时间分数阶Schr?dinger方程在分级网格上Alikhanov格式的逐点误差估计

《Computers & Mathematics with Applications》：Pointwise error estimate of Alikhanov scheme on graded mesh for time fractional Schr?dinger equation

　　

摘要：本文研究的是具有Caputo分数阶导数（阶数α∈(0,1)）的时间分数阶Schr?dinger方程，其解在初始时刻表现出弱奇异性。通过在时间方向上使用级次网格上的Alikhanov近似来逼近Caputo导数，并结合空间方向上的有限差分格式，构造了一个完全离散方案。此外，推导了离散方案的稳定性和逐点时间误差分析，结果表明通过选择较温和的级次参数，可在正时间上获得最优的2阶收敛精度。数值算例验证了理论分析的正确性。

引言：近年来，时间分数阶Schr?dinger方程因其对分数动力学和量子力学等物理领域的深远影响和广泛应用，已成为科学研究中不可或缺的工具[1]-[7]，并持续受到众多学者的广泛关注和深入探索。考虑如下时间分数阶Schr?dinger方程及其相应的边界条件和初始条件：

i D_t^α v - Δv + bv = f(x,t), x∈Ω, 0<α<1，v=v(x,t)为复值函数，ω??^d（d=1,2）为有界计算域，b表示势，b, v_0∈c(ω?)，f∈c(q?)，q?:=Ω?×[0,T]。D_t^α表示标准的Caputo分数阶导数算子（参见[8]），其定义为： d_t^α v(x,t)=1/Γ(1-α) ∫_0^t (t-ξ)^(-α) ?v(x,ξ) ?ξ dξ, t>0。

最近，针对时间分数阶Schr?dinger方程（TFSE）的解析解和数值解已有一些研究方法。例如，Zhang等人[9]研究了级次网格上L1方案求解具有弱奇异解的时间分数阶Schr?dinger方程的误差估计。Zhao等人[10]发展了完全离散Alikhanov有限元方法求解具有非光滑解的时间分数阶Schr?dinger方程。Li等人[11]在时间方向和空间方向上分别使用L1方案和Galerkin有限元方法离散非线性时间分数阶Schr?dinger方程，最终获得了完全离散方案的无条件最优误差估计。此外，Zhang等人[12]提出了两种数值方案求解时间分数阶Schr?dinger方程，这两个方案通过在时间方向上结合L1方案逼近Caputo分数阶导数，以及在空间上使用Fourier-Galerkin/Legendre-Galerkin谱方法构造而成。Hu等人[13]发展了非均匀L1方案的双网格有限元方法求解非线性时间分数阶Schr?dinger方程。在我们的前期工作[14]中，我们建立了级次网格上L1方案求解时间分数阶Schr?dinger方程的局部误差估计。关于TFSE的更多研究可参见[15]-[18]。在上述求解时间分数阶Schr?dinger方程的数值方法中，大多数使用L1方案逼近Caputo导数。然而，L1方案最高只能达到2-α阶收敛，因此本文选择更高阶的Alikhanov方案（也称为L2-1σ），该方案在正时间上可达到2阶收敛精度。

据我们所知，当前文献中尚未有关于Alikhanov方案求解TFSE的局部误差分析研究。因此，我们将使用Alikhanov方案在时间方向上逼近Caputo导数，并使用五点差分格式在空间方向上离散，构造时间分数阶Schr?dinger方程的完全离散方案，然后证明该方案的无条件稳定性和逐点时间收敛性。

本文其余部分组织如下：第2节介绍级次网格上Caputo分数阶导数的Alikhanov方案，然后构造问题(1)的完全离散方案。第3节给出稳定性和收敛性分析的主要结果。第4节给出若干数值结果以验证理论分析的准确性。最后一部分简要总结全文。

记号：全文中，我们用A?B表示A≤CB，其中C为一个一般常数，C的值可能逐行变化，但始终与网格大小无关。A?B表示A?B且B?A。

第2节：Alikhanov-FDM完全离散方法

我们仅考虑二维情形下的TFSE，计算域Ω=(0,L)2，一维情形只需稍作修改即可得到。

设N为正整数，t_k = T(k/N)^r（k=0,1,…,N）为级次参数r≥1的级次网格。设时间步长τ_k = t_k - t_{k-1}（k=1,2,…,N），τ = t_1，网格比ρ_k = τ_k/τ_{k+1}。对于空间网格，我们使用均匀网格{(x_m, y_n)|x_m = mh, y_n = nh, 0≤m,n≤M}，其中h=L/M，M为正整数。我们用v_{m,n}^k和V_{m,n}^k分别表示精确解和数值解。

第3节：稳定性与局部误差估计

我们用(·,·)和‖·‖表示标准的离散L2内积和范数。众所周知，(Δ_h v, w) = -(?_h v, ?_h w)。在证明格式(8)-(10)的稳定性和收敛性之前，我们首先给出以下引理。

引理6：对于任意网格函数{v_{m,n}^k | 0≤k≤N, 0≤m,n≤M}，有

Re((D_N^α v)_{k-θ}, v_{k-θ}) ≥ (D_N^α ‖v‖)_{k-θ} ‖v_{k-θ}‖,

其中我们使用‖v_{k-θ}‖ := θ‖v_{k-1}‖ + (1-θ)‖v_k‖（为简化记号）。

证明：根据定义(5)，有

Re((D_N^α v)_{k-θ}, v_{k-θ}) = θ Re((D_N^α v)_{k-θ}, v_{k-1}) + (1-θ) Re((D_N^α v)_{k-θ}, v_k) = θ Re(Σ_{j=0}^{k-1} g_{k-j} (v_{k-j-1} - v_{k-j})...

第4节：数值实验

本节给出若干数值结果以验证定理3中局部收敛阶的准确性。例1给出空间一维且具有精确解的例子，例2给出空间一维但无精确解的例子。例3为二维数值实验。在这些数值实验中，我们使用L2范数误差进行估计。

记 E_{N,M} := max_{1≤k≤N} ‖v^k - V^k‖, e_N := ‖v^N - V^N‖。

例1：一维空间

在(1)中取L=1, T=1, b(x)=1。我们选择……

结论：本文使用Alikhanov方案在时间方向和五点差分格式在空间方向上，在级次网格上建立了求解具有弱奇异解的时间分数阶Schr?dinger方程的完全离散方案。然后给出了完全离散方案的分析稳定性和逐点误差估计。证明了通过使用较温和的级次参数r≥2，该方案的局部收敛阶可达到最优的2阶。

利益冲突声明：作者声明不存在利益冲突。

Jun Ma | Tao Sun | Hu Chen
中国海洋大学数学科学学院，青岛，266100，中国