改进的DKMQ24壳单元，其弯曲应变中采用伪曲率，运动学横向剪切应变中采用伪法向量

《Computers & Structures》：Refined DKMQ24 shell element with pseudo-curvatures in bending strains and pseudo-normals in kinematic transverse shear strains

　　

摘要

本文提出了一种改进的 4 节点四边形壳单元，每个节点具有 6 个自由度。基于原始 DKMQ24 单元 [53] 开发，改进的 DKMQ24 在角节点处使用平滑伪法向量，以确保离散壳模型中相邻单元间的法向连续性。这些伪法向量用于计算伪曲率，从而实现膜行为与弯曲行为之间的完全耦合，并进一步用于计算沿单元边的常数运动学横向剪切应变。该公式保持在修正的 Reissner-Mindlin-Naghdi 框架内。它采用 MITC4 型假设剪切应变来抑制剪切锁定，并应用人工钻削刚度以在共面构型中保持矩阵秩。数值验证证明，改进的 DKMQ24 单元通过了所有补丁测试，无锁定，保持适当秩，并在基准问题中快速收敛。此外，该单元在 Scordelis-Lo 屋顶和受压圆柱中表现出与网格细化一致的一致性收敛，最重要的是，它在 Raasch 钩中表现出可靠性能，而原始公式在此发散。总之，这些改进证实了在运动学横向剪切应变中使用伪法向量以及在弯曲应变中使用伪曲率的有效性。

引言

在结构力学中，使用有限元方法有效分析薄至中等厚度的壳结构取决于稳健、精确的单元。这些单元必须为任意壳几何提供精确解。它们还必须考虑膜效应、膜 - 弯曲曲率耦合以及横向剪切应变效应。因此，高效的壳单元必须为膜主导和弯曲主导的结构产生准确结果，同时满足刚体运动约束而不引入虚假模态。基于对效率和精度的这种需求，大多数单元开发人员专注于制定低阶（利用更简单的近似）三角形或四边形单元，以便有效地用于实际工程应用。

壳单元公式的制定基于四种主要理论方法。首先，Koiter-Kirchhoff-Love (KKL) 壳理论 [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] 忽略横向剪切效应，并将弯曲应变视为位移的二阶导数作为未知量。在有限元分析 (FEA) 中，这需要保持 C¹ 连续性。相比之下，Reissner-Mindlin-Naghdi (RMN) 壳理论 [9], [10], [11] 纳入了横向剪切应变，适用于薄壳及中等厚度壳。在这里，应变被分为面内和面外分量，弯曲应变表示为位移的一阶导数，放松了连续性要求至 C⁰，因此只需要 C⁰ 连续性。然而，考虑横向剪切应变的壳单元可能在薄壳中经历剪切锁定。基于 Naghdi 理论构建的壳单元示例见 [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]。第三种方法，退化壳单元，源于连续介质理论，但施加特定条件来表示中面运动学 [21], [22], [23], [24]。正如 Buechter 和 Ramm [25] 讨论的那样，RMN 和退化壳公式之间存在相似性。第四种方法，实体壳单元 [26], [27], [28], [29]，派生自实体单元，每个节点具有平移自由度。当相对表面上的节点间距离远小于其他维度时，需要特殊处理。这些方法在壳单元公式中的综合处理可在有限元分析教科书中找到 [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36]。

平板壳单元是通过叠加板弯曲和膜刚度矩阵构建的，并具有常法向量。因此，平板单元无法计算膜 - 弯曲耦合对弯曲能量的影响。为了解决这个问题，其他一些公式使用曲面壳单元，例如 MacNeal [37] 引入的非共面 QUAD4 单元。

为了解决剪切锁定等挑战，开发了几种高级公式技术。ANS (假设自然应变) 方法专门应用于面外分量，在这种情况下是横向剪切应变。众所周知的 ANS 由 Hughes 和 Tezduyar [38] 于 1981 年开创，随后 Bathe 和 Dvorkin [39] 于 1985 年提出了张量分量混合插值 (MITC4) 技术。进一步的进展包括 Simo 和 Hughes [40] 的单元变体以及 Katili 等人 [41] 的统一多边形单元。最近，Ko 及其同事引入了 MITC4 + 单元 [42], [43]，而 Niemi [44] 通过 MITC4S 单元扩展了 MITC4。单独来看，离散剪切间隙 (DSG) 技术，另一种 ANS，由 Bletzinger 和 Koschnick [45], [46] 引入。Gruttmann [47] 和 Kim [48] 开发的单元利用了增强自然应变 (ENS) 方法，而 Abdalla [49] 采用了一种不同的策略，通过识别和消除剪切锁定的来源来利用应变梯度符号。离散剪切投影方法 (DSPM)，例如 Q4γ_s 单元 [50], [51], [52] 所用的方法，丰富了克服有限元公式中剪切锁定的工具箱。

