用于车辆动力学建模的自适应深度Koopman算子：一种物理引导与轮胎力驱动的方法

《Expert Systems with Applications》：Adaptive deep Koopman operator for vehicle dynamics modeling: A physics-informed and tire-force-driven approach

　　

提出了一种具有物理约束的轮胎力驱动深度Koopman框架。
平面力平衡残差增强了非线性区域的连贯性。
PI-VSS-NLMS算法解决了在线自适应中的秩亏问题。
通过dSPACE实验验证了实时可行性（0.421 ms）。

引言

精确的状态预测对自动驾驶车辆稳定性至关重要，特别是在接近操控极限时存在的强非线性和时变参数问题。这需要一种能够平衡全局非线性精度与实时适应性的建模框架。

现有的建模方法通常分为两类。基于物理的模型（例如七自由度(7DOF)、14自由度、17自由度）具有可解释性，但对参数不确定性和未建模动态敏感。此外，通过校准或自适应来维持其准确性会带来高昂的计算成本，且容易受到固有不确定性的影响。相比之下，数据驱动模型无需显式的参数辨识和结构建模。例如，在自动驾驶控制领域，Spielberg等人证明神经网络车辆模型可以超越基于物理的模型，无需摩擦估计即可实现专家级轨迹跟踪。同时，对于需要高保真动力学建模的应用，Pan等人提出了在多刚体模拟数据上训练的深度学习网络，用于准确的纵向动力学预测，而Hermansdorfer等人开发了一种结合神经网络与运动学的端到端架构来捕捉非线性特性。尽管精度高，但由于缺乏物理约束，这类模型本质上缺乏可解释性，其性能严格受限于训练数据，在未见场景中泛化能力差。

Koopman算子理论为弥合数据驱动精度与控制导向线性化之间的鸿沟提供了一条途径，通过将有限维非线性动力学提升到无限维函数空间，使其演化在全局上变为线性。对于实际工程应用，动态模态分解(DMD)和扩展DMD被开发出来，将无限维动力学投影到由一组可观测函数张成的有限子空间上。然而，由于依赖手动设计的基函数，这些方法在高度耦合的非线性车辆动力学中往往表现次优。

为克服手工特征工程的局限性，深度Koopman架构应运而生，利用深度学习网络自动学习最优的有限维提升函数。通过将坐标嵌入和演化算子的学习统一为端到端框架，这些方法构建了对耦合车辆动力学的全局线性表示，从而促进高效的模型预测控制(MPC)实现。这一范式已成功应用于多个平台，从自动驾驶赛车到重型履带式车辆，在计算效率和轨迹跟踪保真度方面均取得显著提升。此外，为严格保证运行安全，Chen等人将深度Koopman算子与控制障碍函数结合，通过安全命令控制器确保车辆横向稳定性。为解决纯数据驱动模型缺乏内在物理因果性的问题，物理信息神经网络(PINNs)的概念被引入以正则化学习过程，其中Zhang等人通过惩罚预测加速度与测量加速度之间的差异来嵌入基于加速度的物理损失。此外，为考虑车辆质量或道路摩擦系数等时变参数，通常采用在线自适应机制，通常利用自适应滤波器如递推最小二乘法(RLS)、遗忘因子递推最小二乘法(FFRLS)或滑动窗口最小二乘法(SWLS)来实时更新Koopman矩阵。

尽管取得了这些进展，但两个根本性瓶颈阻碍了深度Koopman模型在自动驾驶中的鲁棒部署：首先，物理约束与动态因果性之间不匹配，即依赖运动学效应而非因果性的轮胎-路面相互作用力，掩盖了生成机制并在力饱和时降低保真度；其次，高维提升与传统在线自适应之间理论不兼容，其中诸如RLS等方法面临秩亏问题，因为提升状态维度远超固有动力学维度，从而因矩阵秩崩溃而无法平衡跟踪速度和数值稳定性。

