《Array》：A comprehensive review on advancements in beluga whale optimization algorithm, applications and future directions
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元启发式算法在解决复杂且高维的非平凡优化问题挑战中，已获得科学家和学者们的极大关注。为提升其性能与效率，对新兴自然启发算法的研究为克服其固有弱点、推动其未来进步与发展提供了关键见解与相关知识。为此，本文对白鲸优化（BWO）算法进行了全面评估，探讨了其在不同优化
元启发式算法在解决复杂且高维的非平凡优化问题挑战中，已获得科学家和学者们的极大关注。为提升其性能与效率，对新兴自然启发算法的研究为克服其固有弱点、推动其未来进步与发展提供了关键见解与相关知识。为此，本文对白鲸优化（BWO）算法进行了全面评估，探讨了其在不同优化层面所面临的挑战。本综述讨论并评述了BWO的提出变体，如混沌、反向学习（OBL）、自适应、多策略、混合、二进制及其他变体，并分析了它们的缺点与优势。基于文献调查发现，BWO被研究人员广泛应用于工程领域（29%）、计算机科学（20%）、数学（13%）等。在BWO的不同方法中，研究大多采用改进版本（33%）、基础版本（25%）、混合版本（16%）以及与机器学习/深度学习的集成（14%）来解决各领域的优化问题。最后，对三十个CEC 2017基准套件进行的统计评估显示，与七种最新的元启发式算法相比，BWO在大多数景观中表现出更优性能。本综述的读者将发现BWO算法的显著局限性、改进之处、不同应用以及未来研究方向的空白。本综述还为开发和应用更有效的基于BWO的优化方法提供了实践见解。
1. 引言
近年来，由于非平凡、复杂和高维问题的指数级增长，对自然启发优化算法的需求显著增加。以往，研究人员利用数学方法来解决确定性挑战和局部优化问题中的陷阱问题。然而，随着涉及复杂性、多变量、非线性和非凸性的优化问题的进展，传统优化算法存在过早收敛的问题，且难以接近最优解。由于这些算法的固有问题，它们容易陷入次优解，在应对现实世界场景的挑战时效率低下，这催生了过去二十年中先进元启发式算法的兴起。元启发式算法因其对解空间的操作能力和对不同优化领域的高效求解能力，已在人工智能社区被广泛接受，特别是特征选择、工程设计问题、机器学习超参数优化、制造、簇头选择等。它们通常遵循一套由特定算子控制的程序，用于探索解空间，然后迭代开发该区域以改进特定解。因此，元启发式算法在解决特定优化问题时，由于其具有多个局部和全局景观的复杂解空间，通常能实现最佳近似解。
元启发式算法具有卓越的搜索机制优势，兼具探索和开发行为。探索倾向于寻找具有全局最优解的区域，而开发则避免搜索新区域，而是细化已找到的区域，因此两种行为之间的权衡对于达到全局最优至关重要。探索在前半阶段占主导地位，通过跳过多个局部最优点在整个解空间中进行详尽搜索，而开发在迭代后期占主导地位，旨在增强前一阶段已获得的解。尽管元启发式算法能够解决不同类别的优化问题，但根据NFL定理，它不能解决所有类别的问题。这是引入几种新的和混合元启发式算法来解决多模态、离散、连续、约束等类型的非平凡问题的主要动机。
进化算法的特点是在细胞水平上进行生物发展，通过应用交叉、突变、选择等复杂机制来生成更好的可能解。在进化算法（EAs）中，最常见的例子是遗传算法（GA）、进化规划（EP）、遗传规划（GP）和差分进化（DE）。基于物理的算法模仿自然物理定律及其数学解释。基于化学的元启发式算法模拟化学反应和分子相互作用的影响。类似地，基于社会和体育的算法通过模仿人类社交行为和团队策略进行数学建模，以探索搜索空间并找到最佳可能解。基于数学的算法模拟数学函数和算子以达到全局最优。最后一种元启发式算法类别，即群智能算法，引起了学者和研究人员的最大兴趣。
