一个基于物理学的框架，用于处理功能梯度材料中的三维正反向弹性静力学问题

《Computers & Mathematics with Applications》：A physics-informed framework for three-dimensional forward and inverse elastostatic problems in functionally graded materials

　　摘要
本研究提出了一种创新框架，该框架将径向基函数（RBFs）集成到物理信息神经网络（PINNs）中，用于求解功能梯度材料中的三维正向和逆向弹性静力学问题。所提出的框架采用全连接神经网络，以源点的角度作为输入，并预测它们的位置以及形状参数，以近似计算域内的解。通过利用成熟的RBF公式和自动微分技术，构建了基于控制方程和边界条件的损失函数。使用基于梯度的限制性非线性优化方法（通过MATLAB中的“fmincon”函数和SQP算法实现）来优化可训练参数，从而改进源点分布和形状参数。数值结果表明，所提出的方法能够有效地、准确地解决三维复杂几何形状中的弹性静力学和逆向Cauchy问题。与测试的PINN和RBF配置方法相比，该框架通常能够提高精度和稳定的数值性能。

引言
功能梯度材料（FGMs）[1,2]是一类具有连续或近似连续材料属性变化的先进异质材料。由于其适应复杂环境的能力和定制材料设计的潜力，FGMs在生物医学工程[3]、航空航天工程[4]和能源[5]等各个领域中作为结构和功能组件得到了广泛应用。因此，深入理解FGMs的弹性静力学分析具有重要的理论意义和工程价值[[6], [7], [8]]。正向弹性静力学问题关注的是根据规定的材料属性、施加的外部力量和指定的边界条件，在计算域内计算位移、应力和应变场[9]。相比之下，逆向弹性静力学问题试图从有限或间接的测量数据中重建未知的材料参数[10,11]或边界信息[12,13]。一个典型的例子是逆向Cauchy问题[14,15]，其中某些边界条件由于测量限制而无法明确。这个问题本质上是病态的，因为边界数据的微小扰动都可能导致数值解的显著变化[13]。各种数值方法，如有限元方法（FEM）[8,16]、边界元方法（BEM）[17,18]和无网格方法[[19], [20], [21], [22], [23], [24], [25]]（如径向基函数配置方法（RBFCM）[26]），在解决广泛的工程问题（如正向和逆向弹性静力学分析）方面表现出很强的能力。最近，还开发了基于多项式和RBF的无网格方法用于各向异性FGMs的弹性静力学分析[27,28]。尽管这些方法各有优势，但它们都受到各种限制，需要进一步研究和改进。例如，FEM依赖于网格生成，在应用于薄壁结构时可能会遇到挑战，为了达到足够的计算精度，通常需要细密网格以防止元素变形。BEM在边界网格化和复杂奇异积分处理方面存在问题。RBFCM的有效性与节点分布的质量和形状参数的选择密切相关，不当的节点放置和形状参数选择可能导致较大的数值误差甚至解的不稳定性。此外，深度学习技术[[29], [30], [31]]为FGMs的机械分析提供了另一种潜在的替代方案。

最近，物理信息神经网络（PINNs）[32,33]作为一种深度学习算法，在包括力学[34,35]、工程[36]和能源[37]在内的各种计算应用中得到了广泛应用。PINNs将物理知识与观测数据有机结合，表现出泛化和外推能力。经过多年的发展，提出了多种PINN的扩展，包括分数阶PINNs[38]、贝叶斯PINNs[39]、多域PINNs[40]和变分PINNs[41]。此外，还进行了涉及网络架构[42]和优化算法[43]的各种实验，并提出了几种策略，如域分解技术[44]、自适应方法[45]和重要性采样[46]，这些都对优化PINN的性能至关重要。基于RBF的PINN架构也被研究用于基于非局部模型的逆向和非局部弹性问题[47,48]。这些进展解决了与PINNs相关的一些核心挑战，并显著提高了它们在工程和科学应用中的实用性。

在PINNs的基础架构和RBFs的基本概念基础上，本文提出了一种用于解决FGMs中三维正向弹性静力学和逆向Cauchy问题的物理信息RBF框架。在所提出的框架中，RBF公式被嵌入到PINNs中，全连接层的神经网络将源点的角度映射到相应的空间位置和形状参数。网络输出通过RBF结合自动微分技术进行处理，从而可以直接构建基于边界条件（BCs）和控制方程（GEs）的物理损失函数。使用MATLAB中的受限非线性优化求解器“fmincon”来优化可训练参数。通过几个代表性示例，证明了所提出方法的有效性、准确性和灵活性。

本文的其余部分结构如下：第2节概述了FGMs中的三维弹性静力学和逆向Cauchy问题的概念。第3节简要回顾了PINNs的基本原理和几种常用的RBFCM，随后详细介绍了所提出的框架及其示意图。第4节通过四个代表性数值案例验证了所提出方法的性能，包括两个弹性静力学问题和两个逆向Cauchy问题。第5节总结了主要发现并提出了最后的意见。

问题陈述
考虑在具有边界??Ω=Γ的3D有界域Ω中的FGMs的正向弹性静力学和逆向Cauchy问题。控制方程采用具有空间变化弹性参数的Navier-Lamé型方程：
???(??)??2?????(??) + [???(??) + ???(??)]???2?????(??)???????????? = ??????(??)，
其中??=1,2,3，??∈Ω，
??=(???,???,???)表示空间坐标，?????(??)表示已知的体力。方程（1）采用了爱因斯坦求和约定来处理重复指标。指标??表示位移。

PINNs
由于PINNs在解决涉及FGMs的弹性静力学和逆向Cauchy问题的偏微分方程（PDEs）方面表现出显著的适应性，因此最近引起了广泛关注。它们利用神经网络的强大逼近能力和自动微分（AD）技术提供了一种新的方法。本部分阐明了PINNs模型，并训练了一个以空间变量（???,???,???）为输入的全连接层神经网络。神经网络的输出是位移分量。

数值示例和讨论
本节提供了两个弹性静力学问题的数值示例和两个逆向Cauchy问题的数值示例，展示了所提出的物理信息框架的性能。将所提出框架获得的数值结果与常用方法（包括PINNs和各种RBFCMs）的结果进行比较，重点评估了算法的稳定性和准确性。在所有示例中，FGMs使用的是GH4169镍基合金（???=1.6×1011?Pa 和 ???=）。

结论
在提出的两阶段过程中，使用全连接神经网络通过最小化控制方程和边界条件的残差来优化源点位置和源依赖的RBF形状参数。随后固定优化后的RBF基函数，并从相应的RBF配置系统重新计算最终展开系数。根据本研究提供的数值结果，主要结论总结如下：

• 李格非 | 王园园 | 王朝阳 | 徐伟 | 秋琳 | 古琰
宁波大学力学与工程科学学院，中国宁波315211