避免特征值问题中虚拟元的稳定项：降阶基虚拟元方法

《Computers & Mathematics with Applications》：Avoiding stabilization terms in virtual elements for eigenvalue problems: The reduced basis virtual element method

　　

摘要
我们提出了新的降阶基虚拟单元法（rbVEM）用于求解拉普拉斯特征值问题。该方法基于最低阶虚拟单元法，并利用降阶基技术获得虚拟（非多项式）贡献的显式表示。rbVEM 产生了所考虑问题的完全符合离散化，从而避免了稳定项。我们证明了 rbVEM 提供了正确的谱逼近和最优误差估计。理论结果由详尽的数值调查补充。

引言
虚拟单元法（VEM）是一类流行的数值格式，源自模仿有限差分 [1]，并允许以有限元精神格式进行变分表述，参见 [2]、[3]、[4] 及其中的参考文献。使用 VEM，计算域可以通过一般多面体网格进行划分，仅需极少的形状正则性假设。在单元层面，离散空间通过考虑直至 k ≥ 1 次的多项式加上额外的虚拟函数来定义，由于虚拟函数是局部偏微分方程的解，因此不是显式已知的。因此，采用多项式投影来计算感兴趣的量并确保最佳精度。另一方面，非多项式部分用于强制执行方法的符合性。通过引入合适的稳定项来确保离散双线性形式的稳定性 [5]。
通常，稳定项是“人工的”，因为它不考虑所研究问题的物理特性。确实，它只需要像刚度矩阵的虚拟（非多项式）贡献一样缩放。众所周知，对稳定项的需求可能是该方法的缺点。例如，在处理复杂的非线性方程时 [6]，定义该项可能并非易事，并且在求解各向异性问题时 [7]，它可能会产生不准确的结果。
为了克服上述困难，文献中提出了几种方法。所谓的无稳定虚拟单元 [8]、[9] 通过扩大底层多项式空间来获得自动稳定的离散格式。文献 [10] 中使用了类似的想法，其中基于子三角剖分构建多项式投影到 Raviart–Thomas 空间。另一方面，自稳定方法 [11]、[12]、[13] 引入了一些额外的内部自由度，这些自由度可以很容易地凝聚。另一个选项是通过支持方法有效计算虚拟函数，例如降阶基方法 [14]、神经网络 [15] 或有理函数 [16]、[17]。我们还提到文献 [18] 中的工作，其中使用边界元来确定多边形有限元方法的基础函数。
在处理特征值问题时，选择合适的稳定项问题甚至更加关键，因为它不仅涉及刚度矩阵，还涉及右边的质量项。确实，正如文献 [19]、[20] 中所观察到的，不恰当选择此类稳定项可能会引入额外的人工特征模态。在这种情况下，无稳定方法和自稳定方法更具吸引力。一种选择是仅在左边保留稳定项 [21]、[22]。否则，可以采用完全无稳定的方法，精神类似于 [11]，如 [23]、[24] 中讨论的那样。
在本工作中，我们提出了一种替代上述方法的方法。我们采用降阶基方法来高效近似定义虚拟基函数的局部偏微分方程，如文献 [14] 中针对最低阶 VEM 所述的那样。通过这种方式，我们获得了离散双线性形式中非多项式贡献的显式表示，从而自动确保稳定性。这种新方法产生了一种完全符合的多边形方法，精神类似于 [25]，其中使用 VEM 机制来处理多项式部分，而降阶基方法处理非多项式贡献。因此，我们决定将我们的方法命名为降阶基虚拟单元法（rbVEM）。我们从而在 rbVEM 框架内推导拉普拉斯特征值问题的变分格式，并通过证明正确的谱逼近和最优收敛估计来进行误差分析。为此，也在 H1- 和 L2- 范数下证明了源问题的先验误差估计。我们通过广泛的数值示例确认了我们方法的鲁棒性和逼近性质。
本文的组织如下。我们首先在第一节回顾拉普拉斯特征问题的连续格式，并在第二节回顾其标准最低阶虚拟单元离散化。第三节讨论新 rbVEM 空间的构建并引入新的离散格式。源问题和特征值问题的收敛分析在 4 紧致算子谱理论、5 误差分析和 6 中进行。确认我们理论发现的数值测试收集在第七节中。最后，我们在第八节得出一些结论。

