一种应变梯度弹塑性模型：理论表述、混合有限元实现与应用

《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》：A strain-gradient elastoplastic model: formulation, mixed finite element implementation and applications

　　

摘要
在小应变运动学框架内开发了一种简化的应变梯度弹塑性模型，用于描述微米和亚微米尺度的尺寸依赖力学行为。该公式通过结合弹性和塑性应变梯度以及一个内在材料长度尺度参数，扩展了经典 J2 塑性。在弹性变形下，常规和高阶应力是从包含弹性应变梯度二次项贡献的应变能密度推导出来的。塑性流动由以塑性应变率及其梯度表述的耗散势控制，导致高阶（双）应力的出现，同时确保机械耗散非负。所得本构方程以统一的非增量形式表达，使得主动单调加载、部分或完全卸载以及随后的再加载可以在不改变控制方程的情况下进行描述。为了高效的数值实现，最初为应变梯度弹性开发的混合有限元公式——其中位移、应变、应力及其梯度被视为独立变量——被扩展到应变梯度弹塑性。此扩展将连续性要求降低至 C? 有限元，并避免高阶插值。多层迭代过程求解所得离散非线性问题。该方法的预测能力通过分析受单轴拉伸的缺口板得到验证。数值结果显示了显著的尺寸效应，包括缺口张开量减小、缺口尖端附近应力水平升高，以及对内在材料长度尺度和缺口几何形状的强烈依赖。所提出的框架捕捉了应变梯度塑性的特征边界层现象，表明所开发的混合有限元公式在采用的小应变框架内提供了一种有效的计算工具。

引言
经典塑性理论假设材料的力学响应仅由局部量控制，如材料点处的应变，且塑性流动与材料结构尺寸无关。然而，大量实验研究，包括压痕、扭转和微压缩试验，在微米和亚微米尺度上表明，较小试样表现出显著更高的屈服强度和应变硬化率，高于其块体对应物 (Fleck et al., 1994; Nix & Gao, 1998; Shu & Fleck 1998; St?lken & Evans, 1998)。应变梯度塑性 (SGP) 理论通过用塑性应变梯度丰富公式，从而引入内部长度尺度参数进入本构描述，克服了这一局限性。这些额外的梯度项解释了几何必需位错的密度，由不均匀塑性变形产生，实现尺寸依赖强化的连续介质水平表示、边界层现象和结构硬化机制 (Gao et al., 1999; Huang et al., 2000)。多晶铜中的尺寸依赖弹塑性响应也通过显式考虑应变梯度效应进行了研究 (Choi et al., 2023)。因此，SGP 提供了具有物理动机的扩展经典塑性，桥接宏观连续介质公式与塑性变形的底层微观机制。

应变梯度塑性理论的发展源于 Toupin (1962) 和 Mindlin (1964) 关于偶应力和梯度弹性材料的开创性工作。这些公式向塑性的扩展最初是为了引入以克服经典塑性的尺寸无关性，它无法描述微米尺度上实验观察到的强化和硬化 (Fleck et al., 1994; Nix & Gao, 1998; St?lken & Evans, 1998)。通过通过应变或塑性应变的梯度引入材料内部长度尺度，SGP 模型扩展了传统连续介质力学以包含尺寸效应和几何必需位错 (GNDs) 的影响。

在最早的现象学梯度公式中，有 Aifantis (1984, 1987, 1992) 提出的那些，其中塑性应变的梯度项被包含在屈服函数中。随后的发展引入了塑性自旋梯度 (Fleck & Hutchinson, 1993)，位移的二阶梯度 (Fleck & Hutchinson, 1997)，以及塑性应变梯度本身的替代形式 (Fleck & Hutchinson, 2001)。Fleck-Hutchinson 框架在建立高阶塑性坚实的变分基础方面具有特别的影响力。

热力学一致性是通过 Gudmundson (2004) 和 Gurtin & Anand (2005) 的贡献实现的，他们为无旋和旋转塑性流动制定了梯度增强理论。在这些理论中，高阶微应力被分解为能量部分，与可恢复能量储存相关，和耗散部分，与由于塑性流动引起的不可逆耗散相关 (Anand et al., 2005; Hua et al., 2021; Bardella, 2021; Mukherjee & Banerjee, 2023)。随后的改进解决了一致性和普遍性问题 (Gurtin & Anand, 2009; Fleck & Willis, 2009; Hutchinson, 2012)，并通过结合 GND 密度建立了现象学 SGP 和位错力学之间的联系 (Gao et al., 1999; Huang et al., 2000; Menzel & Steinmann, 2000)。屈服应力和应变硬化的解析预测也在由小弹性颗粒增强的梯度材料中有报道 (Croné et al., 2022)。