Zhong等人于2022年提出了白鲸优化（BWO）算法，其灵感来源于白鲸的游泳行为、觅食机制和鲸落策略。BWO算法因其结构易懂、易于实现、优异的局部-全局阶段平衡且无需导数等独特特性，获得了学者和优化科学家的极大关注。BWO算法的多功能性和鲁棒性已引起了学者们对解决非平凡和非凸优化问题（如特征选择、能源管理、医疗保健问题、潮流控制等）的浓厚兴趣。因此，学者们利用新的算子、搜索机制和与其他元启发式算法的全新混合，提出了许多创新的BWO算法变体，通过整合强大组件来提升其收敛性能，并有效解决离散、单目标、多目标和约束问题。
当前综述的主要动机是对BWO算法的所有方面进行全面调查，以及它如何吸引全球科学家将这一智能算法应用于跨学科领域的不同问题。尽管已有关于BWO算法的综述论文（Lee等人，2025），但当前对BWO算法的综述可视为对BWO算法调查的扩展。本文的主要贡献包括：基于文章数量、引用次数、作者隶属关系、出版商、期刊、国家等对BWO算法的扩展进行分析讨论；对BWO算法的数学结构进行呈现、讨论和分析；对BWO算法的改进、先进和混合版本进行深入讨论，以增强其收敛性能；与其他最新元启发式算法相比，对BWO收敛性、探索-开发平衡性、多样性进行深入的统计评估；讨论BWO算法的各种应用领域、挑战、优缺点；最后，提出结论性意见和重要的未来研究方向。
2. BWO算法文章筛选的研究方法
本研究对BWO算法进行了全面回顾，该算法被不同领域的研究人员用于解决其优化问题中的挑战。本研究的发现基于从Google Scholar、ScienceDirect、Scopus和SpringerLink等数据库获取的学术文章。BWO文章的搜索时间跨度包括2022年6月至2025年6月20日，基于精确的关键词选择。在不同数据库中的关键检索共产生了437篇关于BWO算法的研究文章。经过初步筛选去除冗余文章后，剩余295篇与BWO相关的文章。进一步筛选后留下226篇相关论文。最终，基于仅限英语学术写作、仅选择期刊和会议文章、忽略书籍章节或论文中的文章以及非学术期刊文章等标准，最终留下198篇文章进行最终审查。图3展示了BWO论文筛选和选择的方法。
3. 白鲸优化（BWO）算法的扩展
本节评估了BWO从2022年6月到2025年6月在各个方面的扩展和进步。自2022年引入以来，BWO算法在医疗、工程、能源管理和特征选择领域获得了广泛关注。BWO原始文章的引用次数已达到682次，其中593篇为期刊文章，80篇为会议论文，3篇为书籍章节。在引入的第一年，BWO原始文章仅有10次引用，2023年逐渐增加到132次，2024年达到峰值323次。当前年份已获得211次引用，保持了其在研究人员中的广泛适用性。2024年，BWO文章数量达到103篇的峰值，显示出学者和科学家对其在解决现实优化问题中的一致性和准确性的兴趣日益浓厚。到2025年6月中旬，已发表约65篇BWO文章。表2列出了基于引用次数排序的最具影响力的BWO应用文章。此外，使用InORD指标识别了BWO相关且最具影响力的文章。
图6显示，BWO算法研究主要发表在工程领域，占文章的29%，其次是计算机科学领域，占发表论文的20%。数学领域和能源领域分别位列第三和第四，分别占13%和8%的BWO文章。
4. 白鲸优化算法概述
白鲸优化（BWO）是一种最近开发的群智能元启发式算法，模拟了海洋中白鲸的行为。BWO算法的灵感来源于白鲸的三种机制——游泳行为、觅食机制和鲸落策略，并可通过数学模型表达。
4.1 BWO算法的初始化
白鲸的位置被视为搜索代理，以矩阵形式分组排列形成种群矩阵。其适应度函数存储在矩阵中。BWO通过平衡因子实现探索和开发行为的有效切换和平衡。当时，BWO算法控制搜索代理的探索行为；而时产生白鲸的开发行为。在初始迭代阶段探索行为活跃，后期进入开发阶段，从而实现两阶段的有效平衡。
4.2 BWO的探索阶段
白鲸通过结对镜像游泳的方式展现社会-性机制，以探索海洋不同区域。通过数学模拟这种游泳行为来更新搜索代理的位置。基于选择的维度（偶数或奇数），白鲸的位置得以更新，表示其结对游泳行为。
4.3 BWO的开发阶段
BWO的开发阶段基于白鲸的觅食行为，使其接近最佳定位的白鲸。猎物信息和最佳解位置在白鲸间有效共享。BWO开发阶段引入了莱维飞行（Levy flight）概念，通过密集的局部搜索和罕见的长时间跳跃来逃离局部最优区域，以改善向最优解的收敛行为。
