使用基于混合物理原理和数据驱动的方法对与多孔介质相互作用的流体进行不确定性量化

《Computers & Fluids》：Uncertainty quantification of reacting fluids interacting with porous media using a hybrid physics-based and data-driven approach

　　摘要
在不确定性下准确模拟耦合的物理过程对于在性能关键应用（如燃烧系统）中进行可靠的建模和设计至关重要。烧蚀热防护罩设计就是这类应用的一个具体示例，它涉及到对反应流与多孔材料之间多物理相互作用的建模。反复评估这些模型以量化参数不确定性在计算上将非常昂贵。在这项工作中，我们将基于物理的建模（使用单域方法）与数据驱动的降阶建模相结合，通过算子推断方法来量化不确定性。详细的基于物理的模拟结果与在等离子体风洞实验中暴露于高焓流下的物体表面温度测量值的误差在5%以内。我们进一步使用该模型来展示复杂流动情况对多孔热防护罩材料与周围气体之间动态相互作用的影响。基于物理模拟数据构建的参数化降阶模型成功地捕捉了由于多孔材料的渗透率和传热系数变化而产生的感兴趣量的变化，这体现在两个独立的研究中：一个是静止空气中固体燃料燃烧并产生浮力反应羽流的情况，另一个是在风洞中的烧蚀现象。

引言
大多数物理过程可以用一组以参数化偏微分方程（PDEs）形式表示的控制方程来描述，其中一组设计参数控制着模型预测的结果，例如物理属性、边界条件或计算域的几何形状。对于不确定性量化或设计优化等应用来说，需要评估大量的参数。对大型系统的详细模拟尤其涉及动量和能量传递等耦合过程，通常需要大量的资源，包括大量内存和大量的计算时间。
在反应流的背景下，燃烧模拟受到多种不确定性的影响，这降低了模型预测的可靠性[1]。例如，在设计烧蚀热防护系统时，确定热防护罩的适当尺寸是开发大气进入飞行器的重要部分。在进入大气层时，由于大量的动能转化为热能，飞行器会经历强烈的空气动力学加热[2]。烧蚀热防护罩通过热化学机械降解过程来保护飞行器。初步的设计和性能评估依赖于基于物理的模型来估计热负荷。这些模型可能包含多个不确定参数，包括多孔热防护罩材料的传输特性，由于其复杂的几何形状，这些参数通常难以估计。因此，如果不量化预测中的不确定性，就无法评估模型的预测能力。
传统的不确定性量化方法主要围绕蒙特卡洛模拟[3]展开，通过暴力采样输入参数分布并将它们传播到问题中。这种前向不确定性量化方法虽然直接，但计算成本很高，并且收敛速度较慢，这意味着需要大量的样本大小才能确保良好的准确性[4]。鉴于模拟的计算成本，不确定性量化在很大程度上依赖于替代模型来近似原始模型[4]。在不确定性量化中最受欢迎的替代方法包括多项式混沌展开[5]、[6]、随机配置[7]和高斯过程[8]。
在燃烧研究中，许多研究集中在通过气相模型传播化学动力学的不确定性上，通常使用多项式混沌展开（PCE）来构建替代模型——主要是非侵入式方法[9]、[10]，尽管也有一些使用了侵入式随机Galerkin方法[11]、[12]。侵入式方法直接修改模型的控制方程以纳入不确定性。这通常需要访问和更改模拟代码的内部结构。另一方面，非侵入式方法将现有的模拟模型视为一个“黑箱”，不需要对原始代码进行任何更改。在早期研究中，化学动力学不确定性量化主要应用于简单的系统，如均匀反应器和一维层流火焰。Mueller等人[1]将这一方法扩展到湍流非预混合燃烧中，引入了一种基于物理的降维方法，该方法将动力学不确定性映射到火焰单元上，并通过假设温度与标量耗散率之间的相关性将问题简化为一个参数。后来其他人结合了基于投影的降维技术（如主成分分析（PCA）[13]和主动子空间）与替代建模来缓解高维问题[14]、[15]。近年来，人工神经网络也被广泛用于构建替代模型[14]、[16]、[17]。除了反应动力学参数外，还研究了由于其他输入参数（如边界条件和标量混合）引起的不确定性传播[18]、[19]。上述方法（如PCE和高斯过程）在处理瞬态问题时遇到困难，因为它们无法适应时间依赖系统中的动态演变。随着时间的推移，为了保持准确性，PCE中所需的项数会迅速增加，从而导致计算挑战[20]。对于高斯过程，需要专门的核函数或近似方法。此外，高斯过程推断中的协方差矩阵求逆的计算复杂度为Ω(n3)，其中n是数据点的数量。这种立方级数的缩放限制了它们在小到中等规模数据集上的适用性[8]。另一方面，基于神经网络的替代模型（包括基于物理的神经网络）没有明确地纳入控制方程的已知多项式结构，可能难以处理强耦合、高维的多物理问题[17]。此外，神经算子架构通常需要大型训练数据集和大量的计算资源进行训练，这对于本工作中考虑的耦合反应流-多孔介质问题来说可能是不可行的。

