基于显式流动性的集合种群模型中旅行者状态的高效数值计算：数学理论及其在流行病中的应用

《Mathematics and Computers in Simulation》：Efficient numerical computation of traveler states in explicit mobility-based metapopulation models: Mathematical theory and application to epidemics

　　

• 为元群体模型中带有离散移动事件的旅行群体状态引入龙格-库塔（RK）阶次对齐计算。
• 理论上证明其数值结果与标准拉格朗日元群体模型完全相同。
• 将常微分方程（ODE）系统规模从对斑块和群体数量的二次缩放降低为线性缩放。
• 高效计算呈二次缩放特性的相互作用项。
• 数值基准测试表明，在全耦合网络上可实现高达 76×（RK-1）和 50×（RK-4）的加速。

引言

过去几十年中，人们提出了许多方法来捕捉移动性与传染性疾病传播的时空动态。在基于智能体（agent-based）的模型 [1]、[2] 中，每个个体被建模为一个携带大量潜在特征的智能体。对于大规模群体而言，随着智能体数量呈线性到二次复杂度增长，基于智能体模型的计算成本可能变得相当可观。在空间流行病学模型中，一种常见且数学上易于处理的替代方法基于常微分方程（ODE）系统，由于其概念清晰且便于解释，仍广受欢迎。在基于 ODE 的元群体模型中，总群体被视为分布在不同的斑块（patch）中；这些斑块可以是社区、街区、区域乃至整个州。随后，传染性疾病在各斑块内部的传播由一个隔室模型（compartmental model）控制，而移动性则连接各斑块。当干预措施在区域层面实施，或者在州、县、市政等行政单位之间出现异质的疫情动态时，评估并预测空间结构群体中传染性疾病的传播尤为相关。通过在多个相互连接的斑块上解析疾病动态，元群体模型能够显式表示空间异质性、区域间传播条件的差异以及人群移动模式。除传染病流行病学外，元群体模型还曾被应用于分析带有多斑块逻辑群体系统与迁移的行为 [3]、研究空间结构有害生物种群中的控制与消除策略 [4]，以及在捕食者-猎物元群体模型中推导最优收获策略 [5]。

对于传染性疾病动态，大量研究表明，忽视移动性或空间结构可能显著偏倚疫情规模估计和基本再生数，在高度互联的场景中尤其如此 [6]、[7]、[8]、[9]、[10]。当移动性作为传播的驱动因素或成为建模任务的核心部分时，选择与移动过程相匹配的恰当元群体设计至关重要。某些方法仅隐式地建模移动性，例如在感染强度中加入邻近斑块的感染亚群体，而不实际转移个体 [11]、[12]；而显式移动模型则在各斑块之间物理转移个体，从而改变局部群体状态。显式移动主要有两种方法：欧拉（Eulerian）和拉格朗日（Lagrangian）形式 [13]。

在欧拉元群体模型中，个体通过移动在各斑块之间转移，并立即成为目的斑块群体的一部分；其来源不再被追踪。移动性通常通过连续流来表示。如果一个单斑块模型包含 NC 个隔室，系统由 NP 个斑块组成，则 ODE 状态的总数按 O(NP·NC) 线性缩放。代表斑块对之间单位时间平均流动量的起讫点（origin–destination）移动通量数据通常足以参数化此类模型 [13]、[14]、[15]。虽然欧拉模型计算效率高，但一旦移动发生，它就不再区分居民与访客，导致人群出现人为的混合。

在拉格朗日元群体模型中，个体在旅行过程中保持与其来源斑块的关联 [16]、[17]、[18]、[19]。因此，这些模型不依赖于同一斑块内群体共享相同感染状态分布的假设，这允许对移动性的影响进行更连贯的描述，例如旅行和通勤。旅行亚群体通过为每个有序的起讫斑块对引入独立隔室来进行追踪。因此，如果斑块完全互联且每个局部模型包含 NC 个状态，则 ODE 状态总数按 O(NP2·NC) 二次缩放。因此，虽然拉格朗日元群体模型能够精确追踪个体在目的地条件下感染状态的变化，但也会大幅增加维度和计算成本。

