度、疲劳抵抗性和损伤容限[3, 4]，已被广泛应用于高性能工程结构[1, 2]。然而，其非均匀微观结构和非线性组分相互作用使得多尺度结构分析面临计算挑战[5]。尽管计算均匀化方法，如FE² [6, 7, 8]，通过在宏观积分点处求解RVE边值问题来显式保留微观结构效应，但其直接应用于大规模结构仍然代价高昂。

因此，基于机器学习的代理本构模型被开发出来以替代多尺度分析中昂贵的RVE仿真。不同类型的机器学习模型已被广泛研究用于这一任务，包括高斯过程回归（GPR）[9, 10]、支持向量回归[11]和基于树的模型[12]。同时，基于神经网络的本构模型因其强大的复杂非线性映射近似能力而成为数据驱动本构模型的一个重要类别。例如，前馈神经网络（FNN）已被广泛用于无路径依赖或弱路径依赖响应的建模[13, 14, 15, 16, 17]，而循环神经网络（RNN）及其变体则更适合路径依赖的本构行为[18, 19, 20, 21, 22]。近期研究进一步引入了热力学约束[23, 24, 25]、正定切线算子[26, 27, 28]或内部状态演化机制[29, 30, 31]，以提高物理一致性和数值稳定性。

尽管取得了这些进展，大多数基于神经网络的代理本构模型仍然需要大量训练数据集，与特定材料紧密绑定，并且在训练路径域之外通常表现出有限的推广能力。迁移学习[32, 33]、多任务学习[34]和材料嵌入策略[35]最近被引入以提高本构代理模型在不同材料间的适应性。通过共享通用神经网络主干并通过低维潜变量表示材料变异性，这些方法可以减少新材料所需的数据量。然而，它们与微观力学驱动的均匀化框架在复合材料多尺度分析中的整合探索仍显不足。为克服数据驱动模型在训练域外推广能力有限的缺陷，近期研究越来越多地聚焦于将复合材料力学的均匀化原理嵌入神经网络框架中。在此背景下，Liu等人[36]以及Liu和Wu[37]提出了深度材料网络（DMN），其中复合材料微观结构通过由两相层板解析均匀化解构建的二叉树架构进行近似。更近期，Maia等人[38]引入了物理循环神经网络（PRNN），为复合材料宏观尺度的代理本构建模提供了一个更紧凑的物理引导框架。

在PRNN框架中，施加在RVE边界上的宏观应变通过局部化、FMP层面本构响应和均匀化依次进行变换，从而得到对应的宏观应力。在其最初应用于弹塑性纤维增强复合材料[38]时，FMP本构模型被假设为与基体遵循相同的弹塑性本构定律，而仅对局部化和均匀化部分赋予可训练参数。通过将路径依赖的处理转移至传统本构关系，PRNN大幅降低了网络复杂度，使得仅凭极少量的训练数据即可学习复杂的宏观本构响应，同时表现出强大的推广性能和通过自动微分实现的稳定切线刚度评估。后续发展将PRNN扩展至速率相关有限变形[39]、纤维-基体脱粘[40]和编织复合材料系统[41]。此外，我们近期工作[42]研究了虚拟材料模型参数的影响，证明将这些参数设为可训练而非预先指定可以进一步提高预测精度。这一发现凸显了构建适当FMP的重要性。然而，现有的PRNN模型通常依赖于预先指定函数形式的FMP本构模型。尽管使这些FMP的材料参数可训练可以提高其灵活性，但其表征能力仍然受到假定本构定律的约束。对于具有复杂纤维-基体相互作用的材料，这一局限性更为显著，其有效局部响应可能无法被一组传统弹塑性模型充分表征。