算子推断[21]、[22]、[23]、[24]是一种非侵入式的模型简化方法，适用于具有多项式非线性的系统。它的设计目的是学习控制物理系统演化的微分方程（或算子），但以降维的形式。与前述的基于投影的方法类似，算子推断技术使用奇异值分解从全序模型（FOM）计算中定义出一个低维子空间（或坐标）。与PCE等方法相比，算子推断可以更有效地处理大规模、高维系统，特别是当这些系统具有潜在的低维动态特性时[25]。随着不确定参数数量的增加，多项式混沌展开在计算上变得不可行，因为维数灾难。此外，算子推断非常适合捕捉系统的瞬态动态和随时间演变的行为，因为它直接学习控制系统演化的算子。基于算子推断的降阶模型（ROM）的结构由已知控制方程指导，ROM算子是通过在降维状态空间内最小化数据驱动的残差来确定的。该方法已被用于构建燃烧系统的控制模型[25]，以及其他应用，如流体动力学、气动弹性、机械/多体系统、大气科学和地球科学[21]、[26]、[27]、[28]、[29]。
在高温流条件下或建筑或自然环境中的火灾等现象发生在多个区域，这些区域中界面附近的各个过程之间存在强烈的耦合。捕捉涉及表面化学、辐射和流体流动的这种动态相互作用对于预测建模工具至关重要，特别是在估计热防护罩应用中的热流量时。由于新的低密度烧蚀材料具有高度多孔性[2]，周围气体与多孔材料之间的界面流动可能会表现出多种行为，这取决于流动状态；例如，在层流状态下，多孔界面的耦合和贯穿流动可能导致流动不稳定；而在湍流中，涡流可能会渗透到多孔域中，促进界面的增强传输。尽管在这一领域取得了进展，但多孔热防护罩与周围复杂流动之间的相互作用仍然知之甚少[2]。在之前的研究[30]中，我们展示了单域建模方法在捕获固体燃料燃烧和近场流动动力学问题中的这些界面过程方面的有效性。在这种方法中，通过空间平均方程来捕捉传输现象，从而在整个域中实现统一的表示。
将参数化算子推断应用于这类问题并不简单，原因有多个。控制方程包含必须近似的非多项式反应源项，而且耦合的多物理系统需要仔细选择提升变量（引入的辅助变量，用于将非多项式项转换为多项式状态空间结构），以实现多项式结构。此外，必须从方程的物理结构中识别出参数的仿射参数依赖性（即可以从系统算子中分离出参数的影响）。正如我们将展示的，为该系统构建参数化ROM对训练参数样本的数量和放置位置非常敏感。
在本文中，我们将单域方法应用于烧蚀问题（作为全序模型），并使用所得到的模拟数据以及之前研究[30]的数据来开发一个参数化算子推断框架，用于量化固体燃料燃烧模拟中的不确定性。我们首先介绍基于物理的详细模拟方法，然后是降阶建模框架。接下来，我们将该方法应用于两个独立的研究：静止空气中的固体燃料燃烧和风洞中的烧蚀。我们选择多孔区域的渗透率和传热系数作为不确定参数，并展示了该模型在这类问题中的不确定性量化能力。

节选内容
**具有单域方法的控制方程**
多孔区域和周围流体的过程是使用单域方法建模的，该方法对整个域中的流体和固体使用一组传输方程，Behnoudfar和Niemeyer[30]对此进行了更详细的描述。对于流体和固体相，模型解决了以下体积平均守恒方程：
???????(?????????)+??(??????????????)=(1???)?????∑??=1????????,?????,???????(???????????????,???)+??(???????????????,????????)=??(??????????????????,???)???(????????????????,???????)+?????????,?????+(1???)?????????,?????,???????(??msup)

**结果与讨论**
本节展示了两个应用的降阶建模和不确定性量化结果：加热固体表面产生浮力反应羽流和大气进入及高温流条件下的烧蚀实验。对于后一个问题，我们首先描述了应用于烧蚀实验的全序模型的结果，然后是降阶建模的结果。

**结论**
本工作表明，描述多孔固体和周围反应流体中耦合过程的复杂非线性PDE系统可以通过从全序模型模拟数据中学习到的算子将其简化为低维多项式形式。我们还展示了使用单域方法的基于物理的模型是捕捉高温流条件下烧蚀过程中界面动态相互作用的有希望的工具。虽然立方阶ROM形式是一个CRediT作者贡献声明
Diba Behnoudfar：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、概念化。Kyle E. Niemeyer：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取、概念化。

**材料可用性**
这里使用的软件实现可以通过GitHub以GNU General Public License版本3（GPL-3.0）公开获取，所使用的版本已存档在Zenodo [48]、[49]上。输出数据和图表也以CC-BY许可证公开提供[50]。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：Kyle Niemeyer报告称获得了Strategic Environmental Research and Development Program的财务支持。另一位作者声明没有已知的财务利益或个人关系。

**致谢**
该项目部分得到了Strategic Environmental Research and Development Program（SERDP）的合同支持，项目编号为RC19-1092。
Diba Behnoudfar | Kyle E. Niemeyer
俄勒冈州立大学机械、工业与制造工程学院，科瓦利斯，OR，美国