在具有混合Dirichlet-Wentzell边界条件的二维生物热方程中，确定一个时间依赖的灌注系数

《Computers & Mathematics with Applications》：Identification of a time-dependent perfusion coefficient in a 2D bioheat equation with mixed Dirichlet–Wentzell boundary conditions

　　**摘要**
我们研究了在矩形域上受到非经典边界条件约束的二维热方程的逆系数问题。具体来说，一部分边界施加了Wentzell（动态）边界条件，而剩余部分则规定了吸收效应，从而导致混合的Dirichlet–Wentzell边界条件。逆问题是从给定的积分（能量型）观测数据中恢复代表灌注介导的体积热交换的零阶时间依赖系数。利用矩形几何特性，我们基于一个辅助谱问题开发了一个傅里叶级数框架，在该框架中，特征参数同时出现在微分算子和边界条件中。在适当的规则性、兼容性、正交性和可识别性假设下，我们证明了正向和逆向公式的适定性，并推导出支持数值重建的稳定性属性。然后，我们通过结合具有不同近似特性的相关特征值问题和逆向重建的互补数值方案，证明了计算可行性。数值实验证实了理论结果，并与参考解非常吻合。

**引言**
具有非经典边界条件的抛物线型初边值问题（IBVPs）出现在许多数学和物理模型中，包括固体与流动流体相互作用的热传递以及相关的扩散过程（例如化学扩散，参见[1]、[2]、[3]、[4]等文献中的典型示例）。其中，Wentzell（动态）边界条件具有明确的物理解释，代表了与整体演化耦合的边界动态；参见[5]及其中的参考文献。在一个互补的椭圆设置中，描述了部分吸收（Dirichlet）、部分反射（Neumann）和部分储热（Wentzell）边界条件的拉普拉斯边值问题已在[6]中研究。在一维设置中，已经在[1]、[7]中研究了具有混合Dirichlet和Wentzell边界条件的热方程中时间依赖系数的恢复问题。这些结果激发了对多维几何形状的扩展以及对未知系数具有直接物理解释的模型的研究，例如温度与血液灌注耦合的生物热方程。关于具有动态边界条件的逆抛物线问题的更广泛视角可以在[8]中找到的综述中找到。最近的研究[9]还探讨了在生物热传递模型中识别时间依赖的血液灌注系数（热波变体），提供了特定领域内的证据，表明这样的参数是有意义的，并且在适当的数据下是可以识别的。

在更高维度的直接分析中，具有Wentzell边界条件的热方程已经被广泛研究；例如，参见[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。特别是[10]考虑了一个有界光滑域，其边界被分成两个不相交的部分，一个是施加了经典Dirichlet–Neumann条件，另一个是施加了Wentzell条件。与这些发展平行的是，关于在经典和非经典边界条件下多维热方程的逆源/控制问题的大量文献。对于矩形域上的二维热方程，在Dirichlet边界条件下识别时间依赖的源/控制参数已在[15]、[16]中研究，在Neumann边界条件下已在[17]、[18]中研究，在非局部边界条件下已在[19]、[20]中研究。还开发了许多数值方法用于在各种边界条件情况下解决时间依赖的源/控制识别问题。例如[21]中，将一维生物热方程中时间依赖的血液灌注系数的识别问题表述为一个具有非局部边界条件和积分能量过确定条件的逆热源问题。采用边界元素方法，并结合Tikhonov正则化以及有限差分和平滑样条正则化。在[22]中，考虑了在二维设置中确定空间依赖的灌注参数的问题，使用了带有正则化高斯-牛顿方案的伪谱配置方法来解决逆估计问题中固有的不稳定性（也参见[23]）。在[24]中，使用交替方向有限差分方法和迭代正则化方法处理了确定抛物线热方程中多维、空间依赖的热源的线性病态问题。

