嵌于两相介质中的深埋圆形隧道温度场解析解

《Computers and Geotechnics》：Analytical solutions for the temperature field of a deep circular tunnel embedded in a two-phase medium

　　

摘要

在现代隧道工程中，准确预测围岩温度场对于减轻寒冷地区隧道的冻融危害以及优化能源隧道中的换热效率具有重要意义。本文基于分离变量法和拉普拉斯积分变换法，推导了两种解析方法，用于确定两相介质中隧道围岩的温度场。为简化两相传热问题，本文系统性地引入了三种已建立的等效模型。随后，在第一类和第三类边界条件下分别推导了解析解。所推导的解通过与COMSOL-MATLAB联动构建的随机多孔介质有限元模型以及现场测量数据进行验证。最后，还进行了参数分析。数值结果表明，拉普拉斯变换法在计算效率上略低于分离变量法，但在处理复杂边界条件时具有更大的通用性。此外，在低孔隙率条件下，Wiener模型或Maxwell-Eucken模型因具有清晰的物理洞察而更受青睐；而在高孔隙率条件下，建议对多种等效模型进行综合评估。研究发现，孔隙率主要控制着近场至中场区域的温度场。本研究的主要贡献在于将已建立的等效模型纳入瞬态隧道解析解中，并系统评估其适用性，同时开发了一个随机多孔介质有限元基准模型。此外，本文还考察了从第三类边界条件退化为第一类边界条件的假设的有效性，并对三种拉普拉斯逆变换方法的计算性能进行了比较。

引言

深埋隧道越来越多地建于寒冷地区并应用于能源领域。在寒冷地区隧道中，围岩温度场决定了冻融区的范围以及相关危害（如衬砌开裂）的程度。在能源隧道中，它决定了地热系统的换热效率和长期稳定性。近期的综述表明，能源隧道的热行为受隧道环境、衬砌结构、换热系统、周围岩土、地下水和气流的复杂相互作用所支配（Dai等，2023）。因此，准确预测该温度场至关重要。本研究关注传导主导条件下饱和围岩的情况。不考虑水冰相变和渗流引起的对流传热；因此，所提出的解主要适用于孔隙率和渗透率相对较低、无显著地下水补给的隧道运营阶段。

关于深埋圆形隧道温度场的理论研究主要采用数值方法和解析方法。数值研究已从相对简单的均质导热模型逐步发展至三维和多物理场模型，纳入衬砌结构、保温层、隧道气流、地下水渗流和换热系统等。早期研究主要考察了施工季节、初始地温、保温层厚度和材料热学性能对寒冷地区隧道的影响（Zhang等，2002、2004a、2004b）。后续研究通过考虑换热管、混凝土衬砌、支护结构和隧道环境条件，将数值建模扩展至能源隧道和高地温隧道（Barla等，2016、Wang等，2020、Mao等，2021、Ma等，2021）。更近期的研究日益关注实际施工和运营条件，包括气层结构、超长单端通风、列车诱导气流、通风控制热调节区以及交叉隧道间的相互作用（Zhang等，2021a、Chen等，2023、Wei等，2023、Luo等，2024、Zheng等，2026）。这些发展表明，数值研究正朝着更真实的几何构型、边界条件和耦合物理过程方向推进。尽管这些研究推动了人们对隧道热行为和传热机制的理解，但周围岩土通常被简化为以平均宏观或有效热物性为特征的均质连续介质，未考虑两相介质引入的影响。因此，固体骨架和孔隙流体的随机空间分布及其对局部和整体温度场的影响未得到清晰解析。

基于两相甚至三相介质考虑的研究进一步改进了隧道传热的物理表征。隧道尺度的数值模型通过连续方程、Darcy流公式或表观热物性纳入了气岩换热、地下水流、热-水力耦合以及水冰相变（Tan等，2014、Yan等，2017、Bidarmaghz和Narsilio，2018、Chen等，2024b）。Chen等（2022）还建立了非饱和冻结土壤中热质传递的有限元公式。然而，在这些模型中，固体骨架和孔隙流体通常通过宏观连续方程、表观热容或体积平均有效热物性来描述，而非作为具有随机空间分布的显式分离相来表示。因此，尽管此类模型可以高效描述隧道尺度的耦合传热，但可能无法完全捕捉孔隙排列形态对温度场的影响。在更细的尺度上，Lee等（2020）提出了一种耦合离散元/有限元方法来评估冻结颗粒介质的有效导热系数，而Chen等（2024a）生成了随机各向同性多孔结构并证明有效导热系数不仅取决于孔隙率和组分性能，还取决于孔隙形态和结构生成参数。这些发现凸显了孔隙尺度排列的重要性。这两项研究都以合理的精度捕捉了耦合传热过程。然而，两者均未考虑隧道构型。