基于 RMN 壳模型，Katili [53] 引入了 DKMQ24，这是 DKMQ (离散 Kirchhoff-Mindlin 四边形) 板单元的扩展 [54]。这种每个节点有六个自由度的壳单元完全耦合了膜和弯曲能量，且无剪切锁定。该单元在各种基准问题中显示出收敛性。为了增强 DKMQ24 的膜行为，?tembera 和 Füssl [55] 应用了 Allman 型钻削旋转近似 [56]。与此同时，Ran 等人 [57] 采用 MITC 方法 [23], [39], [42], [43] 改进 DKMQ24 的膜行为。为了正确表示扭曲梁中的刚体旋转运动，Ran 采用了传统的 Reissner-Mindlin (RM) 弯曲应变公式，该公式不考虑膜 - 弯曲耦合。不幸的是，Ran 等人对 DKMQ24 的修改没有提供扭曲梁或 Raasch 钩问题的数值结果。因此，在这些重要基准中排除膜 - 弯曲耦合的影响仍未知。

最近的进展进一步突显了稳健四边形壳单元公式的进步。Li [58] 于 2024 年提出了四边形缩放边界谱 (QSBS) 壳单元，该单元只需要中面离散化并消除了旋转自由度。引入了一种修改的节点法向计算以确保准确性。最近，Ko 等人 [59] 将 MITC4 和 MITC4 + 单元扩展为 MITC4/D 和 MITC4+/D，这些单元纳入了节点钻削旋转并改进了膜行为。这些四节点壳单元每个节点也有六个自由度。

本研究的主要目标是基于修正的 RMN 模型改进 DKMQ24 四边形壳单元 [53]，而不像参考文献 [55] 和 [57] 那样改进膜行为。与前代不同，改进的 DKMQ24 在每个节点上采用平滑伪法向量，这些向量被插值以计算弯曲应变中的伪曲率，实现完全的膜 - 弯曲耦合。这种方法对于准确模拟弯曲应变能量并成功解决 Raasch 钩问题至关重要，而之前的版本未能收敛。MITC4 型的 ANS 处理消除了剪切锁定，而伪法向量应用于运动学横向剪切应变。此外，节点伪法向量提供了三维中的完全 C⁰ 连续性。引入了人工钻削旋转刚度以防止刚度矩阵秩亏。第 2 节详细说明了公式，第 3 节展示了针对标准基准测试的验证。

章节摘要

改进的 DKMQ24 壳单元的公式制定

为了区分改进版和原始 DKMQ24 单元的公式，此后术语 DKMQ24 将表示新单元，而早期版本将被称为 DKMQ24*。除非另有说明，以下公式适用于 DKMQ24 和 DKMQ24*。

数值结果

通过与其他选定的四节点四边形壳单元进行比较来检查改进的 DKMQ24 单元的性能。考虑的 24 自由度单元包括 DKMQ24₁+ [55] 和 DKMQ24₂+ [55]，以及 ABAQUS 中的 S4 单元 [60]。在 ADINA 中使用的 20 自由度单元 MITC4 [23] 和 MITC4+ [24] 也被检查。DKMQ24₁ + 和 DKMQ24₂ + 的结果取自参考文献 [55]，而 MITC4、S4 和 MITC4+ 的结果取自参考文献 [62]。为了强调

结论

基于 RMN 壳模型提出了之前开发的 DKMQ24* 单元的改进方案。该公式保留每个节点三个平移和三个旋转自由度。改进的 DKMQ24 单元引入实际中面的平滑法向量，这些向量作为节点的伪法向量，以确保法向连续性并更准确地计算伪曲率。通过采用 MITC4 型假设自然应变消除了横向剪切锁定，并且

CRediT 作者贡献声明

Rani Salsabila Katili: 撰写 - 原稿，可视化，软件，正式分析，数据管理。Irwan Katili: 撰写 - 审阅 & 编辑，监督，项目管理，方法论，资金获取，概念化。Sundararajan Natarajan: 撰写 - 审阅 & 编辑，验证，监督。Stéphane P.A. Bordas: 撰写 - 审阅 & 编辑，监督。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争经济利益或个人关系可能会影响本文报道的工作。

致谢

本研究由印尼教育基金会 (LPDP) 代表印尼高等教育、科学与技术部资助，并在 EQUITY 项目下管理 (合同号 4302/B3/DT.03.08/2025 和 573/PKS/R/UI/2025)。

Rani Salsabila Katili|Irwan Katili|Sundararajan Natarajan|Stéphane P.A. Bordas