基于涡旋理论的并联结构中锐角间隙共振分析

《Marine Structures》：Vortex-based analysis of gap resonance for sharp corner in side-by-side structures

　　摘要本研究从涡动力学角度探讨了具有锐角结构的并排结构中间隙共振的发生现象。首先采用势流分析来确定共振频率和非共振频率。然后应用基于RANS-VOF框架的CFD模型来研究间隙共振现象期间的涡动力学。在整个间隙共振过程中，发现了一种新的涡能量转换（VEC）机制。VEC过程包括两个连续阶段：在第一阶段，锐角区域积累涡量，并将水平流动转变为朝向间隙区域的垂直流动；新形成的涡旋捕获大量流动能量并将其输送到间隙区域。在第二阶段的早期，发生涡脱落现象，进一步积累场能量；随后涡旋尺寸增大并维持该区域的能量。在第二阶段后期，涡旋消散，能量转化为流动动能，产生较大的垂直方向速度，从而引发众所周知的间隙共振现象。

1. 引言
随着全球能源需求的持续增长，海洋已成为探索新能源资源的关键领域。大型海上浮动结构，如浮式生产储存和卸载装置以及浮式液化天然气设施，在海上勘探中得到了越来越多的应用。为了提高勘探效率并收集更多资源，如图1所示，涉及两艘船的并排作业在海上实践中变得越来越普遍。需要注意的是，由于船只之间的距离很近，因此形成的间隙宽度远小于船只自身的尺寸。工程实践和研究表明，在某些特定波频下，可能会发生大幅度的自由表面振荡，这种现象称为间隙共振，会导致水动力荷载显著增加，对结构安全构成威胁并降低浮动系统的运行效率[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。
早期的间隙共振研究主要依赖于势流理论[9]、[10]、[11]。Molin等人[12]、[13]基于线性势流理论推导出了一种分析公式，用于估算狭窄间隙内流体振荡的自然频率。然而，尽管势流理论能够准确预测共振频率，但由于忽略了粘性效应[14]、[15]，它往往高估了共振幅度。为了克服这些局限性，人们对传统的势流模型进行了各种改进。通过加入额外的阻尼项来考虑粘性效应，显著提高了幅度预测的准确性[16]、[17]、[18]。越来越多的全非线性模拟被用来研究波浪与结构的相互作用和共振现象。Feng和Bai[19]开发了一种全非线性数值模型来研究两艘驳船之间的间隙共振，并揭示了非线性效应对共振响应的影响。Song等人[20]提出了一种基于ALE的有限元势流求解器，用于全非线性自由表面流动的模拟，实现了时域内波浪与结构相互作用的准确模拟。Cong等人[21]引入了一种具有自适应人工粘性的稳定高阶谱模型，以提高非线性自由表面模拟的数值稳定性。Gao等人[22]使用全非线性Boussinesq模型研究了由集中瞬态波浪群引起的港口共振，强调了非线性波浪动力学在共振现象中的重要性。

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图1. 海上实践中的多艘船作业：(a) 货物装卸过程，(b) 供应作业过程。
尽管改进的势流方法相比传统理论提供了更好的共振预测，但它们捕捉非线性和粘性效应的能力仍然有限。随着计算能力的不断提高，计算流体动力学（CFD）研究受到了越来越多的关注，这使得可以直接解析势流模型中忽略的粘性耗散、涡脱落和流动分离效应[23]、[24]、[25]。
最近的研究从瞬态演化、相位动力学、滞后现象、几何效应和粘性耗散等方面进一步加深了对非线性间隙/月池共振的理解。Song等人[26]研究了两艘并排船舶在转移作业期间间隙内的时变非线性流体振荡，表明瞬态共振响应受入射波参数和作业窗口的强烈影响。Song和Jin[27]进一步研究了船舶间转移中的非线性共振滞后现象，揭示了相位锁定、相位捕获和相位漂移在控制非线性滞后行为中的作用。对于凹陷月池共振，Song[28]使用粘性和非线性势流求解器分析了非线性共振特性，强调了反射波、透射波、辐射波、谐波响应和粘性能量耗散的作用。Lou等人[29]进一步研究了凹陷位置对流体共振的影响，表明几何不对称性可以显著影响相位稳定性、能量同步和非线性谐波的产生。这些研究为理解非线性共振机制提供了有用的参考，尽管在锐角间隙共振中的基于涡旋的能量转换过程尚未得到充分阐明。
Jiang等人[30]、[31]、[32]使用基于OpenFOAM的波浪水槽进行了数值模拟，研究了有间隙和无间隙的箱形系统的流体动力行为。结果表明，间隙内的流体共振显著影响了两体系统中的波浪响应、水动力系数和垂直波浪力，而在基本频率下三体系统中也出现了类似的共振特征。在更高频率下，两体系统和三体系统之间的差异相对较小，但在多间隙配置中，共振显著影响了总波浪力。Chua等人[33]、[34]通过粘性模拟量化了与涡脱落和边界层摩擦相关的能量损失，并将其转化为耗散系数，用于扩展势流公式。Feng等人[35]使用多相Navier-Stokes模型模拟了两艘并排驳船之间的共振，证明流动分离和涡脱落是导致势流预测与实验观察结果差异的主要机制。他们的研究表明，锐角底部会促进强烈的涡旋生成，这会耗散动能并降低间隙内的波浪高度，而圆角则会生成较弱的涡旋并提供有限的阻尼。Moradi等人[36]使用二维波浪水槽数值研究了入口配置对间隙共振的影响，结果表明间隙入口的曲率显著改变了共振的幅度和频率，较大的曲率会导致更高的共振频率和较低的波高。Gao等人[37]使用基于OpenFOAM的数值波浪水槽模拟了具有自由升降运动的两个并排箱形物体之间的稳态间隙共振，并系统地研究了垂直自由度和相对箱体位置对结构上波浪载荷的影响。Gao等人[38]将这一框架扩展到由非线性集中波浪群引发的瞬态间隙共振，强调了在宽带波浪激励下间隙内自由表面高度的强烈放大和随后的衰减。此外，Gong等人[39]使用CFD研究了两个不同宽度的箱形物体之间狭窄间隙中的流体共振，表明宽度比显著改变了共振频率、峰值波高和相关的水动力载荷。