为弥补这些差距，本文提出了一种专为鲁棒在线自适应设计的轮胎力驱动深度Koopman框架。摒弃运动学近似，其核心前提是在Koopman提升过程中建立力水平的因果性，从而确保学习到的隐空间的物理可解释性和结构保真度。该框架还适用于未来实车数据集的构建，其中离线训练所需的轮胎力监督信号可从轮力传感器或已建立的轮胎力观测器获得。这些信号在在线预测或自适应过程中无需提供。与Zhang等人的工作相比，本文使用基于轮胎力的平面平衡残差替代基于加速度的残差，并使用物理信息变步长归一化最小均方(PI-VSS-NLMS)算法替代滑动窗口最小二乘法进行在线自适应。本文的主要贡献总结如下：

(1) 我们提出了一种轮胎力驱动的深度Koopman模型，将源自7DOF车辆模型的纵向-横向平面力平衡残差嵌入到离线学习目标中。这种物理信息公式化为学习到的动力学引入了力水平的物理一致性，并提高了与未使用动力学损失训练的对照模型相比的预测精度。

(2) 我们开发了PI-VSS-NLMS算法来解决提升状态空间中由秩亏激励引起的在线不稳定性。通过将更新重新表述为最小扰动归一化投影，所提出的方法避免了显式的协方差矩阵求逆，通过离线先验锚定正则化抑制参数漂移，并对自适应算子偏差给出了显式界。

本文其余部分组织如下：第2节建立理论基础。第3节详细介绍离线物理信息深度Koopman模型和在线PI-VSS-NLMS自适应算法。第4节呈现实验验证和讨论。第5节总结全文。

车辆动力学模型

为确保物理一致性，数据驱动框架由7DOF车辆模型锚定。如图1所示，底盘被建模为具有平面运动的刚体，由纵向速度、横向速度和横摆率定义，而其余4DOF用于单独车轮旋转。底盘的牛顿-欧拉方程如下：

$$\dot{v}_x = \frac{1}{m}[(F_{xfl} + F_{xfr})\cos\delta_f - (F_{yfl} + F_{yfr})\sin\delta_f + F_{xrl} + F_{xrr}] + v_y \gamma$$

$$\dot{v}_y = \frac{1}{m}[(F_{xfl} + F_{xfr})\sin\delta_f + (F_{yfl} + F_{yfr})\cos\delta_f + F_{yrl} + F_{yrr}] - v_x \gamma$$

$$\dot{\gamma} = \frac{t_f}{2I_z}[(F_{xfr} - F_{xfl})...$$

离线建模：物理信息深度Koopman

本节详细说明了所提出的轮胎力驱动离线建模框架。如图2所示，该框架通过显式最小化力平衡残差实现了轮胎力驱动的建模理念。核心思想是将纵向-横向平面力平衡残差作为物理归纳偏置嵌入到深度学习优化过程中，从而提高学习到的动力学的物理一致性。

验证与讨论

本节在四个阶段评估所提出的框架：(1) 与基于物理和数据驱动的基线进行离线基准测试以验证建模保真度；(2) 在各种条件下进行在线验证以展示PI-VSS-NLMS算法的适应性和鲁棒性；(3) 消融和敏感性分析以阐明每个组件的贡献；(4) 基于dSPACE的实时实现验证以确认预测精度和实际可行性。

结论

本工作开发并验证了一种物理信息自适应深度Koopman框架，以解决极端条件下车辆动力学建模中模型保真度与数值稳定性之间的冲突。与纯基于运动学的学习方法相比，所提出的轮胎力驱动架构嵌入了源自7DOF车辆模型的纵向-横向平面力平衡残差，确保学习到的可观测量具有物理可解释性而非纯数学构造。

CRediT作者贡献声明

Wenjie Wang：概念化、方法论、软件、验证、正式分析、初稿撰写、审校与编辑。Hao Chen：概念化、审校与编辑。Ran Shu：调查研究、审校与编辑。Solyeon Kwon：数据整理、验证。Kyoungseok Han：资源、审校与编辑。Hongyu Shu：资金获取、项目管理、监督。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所述工作。

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