C0非对称内部惩罚方法求解带点态状态约束的椭圆型分布最优控制问题

《Computers & Mathematics with Applications》：A C0 nonsymmetric interior penalty method for an elliptic distributed optimal control problem with pointwise state constraints

　　

摘要

本文研究了一种针对带有逐点状态约束的椭圆分布式最优控制问题的C0非对称内部罚方法。该问题定义在二维或三维的凸多边形/多面体域上。我们通过使用弱互补形式推导了数值解在H2型能量范数下的收敛性，并通过数值实验验证了理论结果。

引言

设Ω????（??=2,3）为一个有界凸多边形/多面体域，yd∈L2(Ω)，β>0为常数。我们考虑如下带有逐点状态约束的椭圆分布式最优控制问题[1]：

(???,???????)=argmin(??,??)∈???[12?‖???????‖2??2(Ω)+??2?‖??‖2??2(Ω)]，

其中(??,??)∈?????10(Ω)×??2(Ω)，满足

∫Ω????·????????=∫Ω????????，???∈??10(Ω)，??1≤??≤??2，a.e. in Ω。

我们假设函数??1,??2∈??(?????Ω)∩??2(Ω)满足??1
由于Ω是凸的，椭圆正则性理论表明??∈??2(Ω)∩??10(Ω)且??=?Δ??。因此，由(1.1)–(1.3a)定义的最优控制问题等价于如下极小化问题：

求u∈K使得

???=argmin??∈???[12?‖???????‖2??2(Ω)+??2?‖Δ??‖2??2(Ω)]，

其中??={??∈??2(Ω)∩??10(Ω):??1≤??≤??2 in Ω}。

通过简单计算，我们可以将(1.4)改写为

???=argmin??∈???[12???(??,??)?(????,??)]，

其中??(??,??)=????(??,??)+∫Ω????????，??(??,??)=∫Ω(Δ??)(Δ??)????。

最优控制问题的解由(???,???????)给出，其中???????=?Δ???。注意(1.6)退化为中心支板的位移障碍问题。因此，我们也将(1.6)视为一个障碍问题。障碍问题是带有逐点不等式约束的经典椭圆变分不等式。同时，最优控制问题也可以简化为第一类变分不等式。两个问题都允许统一的变分格式，并共享相似的结构性质，这使所提出的有限元方法可以统一应用于障碍问题和最优控制问题。

根据[2]、[3]中的正则性理论，我们知道在yd、ψ1和ψ2的假设条件下，(1.6)的解???属于??3??????(Ω)∩??2,∞??????(Ω)。此外，在?Ω附近状态约束是不活跃的，因此???在?Ω的邻域内满足双调和方程，从而???∈??2+??(Ω)。其中椭圆正则性指数α∈(0,1]由Ω的几何形状决定[4]、[5]。在第2节中，我们证明了在附加假设条件下???具有更高的正则性，这对于三维中的收敛分析是必要的。

二阶障碍问题的有限元方法已在[6]、[7]及相关文献中进行了研究。收敛分析的关键要素是使用变分不等式的强互补形式。这在二阶障碍问题的解在适当假设下属于H2(Ω)时是有效的[8]、[9]。四阶障碍问题的有限元方法分析中的一个主要难点是解通常不属于H4(Ω)，即使数据是光滑的也不属于。这意味着变分不等式(2.1)的互补形式仅以弱意义存在。

文献[10]提出了一种新的收敛分析，该方法可应用于C1有限元方法、经典非协调有限元方法和间断Galerkin方法。此外，文献[11]、[12]对新的弱格式进行了研究以估计误差。文献[13]引入了中间障碍问题，将连续和离散障碍问题联系起来。

带有状态约束的椭圆最优控制问题的有限元方法已在[14]、[15]中进行了研究。文献[11]研究了最优控制问题的非协调有限元方法，其中在误差分析中使用了新的弱互补形式。文献[12]研究了混合有限元方法，给出了先验和后验误差估计。文献[16]首先提出了两种P1有限元方法用于一般多边形/多面体域上的椭圆分布式最优控制问题。这些方法本质上属于混合方法，如[17]中所总结的。随后，P1有限元方法被应用于具有Neumann边界条件的最优控制问题[18]。该框架已扩展到更复杂的案例和间断Galerkin方法[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。与前述采用二阶椭圆问题数值技术来解决最优控制问题的策略不同，本文采用的方法是为四阶问题设计的。

在过去几年中，C0内部罚(C0IP)方法因其优势而受到关注以解决PDE[1]、[13]、[23]、[24]、[25]、[26]，这些方法最初是为解决二阶问题而设计的。C0IP方法在[27]中被引入用于求解四阶椭圆边界值问题。此外，C0IP方法也已应用于最优控制问题[1]、[26]、[28]。本文提出并分析了针对椭圆分布式最优控制问题(1.6)的C0非对称内部罚Galerkin(C0-NIPG)方法。非对称C0IP方法的主要优势在于，无需惩罚参数σ充分大即可保证稳定性，这与对称情形不同。此外，其强制性与σ的大小无关，这极大地便利了理论分析和数值实现。

本文其余部分组织如下。第2节介绍了连续问题的一些结果，第3节建立了离散方法。第4节进行收敛分析。第5节给出数值结果，第6节总结结论。

本文余下部分，我们用符号C表示泛指的正常数，该常数与h无关，且在不同位置可能不同。

2 连续问题

在本节中，我们将问题(1.6)表述为变分不等式，推导其互补格式，并给出后续收敛分析所需的正则性结果。

3 C0非对称内部罚Galerkin方法

在本节中，我们针对问题(2.1)引入C0-NIPG方法。我们首先介绍全文使用的符号，然后表述离散障碍问题，最后分别引入插值和富化算子Πh和Eh。

4 收敛分析

在本节中，我们建立了所提出的C0-NIPG方法的收敛结果。我们首先推导若干初步估计，然后证明主要收敛结果，最后给出额外的收敛估计。在以下结果中，我们假设在二次方法中α∈(0,1]，在三次方法中α∈(1,3/2)，使得min(r?1,α)=α。

5 数值结果

在本节中，我们给出了障碍问题(1.6)在ψ1=?∞时的若干二维数值算例。离散问题通过原始-对偶主动集策略求解[43]、[44]。第一个算例在正方形域上求解且具有精确解。第二个和第三个算例在相同的正方形域上求解但没有精确解。最后一个算例在五边形域上求解且没有精确解。我们报告了各种情况下的数值误差和收敛率。

6 结论

本文针对二维和三维凸域上的带有状态约束的椭圆最优控制问题(1.1)–(1.3)发展并分析了C0-NIPG方法。理论上，我们在适当假设下建立了二次和三次方法的最优控制问题的误差估计。数值实验验证了理论结果。

所提出的C0-NIPG方法可以进一步扩展到非凸多边形域上的椭圆问题。

Yanhua Mei | Jintao Cui | Yi Zhang | Fuzheng Gao

暨南大学数学系，广州，广东，510632，中国