混合傅里叶神经算子-格子玻尔兹曼方法

《Computers & Fluids》：Hybrid Fourier Neural Operator-Lattice Boltzmann Method

　　

摘要 我们提出了一种基于混合傅里叶神经算子–格点玻尔兹曼方法（FNO–LBM）的加速计算流体力学框架，用于稳态和非稳态弱可压缩流。该方法在二维、单相位、低雷诺数基准问题中，使用SRT LBM公式进行了评估。对于稳态多孔介质流，基于FNO的初始化显著加速了宏观场的收敛，在保持稳态精度的同时，根据收敛容差的不同，密度方面实现了最高87%的加速，压降方面实现了最高55%的加速。非稳态流模拟可通过混合耦合策略加速，该策略将FNO rollout嵌入LBM时间推进中，采用超时间步长的方式，其中一步FNO替代了多步LBM。在100条轨迹上针对通用二维流进行的整体和时间分辨误差指标表明，混合方法相对于纯自回归替代模型，始终能提升精度并稳定长时程rollout。最佳效率由一个260万参数的轻量级FNO实现，该模型在纯自回归rollout下会发散，但在混合耦合下实现了最高99%的误差降低，达到了与成本更高的1120万参数模型相当的预测能力。混合框架增强了预测保真度，抑制了误差累积，并使小型廉价的替代模型能够在与更大替代模型相同的误差范围内有效运行。总体而言，结果表明混合FNO–LBM耦合能够在受控的低雷诺数二维环境中提高稳定性和效率，使紧凑的替代模型能够在更大模型和底层LBM求解器的精度范围内有效运行。

引言 高保真度流体数值模拟仍然是流体力学分析、优化和设计在科学与工程领域的核心。然而，解析复杂几何形状、多尺度特征和长时间非稳态动力学所带来的计算成本仍然构成重大挑战。格点玻尔兹曼方法（LBM）为弱可压缩流提供了一种稳健、高效且精确的计算框架，但与所有经典CFD方法一样，其成本随网格分辨率和模拟时间缩放，限制了需要快速周转、广泛参数研究或实时反馈的应用[1]。这些限制促使人们越来越关注能够在特定区域内加速CFD模拟同时保持物理精度的机器学习替代方法[2]。

随着数据驱动的机器学习（ML）流演化模型的发展，替代建模因此成为加速流体模拟的一条有前途的途径[3]、[4]、[5]、[6]、[7]。然而，许多传统神经网络架构在固定空间网格上运行，难以在不同离散化方案之间泛化，或在长时间自回归rollout期间保持稳定，限制了它们在高分辨率或长时程非稳态模拟中的可靠性。神经算子通过学习函数空间之间的映射而非离散数组来解决这些限制，从而实现分辨率不变的推理和整条流场的单步预测[8]、[9]、[10]、[11]。其中，傅里叶神经算子（FNO）凭借其谱卷积公式和与分辨率准线性的扩展特性而成为突出的架构[7]。FNO及其变体——如U-FNO[12]、F-FNO[13]、SFNO[14]和多尺度扩展[15]——在广泛的物理信息任务中展现了出色的性能，包括多孔介质流[16]、弹性动力学[17]、水力层析成像[18]、非线性光学[19]和托卡马克等离子体演化[20]，确立了算子学习作为近似高维PDE解的多功能工具。

尽管FNO具有表达能力，但计算成本较低的FNO模型在自回归rollout过程中可能快速累积误差，并在仅经过几步自回归步骤后发散[13]、[14]、[20]。这一局限性促使人们对结合机器学习替代模型与数值求解器的混合建模框架产生了越来越大的兴趣。通过间歇性直接调用控制方程的一致近似，混合方法可以校正累积误差，强制施加物理约束，并稳定长期预测。最近出现了多个此类混合CFD框架。在LBM的语境下，Rabbani和Babaei[21]提出了一种机器学习加速的渗透率工作流，Zhang等人[22]结合ML和LBM用于相变过程中的热通量预测，Fischer等人[23]使用强化学习闭包模型来稳定欠分辨的LBM模拟。后者与本文工作尤为相关，因为机器学习被用于增强LBM rollout的稳定性；然而，与Fischer等人[23]在LBM演化中学习闭包不同，我们则使用LBM作为校正机制来稳定自回归ML预测。

近期工作更直接地聚焦于学习LBM动力学的动力学或介观表示。Corbetta等人[24]引入了格点等变神经网络（LENNs）来近似碰撞算子，同时显式强制施加格点的离散对称性。他们的结果突出了对称性保持对于学习动力学算子的稳定性和精度的重要性。同样，Xue等人[25]提出了一种物理信息神经算子框架，该框架预测完整的粒子分布函数集，并在长时间尺度上学习正向动力学演化，纳入矩匹配约束和全局等变性以维持跨尺度的物理一致性。两种方法都在粒子分布函数层面运行，因此通过显式碰撞建模或分布层面的算子学习，仍然与方法的底层格点结构和动力学公式紧密耦合。