毋庸置疑，数值模拟技术在解决复杂工程问题方面具有显著优势，在处理涉及复杂几何构型和类似高难度配置的情况时展现出特别强的适用性。然而，这些方法在实施过程中对计算资源提出相当高的要求，特别是在需要精细网格离散化或涉及高维问题的场景中，导致计算时间过长并依赖于高性能计算基础设施。当需要精细网格来分辨随机分布的固体和孔隙流体区域，或考虑长时瞬态多物理场问题时，这些计算需求更加突出。近期将数值模拟与深度学习相结合的代理方法提高了预测效率（Xiao等，2025），但其适用性仍依赖于训练所使用的参数范围和数据集。更为关键的是，数值方法及其数据驱动代理模型通常不能直接揭示物理量之间的内在关系和底层传热机制。其解释过程依赖于事后分析和可视化。相比之下，理论解析方法在合理假设和简化条件下能够以相对较高的计算效率给出精确解。此外，解析解直观地反映了单个参数与温度场之间的关系，适合参数分析和设计替代方案比较，所有这些都为工程设计提供了参考价值。

隧道温度场的解析研究已从相对简单几何的稳态解发展为涉及日益复杂的隧道结构和热过程的瞬态解。对于稳态问题，叠加原理、边界分离法和保角变换已被用于分析冻结封闭管棚和双隧道构型（Hong等，2020、Hong等，2023、Shao等，2020）。尽管这些解提供了长期平衡状态的有用描述，但它们无法表征开挖后或隧道运行条件变化后的连续温度演化。因此，瞬态解析研究采用了分离变量法、拉普拉斯变换、有限积分变换和Duhamel积分。Xia等（2010）推导了包含衬砌和保温层的寒冷地区隧道瞬态温度场解。更近期的研究将解析公式扩展至椭圆隧道、界面热阻、热渗透深度、换热管、季节性三维温度场和非对称能源隧道结构（Duan等，2023、Zhao等，2023、Che等，2024、Wang等，2024、Zhao等，2025、Wang等，2026）。解析模型也开始通过表观热容和渗流相关的热-流体耦合来考虑相变（Wu等，2024、Chen等，2025）。因此，总体发展趋势是从稳态到瞬态分析，从简单预设边界到对流或耦合边界，从单层圆形隧道到更复杂的几何和物理过程。

尽管取得了上述进展，大多数解析隧道模型中的周围介质仍被视为均质单相材料或以一特定组有效性能为特征的均质多孔介质。在涉及相变或渗流的公式中，周围介质通常也在宏观连续尺度上描述（Wu等，2024、Chen等，2025）。不同的有效介质关系对应于关于相排列和传热路径的不同假设，因此可能产生不同的预测，尤其是随着孔隙率增大以及固相与流体相性质差异增大时。经典的Wiener、Maxwell-Eucken和Johansen关系已被广泛用于估计土壤和多相材料的有效导热系数（Maxwell，1904、Wiener，1912、Johansen，1975、C?té和Konrad，2005、Lu等，2007、Bi等，2018）。然而，它们各自的效果和适用范围尚未在同一瞬态隧道解析框架内得到系统比较，其预测也尚未在区分固液两相的随机多孔结构上得到充分评估。

隧道壁面上的热边界条件是建模不确定性的另一个重要来源。现有研究通常根据具体工程问题采用第一类预设温度边界或第三类对流边界。对流换热系数已在各种隧道气流条件下进行了评估或讨论（Ma等，2021、Ma等，2024、Wei等，2023、Luo等，2024），但两种边界处理通常分别应用。尽管第一类边界在数学上可视为对流换热系数趋于无穷大时第三类边界的极限形式，但在有限对流条件下此简化所引入的误差极少在同一解析框架内被量化。特别是，其对时间、径向位置和热物性的依赖性仍理解不足。

