循环赛制体育联赛中比赛、时段与裁判排程：一种仿真优化方法

《Computers & Industrial Engineering》：Scheduling of matches, time slots and referees for a round robin format sport league: A simulation–optimization approach

　　

**摘要**

本文探讨了职业体育联赛调度的综合问题，将三个关键维度——赛程安排、时间段分配和裁判分配——进行整合。我们开发了一种适用于循环赛的通用方法论，通过基于模拟的期望球队表现分析来量化比赛的可观赏性和竞争力。利用泊松分布和蒙特卡洛模拟，我们估计比赛结果，基于竞争平衡和相对球队实力推导出可观赏性和竞争力指标。这些指标被整合到三个顺序整数线性规划模型中。第一个模型通过确定主客场分配来生成完整赛季赛程，同时最大化整个赛季的比赛累积可观赏性。第二个模型将比赛战略性地分配到可用时间段，在平衡球队曝光度的同时管理黄金时段分布。第三个模型将裁判分配给比赛，同时满足工作量限制、强制休息期、中立性要求和利益冲突约束。我们通过将该方法论应用于2024赛季乌拉圭篮球甲级联赛，并以2024–25赛季意大利篮球甲级联赛作为第二个案例研究，展示了该方法的有效性。为验证基于可观赏性的方法，我们将通过最大化比赛可观赏性生成的赛程与使用随机权重创建的赛程以及联赛实际实施的赛程进行了比较。统计分析表明，可观赏性最大化目标在整体日历可观赏性（赛程安排模型）和比赛曝光公平性（时间段分配模型）方面均产生了显著更优的结果，在两个维度上均大幅超过了实际实施的赛程。我们的综合方法代表了一项新颖的贡献，通过系统地将基于模拟的可观赏性量化与优化模型相结合，填补了现有研究中通常将这些维度分开处理的空白。

**引言**

职业体育联赛在管理其赛事时面临着复杂的组织和运营挑战。每项体育赛事都需要一份赛程表，说明谁与谁比赛、何时比赛以及在何处比赛（Davari等人，2020）。联赛管理员在安排赛季内的体育赛事赛程时必须考虑多种因素，包括场地可用性和容量、顺序安排、比赛时间、旅行公平性、竞争平衡以及球迷参与度（Lenor等人，2016）。在常规平衡循环赛季中，每支球队与其他所有球队相遇的次数相等，这些调度决策变得尤为棘手，因为约束条件和目标的数量不断增加（Van Bulck & Goossens，2023）。体育调度，即决定何时进行哪场比赛，是每项体育赛事不可或缺的一部分，并已成为运筹学在体育领域最流行的应用之一（Li等人，2023，?avdaro?lu和Atan，2020）。

大型体育赛事赛程的安排往往非常困难，这是因为与特定运动相关的固有复杂性，以及必须考虑的众多因素，这些因素常常相互冲突（Hung等人，2015）。在循环体育赛事中，每支球队与其他每支球队交手固定次数，这些赛事在多种运动中普遍存在，既包括职业比赛也包括业余比赛（Van Bulck & Goossens，2023）。在双循环赛中，球队之间恰好进行两场比赛，通常一次主场一次客场（Ribeiro，2012）。然而，体育调度的复杂性不仅仅在于确定对阵和场地。现代联赛还必须解决比赛分配到不同时间段的问题，包括能够提升收视率和球迷参与度的黄金时段。此外，将裁判分配给比赛是联赛管理中确保公平的关键维度，在体育媒体中也受到了广泛关注（Atan & Hüseyino?lu，2017）。除了这些运营需求之外，联赛组织者越来越认识到比赛可观赏性在保持球迷兴趣和参与度的重要性。

传统上，裁判分配是在固定比赛赛程后，从可用的裁判池中按周进行的。这种顺序方法只考虑短期目标，可能导致工作量分配不均，一些裁判获得的比赛数量明显多于其他人（Atan & Hüseyino?lu，2017）。综合调度必须确保竞争平衡、维持裁判中立性、防止利益冲突，并满足众多组织和物流约束，同时考虑整个赛季内吸引性对阵的战略性分布。整数规划、约束规划、元启发式和混合方法已成功应用于体育调度问题的不同变体（Ribeiro，2012）。

