《Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control》：Stability of the inverted pendulum system: An optimized equivalent linearization approach
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摘要：研究人员提出了一种用于分析两自由度（2DOF）系统（由安装在推车上的倒立摆（IP）组成）非线性振动的统一框架。与现有依赖直接数值积分或限制性小角度假设的方法不同，本工作引入了优化等效线性化方法（OELM）与El-Dib频幅公式的新颖组合，通过等效周期强迫
摘要：研究人员提出了一种用于分析两自由度（2DOF）系统（由安装在推车上的倒立摆（IP）组成）非线性振动的统一框架。与现有依赖直接数值积分或限制性小角度假设的方法不同，本工作引入了优化等效线性化方法（OELM）与El-Dib频幅公式的新颖组合，通过等效周期强迫函数将非自治控制方程系统地转换为自治形式，这种处理此前从未应用于该类耦合非线性振荡器。在线性和双频响应状态下对线性化方程进行了检验，得出了闭环稳定性判据，这些判据与完整数值解高度吻合。控制稳定性的关键因素是施加力的振幅、振动振幅和摩擦系数；摩擦系数的增加会促进不稳定性，而较高的振动振幅则可增强动态稳定性，这一违反直觉的发现对设计具有直接影响。通过全面的时间历程分析验证了该框架，显示出最小误差和在缺乏混沌运动的情况下持续的周期行为。研究结果适用于广泛的工程系统。推车上的倒立摆可作为自平衡机器人、赛格威型车辆和双足运动系统的典型模型，在这些系统中，在外部激励下保持直立稳定性至关重要。研究结果还为隔振平台、主动悬架系统以及受波浪诱导载荷作用的近海结构的设计提供参考。由该框架生成的稳定性图谱为调整此类系统中的阻尼和强迫参数提供了实用的设计指南。因此，该研究拓宽了非线性振荡系统的分析方法，并为机器人学、结构动力学和机械控制领域的工程师提供了具体指导。
论文解读文章
**研究背景与现存问题**
非线性振动系统在工程力学、材料科学和生物物理学中扮演着核心角色。在结构工程中，经典线性假设无法捕捉振幅依赖的频率漂移、超谐波共振和共存稳定吸引子等现象。倒立摆（Inverted Pendulum, IP）系统是非线性动力学与控制领域的经典基准问题，其围绕内在不稳定的直立平衡点工作，是检验稳定性理论与反馈控制的理想平台。倒立摆系统的拉格朗日结构产生含有三角非线性项的耦合二阶常微分方程，在一般激励下难以获得闭式解。现有的控制策略如混合人工智能方法、强化学习、滑模控制等虽取得了进展，但这些方法均未能为完整的非线性两自由度系统提供无小参数限制的闭式稳定性判据。传统的摄动方法（如平均法、多尺度法）要求“小参数”约束，无法处理强非线性或多自由度系统，并会产生难以处理的久期项。等效线性化方法（Equivalent Linearization Approach, ELA）通过用最优线性等效项替代非线性项提供了一种实用替代方案，而优化等效线性化方法（Optimized Equivalent Linearization Method, OELM）通过最小化线性化力的均方残差并保持能量包络，能够同时精确处理强阻尼和参数激励。
**研究内容与结论**
本研究针对安装在推车上的两自由度倒立摆系统，开发了一个统一的分析框架。研究工作将OELM与El-Dib频幅公式相结合，通过等效周期强迫函数将非自治控制方程系统地转换为自治形式，这是该方法首次应用于此类耦合非线性振荡器。研究区分了可公度（共频）与非可公度（变频）两种响应状态，并在线性和双频响应状态下检验了线性化方程，得出了闭式稳定性判据，这些判据与完整数值解高度吻合。研究确定了控制稳定性的三个关键参数：摩擦力系数μ、振动振幅A和外力振幅δ。研究发现，摩擦力系数μ的增大促进不稳定性，而更高的振动振幅增强动态稳定性，外力振幅δ的增大则具有稳定作用。该框架通过全面的时间历程分析得到验证，显示出最小误差和持续的周期行为。论文发表在《Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control》上，其研究结果可直接应用于自平衡机器人、赛格威型车辆、双足移动系统、隔振平台、主动悬架系统和近海结构等领域。