章节片段
符号
全文我们将使用标准的泛函分析符号。给定一个开有界区域 ????2，我们用 L2(D) 表示配备内积 ( ·, · )D 诱导的范数 ‖ · ‖0,D 的平方可积函数空间。符号 Hs(D) 表示可微性指标 ??∈?、范数 ‖ · ‖s,D 和半范数 | · |s,D 的 (Hilbert) Sobolev 空间族。此外 ??10?(??) 是 H1(D) 中沿 ?D 迹为零的函数子空间。类似地，Hs(?D) 表示边界

问题设定
在本文中，我们考虑带有齐次 Dirichlet 边界条件的二维拉普拉斯特征值问题。设 Ω??2 为一个多边形区域，我们寻找特征值 ??∈? 和非零特征函数 u，满足 {?Δ???=????? inΩ, ??=0 on??Ω}。用 ??∈??10?(Ω) 测试该方程，通过分部积分得到以下变分格式。
问题 1 寻找 (??,??)∈?×??10?(Ω)，u?≠?0，使得 ???(??,??)=??????(??,??) ???∈??10?(Ω)，其中 ???(??,??)=(????,????)Ω, ???(??,??)=(??,??)Ω。双线性形式 a( ·, · ) 是连续且强制性的。该

数值方法
我们通过最低阶虚拟单元法离散化问题 1。我们从而通过由多边形组成的网格 ??? 分解区域 Ω。我们用 ??∈??? 表示通用的网格单元，其直径为 hE。像往常一样，网格尺寸 h 对应于所有 hE 的最大值。此外，通过滥用符号，我们写 ε?∈??E 意味着 ε 是单元 E 的一条边。我们假设 E 的标准网格正则性属性（参见例如 [2]），要求每个 E 是关于一个球的

rbVEM 离散空间
为了克服与稳定形式相关的问题，我们遵循文献 [14] 中引入的方法，其中离散源问题的稳定性是通过实际逼近虚拟贡献来强制执行的。我们将该方法扩展到质量项以处理特征值问题：这等同于在不同的（符合的）空间中离散化问题 1，其中双线性形式是完全可计算的。
新的离散空间是基于虚拟单元空间通过

紧致算子谱理论
我们首先引入与问题 1 相关的连续源问题，其内容如下。
问题 7 给定 f?∈?L2(Ω)，寻找 ??∈??10?(Ω) 使得 ???(??,??)=(??,??)Ω ???∈??10?(Ω)。众所周知，上述问题是适定的且存在唯一解 [37]。此外，存在 1/2?
误差分析
我们呈现源问题 8 在能量范数下的误差估计。正如我们讨论的，这确保了特征对的正确谱逼近。我们还证明了 L2-范数下的误差估计。
由于问题 8 的 rbVEM 逼近是完全符合的，Galerkin 正交性和 Céa 引理直接成立 [40]，产生 |??????rb?∣1,Ω≤??∣?????rb??∣1,Ω。我们在以下命题中估计插值误差。
命题 1 设 ??∈??1+???(Ω)，1/2?
特征值问题的误差估计
我们现在准备呈现在 rbVEM 框架下近似拉普拉斯特征问题的收敛结果。
通过应用 Babu?ka–Osborn 理论给出的结果（参见 [38, Thm. 9.3–9.7] 和 [39, Thm. 7.1–7.4]），我们获得了特征值和特征函数近似的误差估计。为此，我们回顾两个空间 ??????(Ω) 和 ??????(Ω) 之间间隙的定义 ?????(?,?)=max?{????(?,?),????(?,?)}，其中 ????(?,?)=sup??∈?,∥??∥?,Ω=1?inf??∈?,∥??∥?,Ω=1?∥?????∥?,Ω。在我们的

在我们的数值测试中，本节呈现了一组广泛的数值测试，确认了我们的理论发现。我们首先考虑单位正方形上的拉普拉斯特征问题。我们研究了 rbVEM 关于用于构建离散空间的降阶基函数数量 M 的鲁棒性。然后，我们将我们的新型 rbVEM 方案的逼近性质与标准 VEM 以及注释 2 中讨论的替代 rb–stab–VEM 进行比较。我们进一步测试了我们方法在

结论
我们介绍了用于近似特征值问题的最低阶无稳定 rbVEM。标准 VEM 格式中稳定参数的存在可能会产生虚假特征模态。为了避免参数依赖，我们采用降阶基方法来高效求解定义虚拟基函数的单元方程。因此，我们能够设计一种基于原始 VEM 的全新完全符合的离散空间。我们证明了 rbVEM

西尔维娅·贝尔托卢扎 | 法比奥·克雷达利 | 弗朗切斯卡·加迪尼
意大利帕维亚，27100，CNR（意大利国家研究委员会）"E. Magenes"计算与数学技术研究所（IMATI）