垂直振动枢轴摆的分数阶Euler-Lagrange建模

《Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control》：Fractional Euler-Lagrange modeling of a pendulum with a vertically vibrating pivot

　　

本研究针对枢轴受迫做垂向简谐运动的单摆，建立了经典与分数阶变分模型。研究人员首先基于Euler-Lagrange方程导出了非线性经典运动方程及其小角度Mathieu型简化形式。随后，通过引入一个保维的Caputo型算子（阶次0<α≤1）引入记忆效应，并在所采用的端点约定下得到了相应的左-右分数阶Euler-Lagrange方程。小角度线性化分数阶问题被重构为一个耦合系统，由左侧状态方程与右侧辅助方程组成。在有限区间0≤t≤5上，采用左、右Caputo导数的L1离散格式计算数值解。该离散化产生一个耦合稀疏线性边值系统，研究人员针对多个α值与激励频率W直接求解该系统。结果表明，有限时间响应强烈依赖于这两个参数。在所选条件下，W<ω₀、W=ω₀与W>ω₀三种情形产生了定量与定性均不同的轨迹。最大放大倍数、均方根响应、与对应α=1解的偏差以及类Hamiltonian诊断量被用于补充时间历程与参数轨迹分析。此外，当α→1时，分数阶方程及其数值解趋近于相应的整数阶边值问题。因此，该公式为研究记忆效应与预设基础激励之间的相互作用提供了一个可复现的框架。

分数阶Euler-Lagrange建模：垂直振动枢轴摆的动力特性研究

一、研究背景与问题

单摆是经典力学中最基础的模型之一，广泛应用于描述各类物理与工程系统。然而，当摆的枢轴受到外部激励而振动时，系统处于参数激励状态，可能引发共振、失稳及非线性振荡行为，并在振动控制、结构动力学和基于振动的能量采集等工程领域具有重要应用价值。经典整数阶模型通常被用于描述此类系统的动力学行为，但大量真实系统表现出记忆与历史依赖特性，传统整数阶方程难以捕捉这些效应。

分数阶微积分为此提供了强有力的数学工具。由于分数阶导数具有天然的非局部性，非常适合描述当前状态不仅取决于瞬时条件、还取决于系统历史状态的动力学系统。Caputo与Riemann-Liouville分数阶导数因其能够将记忆依赖项直接纳入控制方程而受到广泛关注。近年来，分数阶摆模型的研究逐渐增多，但已有研究主要集中在无阻尼自由摆、阻尼振荡系统及质量随时间变化的系统。截至目前，尚未有研究针对垂直振动枢轴激励下的摆系统建立分数阶Euler-Lagrange模型。本研究的核心动机正是填补这一空白：首次推导垂直振动枢轴摆的分数阶Euler-Lagrange运动方程，并将其与经典对应模型进行直接对比。

二、研究内容与主要技术方法

研究人员以垂直振动枢轴驱动的单摆为对象，系统开展了以下工作：首先，通过Euler-Lagrange公式推导经典运动方程；然后，将Caputo分数阶导数纳入Lagrangian框架，构建分数阶运动方程；最后，对不同分数阶阶次α与激励频率W进行数值模拟，考察这些参数对系统响应的影响。物理参数设定为质量m=1 kg，摆长l=1 m，重力加速度g=9.81 m/s2，固有频率ω₀=3.1321 rad/s，振动幅值P₀=1 m。

主要关键技术方法包括：（1）基于Euler-Lagrange变分原理分别建立经典与分数阶运动方程，分数阶部分采用保维Caputo型广义速度并依据Agrawal分数阶变分原理（分数阶最小作用量原理）推导左-右分数阶Euler-Lagrange方程；（2）将小角度线性化分数阶方程重写为耦合系统，包含左侧状态方程与右侧辅助方程；（3）采用L1公式对左、右Caputo导数进行数值离散，在有限区间0≤t≤5 s（步长h=0.005 s，N=1000步）上构建耦合稀疏线性边值系统，并利用稀疏线性代数直接求解，离散代数残差的无穷范数低于1.23×10?13；（4）采用最大位移放大倍数、RMS响应偏差和类Hamiltonian诊断量对结果进行定量分析。边界条件为x?(0)=0.1，y?(5)=0（混合端点条件）。

三、研究结果

1. 频率匹配情形（W=ω₀=3.1321 rad/s）

数值结果表明，最大位移放大倍数G_max随α从0.975增大至1.000而从1.0000上升到1.2370，最大角位移达到0.1237 rad。参数轨迹y?(t)-x?(t)显示，α的改变显著影响x?与辅助变量y?之间的有限时间关系。在频率匹配条件下，分数阶效应使得系统响应幅度略低于经典情形，且α越小，放大效应越弱。

2. 超共振激励情形（W=4 rad/s>ω₀）

在所研究的三个频率中，这一情形产生了最大的有限时间放大效应。G_max分别为3.6519（α=0.975）、2.4612（α=0.980）、1.8613（α=0.985）、1.5626（α=0.990）、1.4324（α=0.995）和1.3366（α=1.000）。可见，在此激励频率下，减小α会增大有限时间响应幅度。α=0.975与0.980时最大角位移分别为0.3652 rad与0.2461 rad。这说明分数阶阶次在超共振条件下对系统响应幅度具有显著调节作用，记忆效应的增强（即α减小）导致更大的振荡放大。

3. 亚共振激励情形（W=1 rad/s<ω₀）

在该频率下，位移曲线彼此接近，G_max介于1.0000与1.0429之间，所有α取值下的最大角位移均低于0.105 rad。三种激励频率中，此情形下位移幅度对分数阶阶次的敏感性最低。这暗示在低频激励条件下，分数阶记忆效应对响应幅度的影响相对有限。

4. 收敛性验证与类Hamiltonian诊断

分数阶与经典位移轨迹之间的RMS偏差随α趋近1而趋于零。在α=0.975时，W=ω₀、W=4 rad/s与W=1 rad/s对应的RMS偏差分别为0.0170、0.1395与0.0178，定量证实了分数阶解趋近于对应整数阶边值问题的解。类Hamiltonian变化量F_H(t)-F_H(0)呈现非单调变化，这归因于预设枢轴激励在Lagrangian中引入了显式时间依赖性。

四、讨论与结论

在讨论层面，研究人员指出：由于施加了终端条件y?(5)=0，末端时刻辅助变量的行为不能解释为物理阻尼；类Hamiltonian诊断量的非单调变化源于显式含时的枢轴激励。在整数阶极限方面，当α=1时分数阶方程在数学上精确约化为经典小角度方程（除右Caputo导数约定带来的整体符号因子外），且满足相同的混合边界条件，从而在控制方程层面建立了理论自洽性。

研究结论可概括为：本研究首次建立了垂直振动枢轴摆的分数阶Euler-Lagrange变分模型，系统分析了分数阶阶次α与激励频率W对有限时间响应的影响。超共振激励产生最大位移放大，亚共振激励对分数阶阶次最不敏感；RMS偏差随α→1趋于零，定量验证了分数阶解向整数阶边值问题的收敛性。该模型应视为唯象记忆模型，分数阶阶次与特征时间有待实验或本构数据标定。未来工作应包括网格细化分析、完整非线性分数阶方程的数值处理、激励幅值-频率平面内的稳定性图谱、与其他分数阶变分算子的对比，以及对具有可验证记忆行为系统的实验标定。本研究为理解参数激励机械系统中记忆效应的作用提供了一个可复现的理论框架，对分数阶力学建模的推广具有方法论意义。