先前的参数研究主要考察了初始地温、隧道空气温度、导热系数、通风条件、衬砌和保温层性能、隧道几何形状和换热器构型（Zhang等，2002、Zhang等，2004a、Zhang等，2004b、Ma等，2021、Zhang等，2021b、Chen等，2023、Wei等，2023、Luo等，2024、Wang等，2026）。相比之下，密度和比热容的独立效应、参数敏感性的空间依赖性、孔隙率和有效介质模型选择的影响则受到较少关注。此外，解析解经常与采用相同有效热物性的均质数值模型进行验证。此类比较可以验证数学推导和数值实现，但无法独立评估底层的均质化假设。

针对上述研究空白和工程需求，本研究应用了三种两相介质传热等效模型，即Wiener串并联模型、Maxwell-Eucken边界模型和Johansen几何平均模型，将复杂的两相传热问题转化为等效单相传热问题。然后在极坐标系中建立了适应深埋圆形隧道几何特征和传热特性的导热控制方程，并分别采用分离变量法和拉普拉斯变换法推导了瞬态温度场的解析解。为验证所推导解析解的准确性和可靠性，通过整合COMSOL Multiphysics与MATLAB开发了随机多孔介质有限元模型。在相同的几何参数、热物性和边界条件下进行数值模拟。通过将解析解获得的结果与有限元计算结果以及两个工程案例（桑株岭隧道和康加湾高温金属矿山）的实测数据进行比较，确认了解析解的有效性并评估了其计算效率。此外，还系统地比较了Stehfest、Schapery和Crump三种拉普拉斯逆变换方法在计算精度、数值稳定性和效率方面的表现。

在此基础上，进一步利用解析解对第一类边界条件与第三类边界条件进行了系统的对比研究，并考察了在对流换热系数趋于无穷大时，将第三类边界条件简化为第一类边界条件的常用做法，从而阐明了它们各自的计算误差来源、相对优劣以及适用的工程场景。随后，利用解析解进行了参数分析，以阐明岩石比热容、岩石热导率、岩石密度、对流换热系数、径向位置、等效模型类型及孔隙率等关键参数对隧道围岩温度场时空演化过程的影响机制。因此，本研究的主要贡献在于隧道专用的解析实现与已有等效模型的比较，以及用于验证的随机两相有限元基准模型的建立。此外，边界条件评估及三种拉普拉斯反演方法的比较进一步增强了该框架的方法论完整性。

章节摘要

理论推导

考虑嵌入两相多孔介质中的隧道围岩瞬态温度场。假设隧道为深埋圆形隧道，且围岩远场边界不受开挖影响。基于上述条件，针对第一类和第三类热边界条件分别建立了解析解。为在保持主导传热特征的同时实现解析推导，做出以下假设：

随机多孔介质有限元模型的构建

为更真实地模拟随机多孔介质，本节利用COMSOL与MATLAB接口开发了一套完整的模型生成程序，生成了具有严格几何约束的二维随机多孔介质模型。该模型定义了一个环形计算域，其外边界为半径为r∞的外圆，内边界为半径为a的内圆隧道。为实现对孔隙率n和孔径的精确控制，程序采用随机参数化分析

本节对隧道围岩在两相介质条件下的温度场进行了参数分析。主要研究的参数包括岩石骨架比热容、骨架密度、骨架热导率、对流换热系数H、径向位置、两相介质等效模型以及孔隙率n。除特别说明外，本节采用的材料参数与本节之前所述的相同。

结论

本研究利用分离变量法和拉普拉斯变换法，推导了嵌入两相介质中的深埋圆形隧道围岩瞬态温度场的解析解。将三种已建立的等效模型纳入温度公式中。将解析结果与随机两相有限元模型及现场测量数据进行对比评估，并最后进行了参数分析。主要结论如下：

1）

贡献者声明

艾志勇：撰写—审阅与编辑、方法论、调查研究、概念构思。周佳琪：撰写—初稿、验证、调查研究、数据整理。陈新凯：撰写—审阅与编辑、验证、调查研究、数据整理。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本论文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本研究得到国家自然科学基金的资助（项目编号：41672275）。

艾志勇|周佳琪|陈新凯
同济大学，四平路1239号，上海200092，中国；教育部岩土及地下工程重点实验室，土木工程防灾减灾国家重点实验室，岩土工程系。