**边界配置和傅里叶分析**
我们施加了不同的边界配置，重点关注Dirichlet–Wentzell公式而不是混合Dirichlet–Neumann–Wentzell情况。在当前设置之外，仅考虑动态和反射效应的情况下，这种边界条件的一个可能应用也在[31]中提到，用于模拟化学扩散。在这种解释中，?xu(1, t)项表示材料向边界的扩散传输。重要的是，在当前分析中，相关的辅助特征值问题（EVP）是不同的：谱参数以不同的方式进入边界条件，且得到的特征对满足不同的超越型色散关系。值得注意的是，在多维设置中，没有通用理论来描述与Wentzell边界条件相关的谱问题。因此，许多这类问题通过将谱问题简化为谱参数的代数（通常是超越的）特征方程来处理。然而，并非所有类别的边界条件都适用于这种方法。在[30]和本文中研究的边界条件适用于这种方法，因为相应的谱可以通过谱参数的特征方程直接分析。因此，必须为Dirichlet–Wentzell设置重新推导特征函数系统及其基础属性（从而得到模态系数），因此傅里叶级数表示和随后的先验估计遵循不同的路径。特别是，虽然我们保留了变量分离策略，但边界耦合的变化改变了可接受模式的结构，需要在执行正向和逆分析之前重新进行谱特征化。

**数据利用：差分能量观测**
为了在噪声积分观测下获得可靠的重建结果，我们直接利用测量中的时间信息，将能量数据的时间导数纳入模型。在我们的分析采用的规则性假设下，能量泛函足够可微分；然后通过对空间域的控制方程进行积分，可以将时间导数项表示为测量量的函数，有效地用观测的导数替换了状态的时间导数的空间积分。这在一定程度上加强了数据与未知系数之间的直接对应关系，提高了在测量噪声存在时的可识别性和逆向的鲁棒性。

**问题陈述**
我们考虑的问题定义在一个有界的空间域Ω上，其边界Γ被分解为两个不相交的部分Γ1和Γ2，对应于不同性质的边界段，包括Wentzell型条件。逆问题是确定一对{p(t), u(x, t)}，以满足控制抛物线PDE、初始条件以及混合边界条件（Γ1上的Dirichlet和Γ2上的Wentzell），以及一个额外的能量条件，确保…

**相关的谱问题**
基于域的矩形几何形状、??=???(??)与空间变量无关的事实，以及d是常数的假设，使用变量分离是有道理的。由此产生的空间部分导致了以下辅助特征值问题。这个问题的作用是提供一个基础，以便可以根据它展开(2.1)–(2.4)的解。

**逆问题**
首先，我们假设由方程(2.1)–(2.5)定义的逆问题的解是一对(??,??)∈???[0,??]×??2,2,1?(?????Ω??)，满足PDE和所有边界条件。我们引入以下函数类来建立规则性条件：??4????0?(?????Ω)=?{ { { { { { { { { { { {????(??,??)∈??4?(?????Ω):???(??,0)=0,???(??,1)=0,???(1,??)=0,???(0,??)=0,?????(1,??)=0????????(??,0)=0,????????(??,1)=0,????????(0,??)=0,????????(1,??)=0.1∫0???(??,??)?sin?(√????0???)????=0,??∈[0,1],??=1,2,…?{ { { { { { { { {?{ { { { {?。

**离散公式和数值结果**
我们对空间中的控制方程应用谱配置离散化，得到一个半离散系统，然后使用向后差分公式随时间推进。更确切地说，空间离散化是使用CSCM（Chebyshev谱配置方法）进行的，它表示在Chebyshev–Gauss–Lobatto（CGL）节点上的解，并且如果解是规则的，可以通过差分矩阵实现高阶精确的空间导数评估。

**结论**
我们研究了在矩形域上提出的二维生物热方程，该方程受到混合Dirichlet–Wentzell边界条件的约束，并基于辅助谱问题开发了一个基于傅里叶的分析框架。在这个框架内，我们推导出了一个Volterra积分方程，该方程可以从总能量的测量中识别出时间依赖的灌注系数。在适当的假设下，这些结果得出了存在性和…

**作者信息**
Mansur I. Ismailov | ?nder Türk
数学系，Gebze技术大学，Gebze-Kocaeli，41400，土耳其