4.4 BWO的鲸落阶段
在迁移和逃避攻击过程中，有时白鲸会死亡并坠入深海，这一过程称为鲸落，为海洋生物提供食物。基于鲸落现象对整体种群影响较小的假设，白鲸的位置和鲸落步长通过数学模型模拟以更新位置。上述关系表明，随着迭代次数的增加，鲸落概率降低，因为它更接近最佳食物源。图7和图8分别展示了BWO算法的不同阶段和流程图。
4.5 BWO算法的优缺点调查
开发BWO算法的研究人员声称，它是一种强大、有竞争力的元启发式算法，旨在解决多模态和复杂的现实连续优化问题。尽管BWO具有易于理解的程序、单一参数调整、收敛速度快等主要优点，但几位作者指出BWO在高维现实场景中探索能力有限，计算成本较高，且解决方案精度不足。此外，BWO算法探索行为不足导致局部最优停滞。平衡行为图表明，在大多数函数中，早期迭代次数中开发显著增加而探索减少，表明可能过早收敛或局部最优停滞。同样，种群多样性在大多数基准函数中急剧下降，限制了白鲸在解空间探索过程中探索未知区域的能力。这种行为阐明了原始BWO搜索效率的弱点，这证明了文献中研究人员开发众多改进和混合BWO版本的合理性。
5. BWO算法的不同变体
基于上述分析和讨论，本节介绍了文献中提出的BWO算法不同变体，以增强收敛性能和解决方案质量。图10显示了BWO算法的分类学。BWO的不同方法包括通过添加混沌、反向学习、自适应等新机制的各种改进。此外，还讨论了通过将BWO与其他有竞争力的元启发式算法优势相结合的混合版本。最后，还提出了二进制变体和多目标版本，以分别应对离散问题和冲突目标的挑战。
5.1 BWO算法的改进变体
本节讨论了涉及白鲸优化算法改进变体的研究。改进变体包括使用混沌机制、反向学习、突变、基于量子的策略来提高原始BWO算法的收敛性能。
5.1.1 混沌BWO算法
通常，混沌映射的使用增强了元启发式优化算法中的确定性和随机化搜索行为。为此，提出了一种混沌BWO（CBWO），旨在增强原始BWO的多样性并提高求解不同现实工程设计问题的收敛速度。改进的IBWO变体集成了逻辑斯蒂、帐篷、切比雪夫、分段线性、猫等混沌映射以及额外的搜索算子。这些修改已应用于图像分割、能源系统、电力系统规划、结构可靠性、建筑能耗优化和机器学习参数优化等领域。第二个关键研究方向涉及将混沌机制与自适应参数和突变或扰动策略相结合，以改善探索和开发之间的过渡。
5.1.2 基于OBL的BWO算法
反向学习（OBL）策略由Tizhoosh提出，通过在优化问题中同时考虑初始解及其相反候选解来增强搜索行为。研究表明，基于OBL的修正大致分为直接OBL集成、准反向学习（QOBL）和混合OBL策略。将OBL直接集成到BWO中通常侧重于提高种群质量和加速全局搜索。准反向学习（QOBL）可以生成围绕有希望区域更集中搜索的准相反解。进一步的研究倾向于采用多策略结合的OBL-BWO变体，其中OBL主要用于增强探索，而其他算子处理局部搜索、过早收敛或解细化。
5.1.3 多策略BWO算法
一大类多策略变体侧重于通过突变、混沌映射、反向学习和种群学习机制来提高种群多样性和探索能力。这些多策略通常比单策略变体表现出更好的收敛精度、鲁棒性和解决方案质量，因为互补机制有助于克服个别技术的局限性。一个常见的趋势是越来越多地采用多策略框架来实现更好的全局搜索而非局部细化。然而，多策略BWO方法通常会增加算法复杂性和计算成本。
5.1.4 自适应搜索控制
许多关于BWO的文章通过动态改变控制或搜索参数，加入了自适应控制策略以增强搜索多样性并避免过早收敛。在BWO程序中加入了种群众控制机制，引入Sobol序列以增强搜索行为。量子力学的概念被加入以开发QBWO，用于优化总净现值成本并增强混合储能系统可靠性。自适应搜索控制方法在优化过程中动态调整算法参数或搜索策略，以保持探索与开发之间的平衡。然而，这些方法通常会增加算法复杂性，并可能依赖于精心设计的自适应机制。
5.1.5 机器学习与BWO算法