相比之下，我们有意采用宏观场替代模型，预测流体力学量而非粒子种群。这一设计选择将学习模型与特定的碰撞算子、格点离散化甚至LBM公式本身解耦，从而实现更灵活的混合耦合。特别是，我们的方法允许替代模型在不同的数值求解器或LBM碰撞和格点配置产生的宏观数据上进行训练，并在不同离散化方案中复用，同时仅依赖LBM作为校正机制来强制施加一致性并稳定长时程rollout。这一区别将我们的方法置于一个互补的混合模型类别中，该类别优先考虑模块化和求解器无关的耦合，而非与动力学层面动力学的紧密集成。

更广泛地说，混合ML–数值求解器系统包括用于流固耦合的FNO耦合有限差分求解器[26]、在Navier-Stokes流中用作压力求解器或闭包模型的神经网络[27]以及DeepONet预处理[28]。这些发展表明，混合方法可以将ML替代模型的速度与基于物理的求解器的稳健性相结合，但混合框架在多大程度上可以补偿有限的替代模型容量或强制实施长时程稳定性仍未得到充分探索[2]。

在本工作中，我们通过研究FNO在LBM框架中的混合集成来解决这一空白，针对稳态和非稳态弱可压缩流，具体关注二维、单相位、低雷诺数流，这为评估混合替代–求解器耦合提供了一个受控环境。首先，我们利用FNO预测的宏观场来加速多孔介质流的稳态LBM模拟。其次，我们考虑了低雷诺数下的二维双剪切层配置，该配置对累积误差高度敏感，因此是时间替代模型稳定性的关键测试，也是评估自回归rollout中混合策略的关键测试。在此情况下，FNO作为类超时间步长算法，用一次FNO rollout步骤替代了大量的LBM时间步。我们比较了一个1120万参数的大型FNO和一个260万参数的轻量级模型，发现数值校正对于轻量级模型在自回归rollout期间的稳定至关重要。我们的贡献有三方面：

•稳态收敛加速：FNO初始化的LBM实现了收敛时间的显著缩短，根据收敛容差的不同，密度和压降指标的迭代次数分别减少了最高87%和55%，相对于仅使用LBM获得的收敛稳态没有精度损失。

•通过混合方法改进自回归FNO rollout：即使对于自回归稳定的FNO rollout，混合FNO–LBM耦合也能显著提升精度，最高可达60%，并将总模拟运行时间缩短最高11.8%。

•通过混合方法稳定低成本FNO替代模型：混合方法使一个作为独立替代模型不稳定的260万参数FNO实现了99%的误差降低，并接近显著更大的1120万参数替代模型的精度。

这些结果表明，混合神经算子框架提供了一种强大且计算高效的加速LBM手段，在考虑的低雷诺数二维环境中保持物理保真度，并将紧凑的替代模型转化为适用于长时程非稳态预测的物理可靠模型。

章节摘要

格点玻尔兹曼方法 所有模拟均以单精度使用TorchLBM[29]运行，TorchLBM是一个完全可微且模块化的PyTorch实现的LBM求解器，用于弱可压缩Navier-Stokes方程（NSE）。LBM是一种介观数值方法[30]，计算离散粒子分布函数????沿预定义离散格点速度?????在结构化格点网格上的演化。

TorchLBM的一般模拟循环如图1所示，由六个递归模块和结果 本节展示了（i）使用FNO替代模型进行稳态LBM初始化和（ii）非稳态混合FNO–LBM模拟的结果。训练、模拟和rollout均在NVIDIA RTX A4000上进行。FNO模型使用开源的NVIDIA PhysicsNeMo框架[38]进行训练，除另有说明外，使用默认超参数。密度和速度预测分别训练独立的网络。评估轨迹使用独立的随机种子生成，但在结论 本工作研究了傅里叶神经算子（FNO）替代模型与格点玻尔兹曼方法（LBM）求解器的耦合，用于加速稳态和非稳态二维、单相位、低雷诺数流，同时保持物理精度。考虑了两个代表性基准问题：稳态多孔介质流和非稳态双剪切层，使所提出的框架能够在迭代稳态和时间相关预测两方面进行评估

CRediT作者贡献声明 A. Junk：撰写 – 原稿、可视化、软件、方法学、调查、形式分析、概念化。J.M. Winter：撰写 – 审阅与编辑、监督、软件、形式分析、概念化。M. Tütken：撰写 – 审阅与编辑、数据管理。S. Schmidt：撰写 – 审阅与编辑、监督、经费获取、概念化。N.A. Adams：撰写 – 审阅与编辑、监督、项目管理、经费获取、概念化。

生成式AI和AI辅助技术在手稿准备过程中的声明 在准备本工作期间，作者使用了Microsoft Copilot来提高可读性和语言。在使用这些工具后，作者根据需要审阅和编辑了内容，并对已发表文章的内容承担全部责任。

未引用参考文献 图5，图6

利益冲突声明 作者声明他们不存在任何可能影响本文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

致谢 本工作由欧洲联盟在ERC高级资助计划下资助：项目101094463 — GENUFASDA。Junk|J.M. Winter|M. Tütken|S. Schmidt|N.A. Adams 慕尼黑工业大学，工程物理与计算系，空气动力学与流体力学研究所，Boltzmannstra?e 15, Garching, 85748, Bavaria, 德国