在本研究中，我们提出了材料嵌入物理循环神经网络（MERNN-PRNN）框架，用于复合材料的代理辅助多尺度建模。主要贡献总结如下。首先，将PRNN中嵌入的均匀化机制从基于核函数的函数近似视角进行重新解释，其中FMP的响应作为基函数用于表征宏观本构响应。其次，开发了MERNN来构建具有可调材料参数的含路径依赖的FMP本构模型。通过将多任务学习与低维材料嵌入相结合，所提出的MERNN能够捕获不同参数材料之间的共享力学特征，同时通过嵌入变量实现对材料特异变化的有效适应。第三，将基于MERNN的FMP纳入PRNN框架，以增强其表征无法被固定本构形式的传统弹塑性FMP完全描述的复杂相相互作用效应的能力。最后，将所提出的MERNN-PRNN模型集成到代理辅助的FE²框架中，并通过数值算例进行验证，证明其具有高的预测精度、改善的泛化能力、宏观-微观能量一致性，以及与直接FE²仿真相比大幅降低的计算成本和内存消耗。

本文其余部分组织如下。第2节简要回顾FE²方法的理论框架和代理辅助加速策略。第3节介绍所提出的MERNN模型，包括用于含路径依赖本构建模的两种替代架构及相应的训练流程。第4节描述模型训练所用数据集的制备。第5节通过数值结果验证MERNN的精度和效率及其作为PRNN中FMP本构模型在FE²仿真中的应用。第6节讨论所提方法的优点、局限性和未来展望。最后，第7节给出结论。

各节摘要

理论基础

本节首先简要介绍FE²方法的理论框架及其计算挑战，随后概述代理辅助加速策略。然后引入PRNN作为代理模型，并从函数近似的角度对其进行重新审视。最后，重点关注FMP的选择与构建，这是PRNN框架的核心组成部分。

通过MERNN构建FMP的方法

为缓解PRNN框架中FMP设计与实现的困难，引入了一种材料嵌入循环神经网络模型。我们首先回顾Jailin和Baranger[35]最初为超弹性材料本构学习提出的材料嵌入策略，即材料嵌入物理增强神经网络（ME-PANN）。由于ME-PANN是基于全连接神经网络（FCNN）开发的，为了与循环架构保持一致性

数据集建立

所提出的复合材料宏观本构行为代理建模框架涉及两组不同的可训练参数。第一组对应于PRNN模型，包括编码层和解码层以及与FMP相关联的材料参数。第二组涉及FMP本构模型本身的固有参数，即MERNN模型的参数。为独立训练和验证这两个组件，

结果与分析

本节分为四个子部分。首先，研究MERNN架构和材料嵌入维度对学习性能的影响。其次，分析两种不同采样策略对MERNN多任务学习能力的影响。第三，基于前几个子部分确定的最优架构和采样策略，将所得MERNN模型作为FMP本构模型用于PRNN中，评估其性能

所提MERNN-PRNN框架的优点与意义

所提出的MERNN-PRNN框架通过显式纳入复合材料的均匀化机制构建而成。在数据丰富的场景中，当基体本构定律假定为已知且可高效生成大数据集时，采用具有强表征能力的深度RNN来学习各相的参数化本构行为。而对于复合材料的宏观本构建模，由于数据生成计算代价高昂

结论

在本研究中，提出了一种耦合复合材料均匀化力学与材料嵌入循环神经网络的宏观代理本构建模框架，以解决耦合多尺度结构分析中面临的高计算成本问题。主要结论总结如下。

• (1)
  复合材料的宏观力学行为可抽象分解为两个组成部分：一个捕获固有

CRediT作者贡献声明

吕小龙：撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，软件，方法论，形式化分析，数据管理，概念化。徐凯龙：撰写 – 审阅与编辑，监督，调查研究，资金获取，形式化分析。黄丹：撰写 – 审阅与编辑，监督，资源，项目管理，调查研究，资金获取。于泽阳：可视化，验证，方法论。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本工作由国家自然科学基金（12572226、52405150）、江苏省自然科学基金（BK20241506）以及江苏省蓝天计划资助。

吕小龙|徐凯龙|黄丹|于泽阳