**主要关键技术方法**
本研究主要采用了以下关键技术方法：（1）优化等效线性化方法（OELM），该方法通过最小化线性化力的均方残差来寻找最优等效线性刚度系数，从而将非线性项替换为最优线性等效项；（2）El-Dib频幅公式，这是一种非摄动框架，能够在弱非线性区域之外提供闭式频率预测，误差低于1%；（3）非自治到自治系统的变换技术，通过等效周期强迫函数将显式时间依赖的周期强迫项转换为频率依赖的自治函数，该技术此前仅用于单自由度系统；（4）对控制方程进行了无量纲化处理或重构，并运用贝塞尔函数构建闭式频幅关系。本研究为理论模型研究，无样本队列来源。
**研究结果**
*共频稳定性分析：*
在共频状态下，研究人员通过消除水平位移变量，将两自由度系统约化为仅含角度变量的非线性单自由度振荡器。利用El-Dib频幅公式推导出系统共频Ω2的闭式表达式，并定义了稳定性条件：当式(31)右侧为正时系统稳定。通过数值计算验证，近似解与原始方程数值解吻合良好。研究发现增大摩擦系数μ会使过渡曲线上移，扩大不稳定区域，确认μ为失稳参数；增大振动振幅A会使过渡曲线下移，扩大稳定区域，证实较大振动振幅具有稳定作用；振幅B对稳定性无可测影响。在(μ-ω)平面上，外力振幅δ的增大使过渡曲线上移、稳定区域扩大，表明较大力振幅是稳定因素。系统性误差分析表明，在稳定区域内远离共振时，水平位移X(τ)的相对误差为0.4–0.8%，角位移θ(τ)的相对误差为16–22%。误差的主要来源是θ方程中的sinθ非线性产生的三次谐波分量（振幅约为A3/6），而非线性化过程本身的缺陷。
*双频稳定性分析：*
在双频状态下，研究人员引入两个独立的试解频率Ω?和Ω?，分别对水平运动方程和角运动方程进行线性化，得到两个耦合的频率方程，求解后获得闭式的Ω?2和Ω?2表达式。稳定性要求两个频率的平方同时为正，即条件(54)必须满足，这比共频情况下的单一判据更为严格。数值验证显示，该近似解的绝对误差分别为0.002446（θ）和0.00155（X），显示出与数值解的优良一致性。在(δ-ω)平面上，与共频情况不同，出现了两条过渡曲线，在两曲线之间形成了不稳定带。增大μ会使不稳定带向上移动并扩大；振动振幅A的行为发生反转，较大的A反而缩小稳定区域、表现为失稳因素；而外力振幅δ保持其稳定特性，增大δ会扩大稳定区域。这种振幅A效应的反转揭示了两种运动状态下稳定机制的质的不同。
*近似失效条件分析：*
研究明确了四种可能导致OELM近似失效的情形：（1）接近稳定性边界（过渡曲线）时，Ω2→0，均方最小化问题变得病态，误差比稳定区域内部值增大5–15倍；（2）当强迫频率接近固有频率（ω≈Ω或ω≈Ω?, Ω?）时，重整化力f(ω)发散，误差可达5–20%，建议在设计中采用安全的频率间隔（|ω-Ω|>0.15）；（3）振幅较大（A?1）时，三次谐波分量变得显著，θ的误差超过20–40%，建议采用包含基频和三次谐波的双项谐波平衡法进行补充；（4）质量比ρ很大（ρ?10）时，被忽略的惯性修正项（数量级为O(ρ2)）导致误差增长。在上述失效区域之外，即稳定区域内部、远离共振、振幅适中（A?0.8）且ρ?5时，OELM对X(τ)的相对误差小于1%，对θ(τ)的相对误差小于25%。
**讨论总结与研究结论**
讨论部分强调，从动力系统理论的角度来看，当系统支持两个活跃振动模态时，传统的单频稳定性评估可能明显不保守。不稳定带的识别，即即使在中等的摩擦水平下系统也不稳定的离散参数区间，凸显了在线性化稳定性模型中忽略多频耦合的风险。从工程角度看，该框架直接适用于多种细长、轻阻尼结构系统，包括高耸通信塔和波浪作用下的海洋立管、大气上升段运载火箭的俯仰-平动耦合动力学、瞬态载荷下平移和旋转模态难以同步的人形机器人肢体和假肢，以及装有摆式调谐质量阻尼器的抗震结构。该研究成果为控制系统设计提供了明确、可直接应用的闭式稳定性判据。研究结论部分翻译如下：本研究提出了一种基于优化等效线性化方法的两自由度倒立摆系统非线性振动的统一分析框架。通过引入等效周期力，非自治控制方程被转化为无量纲自治形式，从而可以系统地分析两种物理上不同的运动状态。在第一种状态下，两个自由度共享一个共同的振动频率，系统的稳定性由单个频率条件控制。在第二种状态下，每个自由度以其自身的不同频率演化，稳定性要求两个频率条件同时满足，这是一个更加严格的标准，产生了更丰富、更复杂的稳定性景观。该分析框架为处理更广泛的非线性振动问题提供了新的分析工具。
