具有常数减法技术的浅水方程守恒平衡有限差分WENO格式

《Computers & Mathematics with Applications》：Well-balanced finite difference WENO schemes for shallow water equations with constant subtraction technique

　　

**摘要** 本文针对含地形起伏的一维和二维浅水方程，发展了高阶平衡有限差分加权基本无振荡（WENO）格式。为了简化平衡格式的构造，我们在动量方程的两边添加相同的项，将浅水方程改写为预平衡形式。在预平衡形式下，当达到稳态时，通量梯度和源项均为零。这使得在预平衡形式下对通量梯度和源项进行重构不会影响格式的平衡性质。与WENO-XS方法[1, Xing和Shu, J. Comput. Phys., 2005]相比，本文提出的新格式实现更为简便，且在CPU时间上效率更高，尤其在二维情形下表现突出。大量的基准算例验证了格式的高阶精度、有效性、平衡性和无振荡特性。

**引言** 本文研究含地形起伏的浅水方程（SWEs）的高阶平衡有限差分加权基本无振荡（WENO）格式。含地形的浅水方程可通过在静水压力分布假设和水粒子垂直加速度可忽略的条件下，对Navier-Stokes方程进行深度积分得到，其形式为

?/?t [h, hu] + ?·[hu, hu?u + ?g h2 I] = [0, -gh?b]，

其中h为水深，u=(u,v)?为深度平均速度，b为不随时间t变化的地形，g为重力加速度。

作为典型的双曲型守恒律，当源项恰好平衡通量梯度时，浅水方程自然地存在稳态解。一个重要的稳态解即所谓的"静止湖面"解：

h + b = C, hu = 0，

其中C为常数。特别是，一维浅水方程写为

?/?t [h, hu] + ?/?x [hu, hu2 + ?g h2] = [0, -gh b?]，

并存在如下静止湖面稳态解：

h + b = C, hu = 0。

数值格式应当保持该解不变，这一性质在文献中被称为平衡性或C-性质，最早由Bermudez和Vazquez[2]提出。此后，大量平衡格式被提出。LeVeque[3]开创性地引入了一种准稳态波传播算法，在每个单元中心引入Riemann问题，确保通量差恰好被源项平衡。Zhou等[4]引入了一种表面梯度重构方法，实现了对浅水方程的高分辨Godunov型有限体积方法。Audusse等[5]基于静水重构思想设计了一个二阶平衡格式。Chen和Noelle开发了一种基于子单元重构的新静水重构方法[6]，以及一个统一表面梯度与静水重构的格式[7]用于浅水方程。

同时，各种高阶数值方法被开发以有效求解浅水方程。Vukovic和Sopta[8]引入了具有ENO和WENO重构的平衡有限差分格式用于一维浅水方程。Xing和Shu分别设计了一个五阶平衡有限差分WENO格式[1]和一个有限体积WENO格式[9]，基于源项的特殊分解。这些格式使用相同的非线性权重对数值通量和源项进行重构以保证平衡性质。基于静水重构方法[5]，Xing和Shu发展了新的针对数值通量有特殊处理的高阶平衡有限体积WENO和Runge–Kutta间断Galerkin（RKDG）格式[10]。Lu等[11]发展了与Lax-Wendroff时间离散相结合的高阶WENO格式。Li等[12]研究了具有不同指标函数的混合平衡WENO格式。Wang等[13]构造了一个五阶平衡多分辨WENO格式。Li等[14]发展了一个基于插值的平衡有限差分WENO格式。Zhang等[15][16]发展了高阶平衡移动网格DG方法。Huang等[17]发展了针对浅水方程的高阶平衡渐近守恒有限差分WENO格式。Zhang等[18]发展了有限体积任意Lagrangian-Eulerian WENO格式。Zhang等[19]提出了高阶精度平衡能量稳定自适应移动网格有限差分格式。Liu等[20]发展了曲线网格上的高阶有限差分WENO格式。Zhao和Zhang[21]发展了平衡五阶有限差分Hermite WENO格式。Li等[22]发展了一种新的有限差分平衡映射不等尺寸WENO格式。最近，Xu和Shu[23]设计了针对浅水方程的一种替代性平衡有限差分WENO方法。