欧拉和拉格朗日元群体模型可能预测出显著不同的疫情规模与基本再生数 [13]、[20]。由于拉格朗日形式显式追踪在目的地经历局部传播条件的旅行者，它们在概念上更具优势，并能提供更真实的描述。然而，为减轻计算负担，人们提出了其解的各种数值近似方法。特别是，在主 ODE 积分之外进行算子分裂 [21] 以及辅助计算步骤 [22] 被提出用于处理返程移动。这些方法产生的近似仅按 O(NP·NC) 缩放，并在某些情况下有效。然而，它们往往依赖于特定模型，可能依赖严格的步长条件，或很大程度上仍是启发式的。

在本工作中，我们提出一种高效方法，利用显式龙格-库塔结构在数值求解斑块聚合系统的过程中即时（on-the-fly）计算旅行群体状态。我们理论上证明所得结果与标准拉格朗日系统数值解完全相同。虽然本方法新近提出的旅行群体计算仍按 O(NP2) 缩放，但整体数值方法采用规模为 O(NP) 的缩减 ODE 系统，相比标准拉格朗日形式显著降低了工作量并因此缩短运行时间。

章节摘要

基于 ODE 的隔室模型

我们工作的基础是基于 ODE 的隔室模型。在最简单的情况下，单一群体被划分为 NC 个不同的隔室，其中 NC∈?。设 x?(t):?→?≥? 表示 t 时刻第 k 个隔室内的个体数，也称为隔室大小。那么 t 时刻的系统状态由向量 x(t)=(x?(t),…,xNC(t))?∈?≥?^NC 给出。隔室在感染状态（例如易感、暴露、感染、康复）以及人口学……（原文截断）

带连续移动的标准形式

我们考虑一个被划分为 NP 个斑块的空间域 Ω??2。t 时刻位于斑块 p 中的群体可能既包括斑块 p 的居民（即家所在地斑块为 p 的个体），也包括来自其他斑块的旅行者。遵循拉格朗日元群体形式，我们用 x^(p;q)(t)∈?≥?^NC 表示家所在地斑块为 p 且当前位于斑块 q 的个体的隔室大小。相应地，斑块 p 的居民群体状态由 x^(p)(t)=∑q……（原文截断）

阶次对齐的龙格-库塔方法

基于假设 3.1 和离散移动形式，我们现在引入一种数值方法，将龙格-库塔方法应用于斑块级聚合动态，即时计算旅行群体状态。该方法结合了解决斑块内聚合群体系统的优点（如 [22] 所引入，见第 3.3 节），同时数值计算 x^(p;q)(t)，完全避免了显式求解第 (15) 式标准拉格朗日形式。我们……（原文截断）

数值结果

为评估所提出的阶次对齐 RK 方法，我们研究了一个广泛使用的隔室模型。我们比较了标准拉格朗日 RK 方法、辅助欧拉方法 [22]、所提出的阶次对齐 RK 方法，以及一种混合变体（该变体中，与聚合系统的 RK 方案无关，旅行群体状态通过基于初始旅行占比的简单代数缩放获得）。此外，我们还评估了这些方法的计算时间随……（原文截断）

结论

在本工作中，我们提出了一种在元群体环境下计算旅行群体状态的数值高效方法。我们考虑了拉格朗日形式在任意用户自定义移动事件时刻进行瞬时移动交换的极限情况，以及最近提出的一种基于图的方法。通过求解斑块聚合系统的动态，与标准拉格朗日设置相比，全局 ODE 系统的维度被大幅缩减，即其仅……（原文截断）

CRediT 作者贡献声明

Henrik Zunker：写作—审阅与编辑，写作—初稿，可视化，验证，软件，方法学，调查，形式化分析，数据整理，概念化。René Schmieding：写作—审阅与编辑，验证，软件，概念化。Jan Hasenauer：写作—审阅与编辑，验证，监督，资源，项目管理，方法学，资金获取，形式化分析，概念化。Martin J. Kühn：写作—审阅与编辑，写作——……（原文截断）

利益冲突声明

作者声明不存在已知的、可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本工作由亥姆霍兹协会的倡议与网络基金支持（协议编号 KA1-Co-08，项目 LOKI-Pandemics）。本工作还由德国联邦教育和研究部以及德国联邦研究、技术与太空部在协议编号 031L0325A（项目 TwinChain）下支持，并得到德国研究基金会（DFG）支持（协议编号 528702961）。TwinChain 是建模网络……（原文截断）

Henrik Zunker | René Schmieding | Jan Hasenauer | Martin J. Kühn