尽管已有大量研究工作，但仍然存在两个结构性空白。首先，三个调度维度（赛程安排、时间段分配和裁判分配）通常被孤立地处理，主要目标是减少旅行和公平性；比赛可观赏性，即被理解为赛程在整个赛季中的参与价值，很少被作为明确的优化目标。其次，现有的框架没有在一个框架中同时解决所有三个维度，同时又保持足够的模块化以便根据数据可用性逐维度采用。这些空白激发了以下研究问题。

尽管体育调度研究广泛，但有几个问题仍未得到充分解决：联赛管理员如何在综合框架中同时优化赛程安排、时间段分配和裁判分配？如何量化比赛可观赏性并将其纳入调度过程，以在整个赛季中保持球迷参与度？能否开发一种系统方法论，在满足职业体育联赛固有众多约束的同时，平衡运营效率和娱乐价值？

本文通过综合优化方法解决这些问题。我们开发了一种通用方法论，基于期望球队表现和竞争平衡来量化比赛可观赏性。利用每支球队在主客场情境下的期望得分，我们采用泊松分布和蒙特卡洛模拟来估计所有可能球队组合的比赛结果。这一模拟框架使我们能够计算每支球队在整个赛季中的期望积分并评估相对球队实力。我们推导出一个比赛可观赏性指标，该指标基于竞争平衡捕获每个潜在对阵的吸引力，从而在满足所有运营约束的同时优化赛季赛程以最大化整体可观赏性。

我们提出了三个整数线性规划（ILP）模型，解决联赛调度的相互关联维度：具有可观赏性优化的赛程安排、时间段分配和裁判分配。第一个模型生成完整赛季赛程，确定主客场分配，同时最大化整个赛季比赛累积可观赏性并确保竞争平衡和场地约束。第二个模型将比赛分配到可用时间段，平衡各队曝光度的同时战略性地管理黄金时段分布。第三个模型考虑工作量限制、强制休息期、中立性要求和利益冲突约束，将裁判分配给比赛。这些模型可以顺序求解，每个模型基于前一个模型的输出，或者如果已有部分赛程则可以独立求解。所提出的方法论是通用的，适用于具有类似结构特征的体育联赛。我们通过两个案例研究展示了其有效性：2024赛季乌拉圭篮球甲级联赛和2024–25赛季意大利篮球甲级联赛。

本文其余部分组织如下。第2节回顾体育调度和裁判分配的相关文献。第3节正式定义问题并呈现完整的调度规则集。第4节介绍三个整数线性规划公式。第5节展示将我们的方法论应用于两个案例研究所获得的计算结果，即2024赛季乌拉圭篮球甲级联赛和2024–25赛季意大利篮球甲级联赛。第6节讨论管理启示、局限性和方法的通用性。最后，第7节总结全文并概述未来研究方向。

**第2节 文献综述与本研究的贡献**

**2.1 体育调度中的运筹学应用**

过去40年，体育调度中的运筹学应用享有丰富的历史（Kostuk & Willoughby，2012）。Ribeiro（2012）提供了体育调度基本问题及其公式的入门性综述，随后对优化方法在足球、棒球、篮球、板球和曲棍球等多个领域的职业联赛调度问题中的应用进行了调查。Ribeiro等人（2023）回顾了职业体育联赛调度的主要特征及其优化方法。

**2.2 比赛可观赏性量化**

比赛可观赏性作为衡量赛事吸引力的指标，近年来受到广泛关注。基于模拟的方法已被用于估计比赛结果并量化比赛吸引力。本研究采用泊松分布和蒙特卡洛模拟来估计比赛结果，基于竞争平衡和相对球队实力推导可观赏性指标。

**2.3 裁判分配**

裁判分配问题在体育调度文献中已得到研究，但通常与赛程安排问题分开处理。本研究将裁判分配作为综合调度框架的一部分，考虑工作量限制、强制休息期、中立性要求和利益冲突约束。

