引言
拓扑优化已成为结构设计中重要的框架，能够在满足预定约束的同时高效利用材料。已提出多种方法，包括实体各向同性材料带惩罚（SIMP）方法 [1], [2], [3], [4]，双向演化结构优化（BESO）[5], [6], [7], [8]，以及基于水平集的方法 [9], [10]，近期研究还引入了人工智能以提高计算效率 [11], [12], [13]。其中，SIMP方法因其公式简洁且适用范围广而最为广泛采用。
尽管密度法具有上述优势，包括SIMP方法在内的基于密度的拓扑优化方法将优化后的设计表示为以单元为单位的密度场，而非明确的几何边界。虽然这种表示方式对优化有效，但当需要将结果解释为明确的几何形状以用于后续计算机辅助设计（CAD）建模时，可能会带来挑战。为抑制棋盘格等数值不稳定现象，密度滤波器已被广泛采用 [14], [15], [16]。然而，这会不可避免地模糊材料分布并引入中间密度区域，使得难以区分实体和空洞。Heaviside投影等技术 [17], [18], [19] 能够促进密度场的二值化。然而，所得结构的边界仍然依赖于底层网格的离散化。特别是在采用结构化四边形网格时，边界往往与单元边缘对齐，可能导致阶梯状表示，从而增加几何解释的难度。后处理方法，包括等密度轮廓提取和基于骨架的重建 [20], [21], [22]，可以提供更光滑的边界。然而，由于这些方法从密度场重建几何，优化过程中预测的机械性能与重建模型的机械性能之间可能存在偏差，如文献[23]所示。
使用几何图元进行拓扑优化以直接描述结构边界的研究也有所探讨。移动可变形部件（MMC）方法 [24], [25], [26] 利用可移动、变形、重叠和合并的几何部件来定义结构。该方法能够生成兼容CAD的边界，但对部件的初始位置敏感，且在处理复杂几何时效果较差 [27]。另一种方法采用可变形单纯复形（DSC）进行显式界面表示，同时允许拓扑变化 [28], [29]。为在保持精确边界描述的同时提高计算效率，已提出将拓扑优化与后续形状优化相结合的混合策略 [30]。基于体拟合的网格公式 [31], [32] 也被引入以提高边界精度，但它们依赖重划分或自适应网格来控制单元畸变，这使优化过程更加复杂。
另一研究路线专注于基于水平集的拓扑优化，以实现结构边界的清晰表示。在该框架中，几何由水平集函数描述，能够在不依赖中间密度的情况下实现实体与空洞区域的清晰区分。为提高分析精度，已引入增强型有限元公式，如扩展有限元方法（XFEM）。早期研究表明，水平集方法与增强型公式的结合能够实现精确的界面表示，特别是在流体力学和结构优化问题中 [33], [34], [35], [36]。
后续研究致力于提高这些方法的稳健性和适用性。CutFEM提供了一种针对三维不可压缩流问题的稳健的基于水平集的拓扑优化框架，纳入了稳定化和弱施加边界条件 [37]。界面增强广义有限元方法（IGFEM）也被提出，以增强边界表示和数值稳健性，同时保持标准有限元公式的优势 [38], [39], [40]。这些增强型方法已应用于多种领域，包括流固耦合、断裂力学、波传播和电磁设计 [39], [40], [41], [42]。
通过嵌入域离散化方法引入了一种结合拓扑优化和形状优化的统一框架 [43]。尽管该方法能够同时解决两种优化问题，但它限制了优化算法选择的灵活性。此外，多项研究探讨了形状与拓扑的同步优化 [44], [45], [46]，其中形状优化通常通过将节点坐标直接作为设计变量来实现。为控制节点位移并防止网格畸变，这些方法采用基于偏微分方程（PDE）的滤波器来平滑和正则化节点位移，从而在整个优化过程中维持单元质量 [47], [48], [49]。沿此研究方向，提出了一种组合策略，即通过使用边界节点坐标作为设计变量对外边界进行形状优化，同时在内部区域进行基于密度的拓扑优化 [45]。更近期的工作扩展了这一概念，在不规则离散化框架中考虑整个域的节点坐标作为设计变量，并引入基于PDE的正则化和自适应网格细分以保持网格质量并确保优化过程中的稳定收敛 [46]。
本研究提出了一种二维拓扑优化框架，将基于密度的公式与可变形网格相结合。通过将单元密度和节点位移同时作为设计变量，所提出的方法扩展了设计灵活性，并能够在相对粗的网格下捕捉精细结构特征。采用基于局部单元连接的基于区域的策略来抑制单节点连接并促进密度二值化，同时在节点位移下保持一致性 [50], [51]。通过单元形状的几何约束和采用增强型有限元方法（E-FEM）[52], [53] 来维持网格质量和数值可靠性，后者可提高畸变单元的精度并有助于抑制优化过程中过度的网格畸变。因此，所提出的框架能够在无需重划分或修改网格连接性的情况下生成光滑且明确的结构边界，从而实现简化且完全集成的拓扑优化过程。
本框架建立在此前工作[23]的基础上，该工作将密度变量和节点位移同时纳入拓扑优化。然而，先前的框架建立在结构化网格上，限制了其准确表示具有曲线或不规则边界的复杂设计域的能力。为克服这一局限，本研究采用不规则三角剖分网格离散化，结合增强型有限元和基于区域的技术。这使方法获得了更大的几何灵活性，并提高了其在一般设计域上的适用性。
此外，所提出的框架具有相对简单的优化流程。在先前框架[23]中，引入了额外的辅助函数及相应的权重因子来强制边界光滑和维持网格质量。相比之下，通过采用增强型有限元，本方法能够在不引入此类辅助项的情况下实现光滑结果。此外，尽管节点位置直接作为设计变量处理，所提出的方法在优化过程中不需要修改网格连接性或自适应重划分程序。
本文其余部分组织如下。第2节介绍了所提出的公式，包括设计变量的定义、增强型有限元公式、基于区域的技术以及单元质量的几何约束。第3节提供了各种设计域上二维拓扑优化问题的数值结果，并包括通过周长控制调节复杂度和通过选择性增强提高计算效率的额外策略。第4节对本文主要发现进行总结并作为结论。