与此同时，越来越多的关注被投入到界面、边界和梯度增强公式中的额外能量贡献的作用。例如，Voyiadjis & Deliktas (2009) 提出了一个结合界面能量的热力学一致理论，从而扩展应变梯度塑性以考虑界面效应。Polizzotto (2014) 强调了高阶边界条件的重要性，和第二应变梯度塑性中的表面效应，表明它们对小尺度下整体力学响应的显著影响。这些贡献突显了日益增长的认识，即边界和界面现象在尺寸依赖塑性中起着关键作用。

高阶运动硬化的先进模型，在应变梯度晶体塑性中，基于离散位错动力学，通过显式地将背应力演化和非局部应变效应与位错尺度机制联系起来，扩展经典连续介质塑性 (Amouzou-Adoun et al., 2024)。在此背景下，Po 等人 (2018) 提出了一种各向异性晶体的非奇异位错理论，从而消除了经典的数学奇异性，并提供更基于物理的描述关于应变梯度如何从底层位错场产生。在微观结构水平上，梯度增强晶体塑性已被采用来描述纳米孪晶金属中的强化机制，包括位错特征的作用和由此产生的应变梯度贡献 (Guo et al., 2024)。更一般地，发现梯度公式可以正则化和重新分布变形局部化在受单轴拉伸的梯度结构高熵合金中 (Fu et al., 2023)。最后，梯度扩展的热力学框架用于聚合物材料中速率相关的损伤和失效，证明了梯度方法在有限应变中的更广泛适用性 (Lamm et al., 2024)。

广义连续介质方法进一步扩展了梯度塑性的建模能力。特别地，Forest 及合著者 (Ry? et al., 2020) 提出了一个具有梯度增强硬化的微形晶体塑性模型，实现微观结构演化和尺寸效应的精细化描述。这些发展说明了日益增长的趋势向结合额外内部自由度以捕捉复杂的材料行为。

从计算角度来看，包含应变梯度项导致高阶控制方程，这需要 C1 连续有限元插值或混合变分公式。先前开发的现象学模型的实现已被广泛检查 (de Borst & Mühlhaus, 1992; Shu et al., 1999)，并且热力学一致理论的数值处理已被报道在一维和二维框架中 (Anand et al., 2005; Fredriksson et al., 2009)。这些研究阐明了关键方面，如边界层分辨率以及高阶边界条件的执行。

SGP 模型已成功应用于广泛的问题考虑尺寸效应 (Nix & Gao, 1998; Gao, et al., 1999)，微梁的弯曲和扭转 (Fleck et al., 1994)，剪切带正则化 (Engelen et al., 2003)，断裂和裂纹尖端场 (Xia & Hutchinson, 1996; Martínez-Pa?eda & Niordson, 2016)，和计算均匀化 (Fritzen et al., 2012)。最近，应变梯度效应已与耦合物理过程联系起来如多晶材料中的氢传输，其中塑性应变梯度起着关键作用 (Yuan et al., 2022)。Voyiadjis & Song (2019) 提供了理论、数值和实验进展的综合概述。Khakalo & Laukkanen (2022) 结合了 Mindlin 型弹性与热力学一致的 Gurtin-Anand 框架，在各种基准问题中证明了稳健的尺寸依赖预测。

在这项工作中，我们推进了这个框架，通过开发一个简化的应变梯度弹塑性模型，在小应变运动学框架内捕捉关键的尺寸效应，同时在材料长度尺度消失的极限下保持与经典 J2 塑性兼容。因此，该公式旨在用于小应变近似提供适当描述的问题关于变形场。在尖锐缺口的紧邻区域，塑性变形可能导致裂纹尖端钝化伴随局部增加的应变和应变梯度。因此，本研究应被视为初步步骤在用于小应变框架内分析此类问题的方向上，而向有限变形运动学的扩展留待未来工作。

与大多数现象学应变梯度塑性公式不同，它们仅基于塑性应变梯度，所提出的模型一致地结合了弹性和塑性应变梯度在一个统一的本构框架内。该公式扩展了简化的 Toupin-Mindlin 应变梯度弹性模型 (Aifantis, 1992)，其中唯一的非经典材料参数是控制尺寸效应的内在长度尺度。为此，所提出的方法扩展了经典 J2 塑性，通过引入与弹性和塑性变形相关的高阶梯度项，同时保留单一内在材料长度尺度参数。