BWO变体的另一个重要方面涉及将BWO与机器学习（ML）模型集成，以提高预测、分类和决策性能。几种此类混合框架处理优化极限学习机（ELM）模型的超参数、权重、偏差以提高预测能力。BWO算法高效探索ELM内部参数搜索空间的优势使模型高度一致和可靠。
5.1.6 深度学习与BWO算法
诸如门控循环单元（GRUs）、长短期记忆网络（LSTM）、卷积神经网络（CNNs）等深度学习方法已通过BWO算法的应用得到升级，用于在不同领域（如特征选择、时频分析、自然语言处理、欺诈检测和质量控制）中优化调整其超参数，如学习率、激活函数、隐藏层数、批大小、优化器类型等。
5.1.7 混合BWO算法
在过去文献中，BWO算法的优化能力通过与其他有竞争力的元启发式算法以并行或串行模式结合，或通过更改某些阶段而得到增强。尽管与其他元启发式算法的混合保持了探索和开发阶段的适当平衡，但也增加了计算成本和执行时间。研究者们提出了与传统BWO混合的各种算法。
5.1.8 二进制BWO
在现实世界中，离散优化问题的解决方案具有重要意义，尤其是当大多数元启发式算法仅被开发用于解决组合问题时。离散搜索空间中的解决方案具有挑战性，即使目标空间的微小修改也需要解决方案空间的重大改变。有学者通过改变编码方案和改进其程序引入了BWO的二进制版本，同时保持了BWO的核心理念。
5.1.9 多目标BWO
多目标版本的BWO通常用于同时解决两个或多个目标，这些目标可能性质相同或相互冲突。研究人员开发了多目标BWO版本，以在云计算、采矿业、废物分类、特征选择等领域实现目标间的完美权衡。开发多目标BWO（MOBWO）算法的主要动机是通过建立一组Pareto最优前沿来实现冲突目标间的平衡。
5.1.10 经典BWO应用
BWO算法在解决复杂和多维现实世界应用的挑战方面表现出强大的性能和广泛的适用性。BWO最常见的应用领域包括有约束或无约束的工程优化问题、电力管理和预测、环境科学、医学诊断以及关键性能参数的预测，从而提高了单个或混合系统的性能。工程优化问题包括桁架问题、压力容器设计、磁流变阻尼器优化、张量虚拟机调优等。
6. BWO算法在CEC 2017基准套件上的性能
使用三十个CEC 2017基准套件评估了BWO算法的性能。这些基准套件分为基于单峰、多峰、固定维度和复合函数的优化问题。通过将平均适应度和标准差值与其他公认的元启发式算法进行比较来评估BWO算法的性能。所有算法运行1000次迭代，种群大小固定为30。结果显示，BWO在17个函数中排名第一，表明其在实现更好的解决方案质量和标准偏差方面优于其他竞争算法。BWO稳健的性能表明其在探索和开发行为之间实现了充分及时的平衡。此外，Friedman检验和Wilcoxon符号秩检验被用于确定BWO结果与其他比较算法之间的显著差异。BWO算法的平均排名为3.10，优于其竞争算法。此外，还将BWO算法与上述算法在复杂性、控制参数数量、优缺点等方面进行了比较。
7. 结论与未来研究方向
BWO算法是一种被广泛接受的自然启发优化算法，基于白鲸在其自然栖息地（即深海）中的觅食行为和社会适应性。自2022年问世以来，BWO在工程、计算机科学、机器学习、能源管理、材料科学、医疗保健等领域解决复杂问题方面展现了强大的求解能力。本文对BWO算法多年来的发展进行了全面回顾。本综述将BWO的不同方法分为经典BWO（25%）、改进BWO（33%）、机器学习和深度学习集成BWO（14%）、混合BWO（16%）、多目标BWO（11%）和二进制BWO（1%）。此外，在三十个CEC 2017基准套件上对BWO的收敛性能进行了评估。结果显示，在本研究考虑的基准函数、问题维度和实验设置下，BWO在平均适应度值和标准差方面优于其他七种最新的元启发式算法。BWO算法的主要优点是其程序简单、跨不同领域的灵活性、控制参数少、效率高以及在复杂场景中解决方案质量高。尽管BWO受到了学者的广泛关注，但仍存在一些限制和未来研究方向，包括：计算复杂性分析有限；二进制BWO版本的开发；种群多样性不足的问题；开发机制较弱，依赖于线性变化的跳跃强度；缺乏严格的理论收敛保证；鲸落阶段的平衡因子变化过慢；使用机器学习方法引导BWO搜索的可能性；以及通过降维方案或问题分解策略解决高维优化问题的弱点。
