r阶均值的分解及其在价格指数中的应用

《Journal of Official Statistics》：A Factorization of Means of Order r and Its Applications to Price Indices

　　

本文提出了r阶均值的一种分解方法，为标准指数之间的数值比较提供了一种方法。研究人员将该分解应用于由r阶二次均值表示的超指数族、基本指数（Carli、Dutot和Jevons指数）以及Lowe、Young及相关指数。提供了描述性度量以评估指数之间的差异。研究并讨论了经验数据，以评估所提出的分解的理论结果。

**论文解读：r阶均值的分解及其在价格指数中的应用**

价格与数量指数领域中，r阶均值（mean of order r）占据核心地位，其特例包括算术平均、几何平均和调和平均。许多标准指数，如Laspeyres指数、Paasche指数和Lloyd-Moulton指数，均可表示为r阶均值，而Fisher指数则是Laspeyres与Paasche指数的几何平均。已有研究通过泰勒展开近似不同均值间的差异，例如Dalén（1992）和Diewert（1995）针对价格相对数展开的方法，以及Vartia和Suoper?（2018）在r=0处的展开。然而，这些方法均涉及近似。本文提出了r阶均值的一个精确分解，无需近似即可评估算术与几何均值之间的差距，并进一步提供描述性度量以比较竞争指数。该研究的意义在于为指数数值比较提供了一种精确且直观的工具，有助于深入理解不同价格指数之间的内在联系。

研究人员将这一分解应用于三类指数：由r阶二次均值（quadratic mean of order r）表示的超指数族（superlative indices），基本指数（elementary indices）中的Carli、Dutot和Jevons指数，以及Lowe、Young及相关指数。通过分解推导出描述性度量，并利用回归模型得到简化条件以判断指数的大小顺序。实证研究使用了Diewert（2021）提供的19种冷冻果汁产品的月度单位价值价格和数量数据，该数据集无趋势但存在季节性变化。研究结果表明，所提出的度量能有效解释指数间的关系，并为指数排序提供可操作的判据。

主要技术方法包括：第一，推导了r阶均值的分解公式（方程7），将r阶均值表示为几何均值与一系列基于变异系数（coefficient of variation，CV）的乘积，该分解精确且便于解释；第二，对变异系数的平方进行泰勒展开，得到近似公式（如方程14），简化了后续分析；第三，设置描述性回归模型（如方程34、50、51），估计非比例性度量及推导排序条件（如方程36、40、55、56）。数据方面，使用Diewert（2021）的冷冻果汁数据集，包含19种产品，未涉及实验试剂或培养步骤。

**研究结果**

**3.1 Quadratic Means of Order r**（二次均值，r阶）
通过分解（方程16）和泰勒展开，将Fisher指数（P_0t^F）与T?rnqvist指数（P_0t^T）之差分解为三个分量δ₁、δ₂和δ₃。理论分析表明，δ₁为O(ρ²)主导项，δ₃为O(ρ³)次主导项，而δ₂为O(ρ⁴)可忽略。实证部分（4.1节）以第11期为基期，计算了P_0t^F、P_0t^T和Walsh指数（P_0t^W）。结果发现，P_0t^F与P_0t^T较为接近，而P_0t^W偏离较大，原因是该数据集中数量波动比价格剧烈。δ₁(1/2)的符号主导了Fisher与T?rnqvist指数的差异方向，且该符号可能受到少数离群值的影响，例如t=20时期物品1和2的异常值使δ₁(1/2)变为负值。

**3.2 Elementary Indices**（基本指数）
利用分解和近似条件，推导出Carli（P_0t^C）、Dutot（P_0t^D）和Jevons（P_0t^J）指数的排序条件。通过回归模型（方程34）定义a₁，得到条件（36）和（40），确定三种指数的顺序取决于非比例性度量a₁-1。当a₁落入特定区间时，分别出现P_0t^D≤P_0t^J≤P_0t^C、P_0t^J≤P_0t^C≤P_0t^D以及P_0t^J≤P_0t^D≤P_0t^C等情形。实证部分（4.2节）以第14期为基期，计算了四种指数，观察P_0t^C0t^D出现在多个时期。参考线a₁=1和a₁=1-η_0·t能准确预测三指数顺序，除t=4时a₁≈1-η_0·t外。此外，P_0t^CSWD（等权Fisher型指数）与P_0t^J几乎重合，符合对称分布下预期。

**3.3 Lowe, Young, and Related Indices**（Lowe、Young及相关指数）
建立两个加权回归模型（方程50和51），推导出条件（55）和（56）。当参数(a₁,b₁,b₂)落入区域F₁或F₂时，可判断Lowe指数（P_0t^Lo）、Young指数（P_0t^Y）和几何Young指数（P_0t^GY）的顺序。条件（55）和（56）与指数比率的散点图显示，近似条件在识别顺序方面表现良好。与Armknecht和Silver（2014）通常认为P_0t^Lo>P_0t^Y的结论不同，本文数据中P_0t^Lo可能低于P_0t^GY或高于P_0t^Y，原因在于本文数据集包含快速上下波动的价格相对数，而非平稳通胀或通缩时期。此外，通过分解P_0t^L/P_0t^Lo的三个因子，发现替代效应（即P_0t^GL/P_0t^GY）主导该比率，而权重变化对价格离散的影响可忽略。

**讨论与结论**

论文最后在结论部分总结：本文提供了r阶均值的分解，并应用于价格指数，实证研究表明所提出的度量能有效阐明指数间的关系。具体而言，（a）二次均值r阶指数（如Fisher和T?rnqvist）之间的差距可由价格离散变化δ₁(ρ)和价格相对数分布偏度δ₃(ρ)度量；（b）Carli、Dutot和Jevons指数的顺序由非比例性度量a₁-1通过条件（36）和（40）决定；（c）Lowe、Young和几何Young指数的顺序可由条件（55）和（56）推断。这些条件提供了明确的数值判据，有助于实际统计工作中指数公式的选择与评估。与Laspeyres和Paasche指数的关系则不可一概而论，取决于商品价格弹性、价格相对数离散度的变化以及条件（55）和（56）的具体取值。未来研究可将该分解方法拓展至单位值指数、民主和富豪指数以及链式指数等领域。该研究发表在《Journal of Official Statistics》。