为使平衡格式的构造更为简便，Yang等[24]为浅水方程发展了采用常数减法技术（CST）的平衡中心格式。此后，基于CST，Du等[25]提出了非结构网格上的高阶平衡DG方法。Zhao等[26]为浅水方程发展了高阶有限体积WENO-CST方法。通过在方程组两边添加相同的项g?b?（其中?为水面h+b的全局空间平均值），浅水方程被改写为具有平衡变量的预平衡形式，由此[24][25][26]中的平衡性质可自动适用于一般的高阶单元平均值格式（有限体积或DG）。由于这一吸引人的特性，本文进一步探索CST在构造一类高阶平衡有限差分WENO格式方面的潜力。有限差分WENO格式在高维情形下通常比有限体积WENO格式更易实现且效率更高。

为在有限差分框架下基于CST设计平衡WENO格式，我们首先定义一个全局变量??，可视为水面h+b的全局空间平均值的近似，并在方程组两边添加相同的项g??b?，将浅水方程改写为具有平衡变量的CST预平衡形式。然后，我们采用高阶守恒有限差分WENO近似对CST预平衡浅水方程进行空间离散。该格式可以避免在数值通量和源项的WENO重构中使用相同的非线性权重，且无需在每个时间步重构地形b。数值结果表明，本文的有限差分WENO-CST格式比具有相同单元数量的WENO-XS格式[1]更为高效。此外，在固定CPU时间下，有限差分WENO-CST格式的误差小于WENO-XS格式，尤其在二维情形下（参见算例4.2和4.7）。

总结引言，我们概述了本工作的几项贡献。构造浅水方程平衡格式的一个著名挑战是实现通量梯度与源项之间的离散平衡，这使得重构过程更为复杂。为降低这一复杂性，我们通过向动量方程两边添加相同的修正项来引入预平衡改写。基于此形式，在稳态时通量梯度和源项均为零，从而可以对每一项进行直接且独立的重构。因此，所提出的格式实现了与WENO-XS方法相同的平衡性质，同时在实现复杂度和CPU时间上更低。

本文组织如下。第2节中，我们给出了一维浅水方程的包含CST的平衡高阶有限差分WENO格式，并在第3节中以逐维方式将格式扩展到二维。第4节展示了平衡五阶有限差分WENO-CST格式求解一维和二维浅水方程的数值结果。最后，第5节给出结论。

**第2节 一维浅水方程的有限差分WENO-CST格式**

本节我们发展了针对一维浅水方程(1.3)的含常数减法技术（CST）的高阶平衡有限差分WENO格式。附录A简要回顾了Jiang和Shu引入的有限差分WENO（WENO-JS）格式。

[24][25][26]中CST的思想是在(1.3)的动量方程两边添加相同的项g?b?，并将方程组改写为平衡变量形式（称为"CST预平衡形式"）：

?/?t [H, hu] + …

**第3节 二维浅水方程的有限差分WENO-CST格式**

本节我们以逐维方式将一维WENO-CST格式扩展用于求解二维浅水方程(1.1)。

计算区域被划分为Nx × Ny个均匀单元I?,? = I? × J?，其中

I? = [x???/?, x???/?], x? = ?(x???/? + x???/?), Δx = x???/? - x???/?, i = 1, …, Nx,
J? = [y???/?, y???/?], y? = ?(y???/? + y???/?), Δy = y???/? - y???/?, j = 1, …, Ny。

类似于一维情形，我们引入新变量??定义为

?? = ??(t) = 1/(Nx Ny) Σ?=?^Nx Σ?=?^Ny H?,?, H?,? = H(x?, y?, t)，

其中H(x, y, t) = h(x, y, t) + b(x, y)为水面高度。

**第4节 数值结果**

本节我们展示了有限差分WENO-CST格式求解含不同地形起伏的一维和二维浅水方程的数值结果。在模拟中，时间离散采用经典的四阶Runge-Kutta方法，CFL数为0.6。重力常数取g = 9.812 m/s2。由于解析解不可用，我们采用有限差分WENO-XS格式[1]在Nx = 3000（一维）下获得的数值结果作为参考解。

**结论** 本文发展了平衡五阶和七阶有限差分WENO-CST格式来求解一维和二维浅水方程。采用WENO-JS重构[27]以保持光滑区域的高阶精度并控制间断附近的虚假振荡。采用常数减法技术（CST）实现对稳态解的通量梯度与源项之间的精确平衡。通过CST，通量…

**作者** 陶战京 | 刘木林 | 张敏
吉林大学数学学院，长春，130012，中国