在弹性变形下，应变能密度包含二次贡献来自弹性应变梯度，导致与这些梯度共轭的双应力出现。所得本构关系自动满足耗散不等式并确保完全一致性。所提出公式的另一个新颖方面是开发统一的非增量本构表示用于总应力、应变、应变梯度和双应力，使用有效割线剪切模量。该公式提供了单一数学框架用于主动单调加载、部分或完全卸载以及随后的再加载而不改变控制方程。

在极限情况 ??→0 下，模型简化为经典 J? 塑性。结合本工作中提出的混合有限元实现，所提出的公式提供了一个高效的计算框架基于标准 C0 连续有限元用于求解应变梯度弹塑性边值问题。因此，这项工作建立了一致的理论和计算基础用于尺寸依赖塑性行为的数值分析。

本文其余部分组织如下。第 2 节介绍基本运动关系，能量函数和耗散不等式一致性简化梯度模型的。第 3 节推导本构方程并讨论它们与经典塑性的关系。在第 4 节中，提出了混合有限元公式用于所提出应变梯度弹塑性模型的边界值问题的数值实现。第 5 节报告数值结果针对一个包含窄 U 形缺口的方形板单轴拉伸模型问题，在应变梯度弹性的背景下分析。最后，第 6 节提供结论性评论。

章节片段
运动分解
遵循小应变框架，我们假设应变张量 ?????? 可以分解为弹性 ???????? 和塑性 ???????? 分量，同时忽略塑性体积变形 (e.g, Gudmundson 2004; Gurtin & Anand 2005)。
总应变张量可以写为加法分解体积张量和偏张量：
??????=????????+????????,
其中
????????=13??????????????,
????????=???????13??????????????.
此处 ??????=??????(??),1≤??,??,??≤3 是对称小应变张量的分量在直角坐标中

本构方程
使用关系式 (1), (2), (4) 和 (24)，包含应变梯度效应的弹塑性模型的本构方程可以写为
???????(??)=??0??????????(??)+2??????(??)?(?????????(??)?????,???????(??′))
?????????(??)=??2?(??0?????(????),???(??)+2??????(??)?(????(????),???(??)?????,??(????),???(??′))).
活性应变偏量???????? 的分量及其梯度????(????),?? 在加载阶段结束时由...给出
?????????(??)=?????????(??)?????,???????(??′),
????(????),???(??)=????(????),???(??)?????,??(????),???(??′).
将这些定义代入方程 (24) 得到
?????????(??

经典变分公式
应变梯度塑性问题的标准变分形式在小应变区域内，具有以下 Cauchy 关系
???????(??)=12?(????,???(??)+????,???(??)),
如下
∫Ω(???????(??)????????(???????)+?????????(??)???????,???(???????))dΩ=∫Ω?????(??)????????dΩ+∫Γ1?????(??)????????d??,
这代表了一个四阶边界值问题
?{ {?{ {???????,???(??)=?????(??)??????Ω
???????(??)???????????(?????????(??)?????)+(?????????)??????????(??)??????????=?????(??)??????Γ1
?????????(??)??????????=0?????Γ1,
其中总应力张量 ???????(??) 定义为
???????(??)=???????(??)?????????,???(??).
此处，Ω 表示具有边界Γ=Γ0??Γ1 的体域

数值结果
此处呈现的数值结果对应于问题包含中心窄 U 形缺口的方形板的单轴拉伸，具有不同缺口尖端曲率半径 (图 1)。分析是使用方程 (25) 和 (50) 进行的在二维平面应变公式中。
模型的几何参数如下：板边长为 0.4 米，缺口深度 a = 0.04 米，缺口尖端曲率半径 ??=1 μm, 10 μm, 100 μm。300 MPa 的均匀拉伸应力

结论性评论
在这项工作中，开发了一种简化的应变梯度弹塑性模型在小应变框架内。该公式扩展了经典 J? 塑性通过结合弹性和塑性应变梯度并引入能量和耗散内在材料长度尺度参数。
该模型源自弹性响应的应变能密度，包括弹性应变梯度的二次贡献，同时塑性流动规则来源于

未引用参考文献
Acharya 和 Shawki, 1996, Huang 等人，2007
CRediT 作者贡献声明
Lidiia Nazarenko: 撰写 – 初稿，验证，形式分析，概念化。Aleksandr Yu. Chirkov: 验证，软件，形式分析，概念化。Holm Altenbach: 项目管理。
Lidiia Nazarenko|Aleksandr Yu. Chirkov|Holm Altenbach