**2.4 本研究的贡献**

本研究的主要贡献在于系统地将基于模拟的可观赏性量化与优化模型相结合，在一个模块化框架中同时解决赛程安排、时间段分配和裁判分配三个维度。我们的方法通过案例研究得到验证，表明基于可观赏性的方法能够产生显著更优的赛程。

**第3节 问题概述**

**3.1 联赛结构**

联赛采用双循环赛制，球队在赛季中相互比赛两次——一次主场一次客场。参赛球队总数（必须为偶数）决定了赛季的比赛日数。这种赛制确保了平衡且全面的比赛赛程。

**3.2 行政分配**

每场比赛需要两项关键行政分配。首先，必须指定一名官方裁判根据联赛规定监督比赛。其次，每场比赛必须分配到特定的时间段，包括黄金时段。

**3.3 约束条件**

调度问题涉及多种约束条件：场地可用性和容量、旅行公平性、强制休息期、裁判中立性、利益冲突避免、黄金时段分布以及比赛可观赏性最大化。

**第4节 比赛、时间段和裁判调度的数学模型**

**4.1 符号定义**

本节定义了所使用的符号，描述了确定参数的模拟过程，并呈现了比赛、时间段和裁判调度的纯整数线性规划公式。

**4.2 基于模拟的参数确定**

我们采用泊松分布和蒙特卡洛模拟来估计比赛结果。基于每支球队在主客场情境下的期望得分，我们计算所有可能球队组合的比赛结果，并推导可观赏性指标。

**4.3 赛程安排模型**

第一个模型生成完整赛季赛程，确定主客场分配，同时最大化整个赛季比赛累积可观赏性并确保竞争平衡和场地约束。

**4.4 时间段分配模型**

第二个模型将比赛分配到可用时间段，平衡各队曝光度的同时战略性地管理黄金时段分布。

**4.5 裁判分配模型**

第三个模型考虑工作量限制、强制休息期、中立性要求和利益冲突约束，将裁判分配给比赛。

**第5节 计算实验**

本节呈现的计算实验验证了模拟-优化方法论：使用蒙特卡洛模拟计算比赛结果以及使用纯整数线性规划模型安排比赛、时间段和裁判。模型以2024赛季乌拉圭篮球甲级联赛常规赛为例进行说明。乌拉圭篮球甲级联赛是乌拉圭顶级篮球联赛，2024赛季有12支球队参赛：Nacional、Aguada等。

**第6节 讨论**

本研究证明，明确将比赛可观赏性作为优化目标纳入，能够产生与传统方法显著不同且更优的赛程。观察到的显著改进，特别是在赛程可观赏性和比赛曝光度方面，表明将所有对阵视为同等价值（这在注重公平性的调度中很常见）可能会无意中未能实现显著的参与度潜力。

**第7节 结论**

职业体育调度传统上平衡运营约束与公平性考虑，将比赛可观赏性作为次要问题或主观判断处理。本研究证明，可观赏性可以通过基于模拟的表现建模严格量化，并通过整数线性规划系统优化，从而在不妨碍运营可行性或公平性的前提下显著提升参与度潜力。

**CRediT作者贡献声明**

Jesús Isaac Vázquez-Serrano：撰写-初稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、正式分析、概念化。Leopoldo Eduardo Cárdenas-Barrón：撰写-审阅与编辑、验证、监督、方法论、调查、正式分析、概念化。Md. Al-Amin Khan：撰写-审阅与编辑、方法论、调查、概念化。Cynthia Griselle De-la-Cruz-Márquez：撰写-审阅与编辑、方法论、调查。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有任何已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

Jesús Isaac Vázquez-Serrano | Leopoldo Eduardo Cárdenas-Barrón | Md. Al-Amin Khan | Cynthia Griselle De-la-Cruz-Márquez | Eduardo Salazar-Trevi?o | Julio C. Vicencio-Ortiz

墨西哥蒙特雷理工学院，工程与科学学院，蒙特雷，64849，新莱昂州，墨西哥