先前的实验研究也为涡流诱导的流体-结构相互作用机制提供了宝贵的见解。Li等人[40]通过PIV测量对层流中柔性鞍形张力膜屋顶进行了实验研究，揭示了速度和涡量场的详细演变过程以及前沿分离和涡脱落在结构振动中的作用。他们的结果表明，涡流诱导的共振和流动分离在能量传递和气动弹性响应中起着关键作用。此外，Li等人[41]进一步研究了封闭型鞍形膜结构的流体-结构相互作用，表明涡动力学与结构响应之间的耦合控制了能量从流体到结构的传递过程。通过PIV和POD分析，系统地表征了涡脱落模式和能量积累。这些发现突显了涡流演化在流动诱导共振现象中的重要性，为当前基于涡旋的分析提供了有益的参考。
应当注意的是，本研究仅关注锐角配置，未提供圆角情况下的直接数值数据。因此，关于圆角间隙的后续讨论基于先前研究中的观察结果，而非当前模拟。尽管间隙共振的物理机制已经被研究了一段时间，但尚未形成统一的解释。无论是锐角还是圆角间隙，都可能在特定频率下发生共振。这种现象通常被解释为波能在间隙内的捕获。然而，能量是如何被捕获的，以及为何仅在某些频率下发生此类捕获，仍然是一个未解之谜。一般来说，圆角间隙的共振强度高于锐角间隙。这可以归因于圆角的平滑过渡，它显著抑制了涡旋的形成，从而减少了能量耗散。因此，更多的波能被保留并参与间隙共振过程，导致更强的共振响应。
尽管先前的研究使用势流理论、粘性流模拟和实验方法广泛研究了间隙共振，但其背后的物理机制仍未完全阐明。现有的解释主要将共振现象归因于波能捕获、准驻波行为或受限间隙内的粘性阻尼效应。然而，这些解释主要集中在宏观共振特征上，没有明确说明涡动力学在能量传递和共振放大过程中的作用。为了解决这个问题，本研究提出了一种基于详细涡动力学分析的涡能量转换（VEC）机制。与将涡旋主要视为耗散结构的传统解释不同，所提出的VEC框架强调了涡旋在水平流动运动和垂直共振振荡之间传递能量中的积极作用。这一机制为理解锐角间隙共振现象提供了新的物理视角。
然而，大多数现有的CFD研究主要关注在稳态或瞬态共振条件下预测自由表面高度和波浪载荷，而没有解决间隙共振的整个物理周期。特别是，从初始角涡旋生成到其生长、消除，最终衰减和耗散的详细涡动力学过程尚未系统地量化。在这项工作中，我们进行了从间隙共振开始到结束的完整周期分析，追踪了一个完整共振周期内涡旋结构及其相关能量转换过程的发展。这使我们能够阐明入射波能量如何转化为涡旋能量，然后再转化为间隙内的垂直动能，从而建立了基于涡旋的间隙共振机制。在本研究中，使用势流理论预测锐角底部配置的共振频率，而计算流体动力学（CFD）模拟用于研究相关的非线性流动现象。发现了一种新的现象，称为涡能量转换（VEC），它涉及两个阶段：涡旋生成和涡旋消除。重要的是，锐角底部几何形状在塑造VEC过程中起着决定性作用，因为其锐角促进了间隙内涡旋的生成和演变。这些发现为间隙共振的物理机制提供了新的见解，并为后续的实用海上多艘船系统研究奠定了基础。与仅能预测共振特征但忽略粘性效应和涡动力学的势流研究相比，本研究解决了涡旋结构的演变及其相关的能量传递过程。此外，虽然之前的CFD研究研究了流场和耗散机制，但它们通常将涡旋视为被动或耗散特征。相比之下，本研究通过涡能量转换（VEC）机制证明了涡旋在共振中的积极作用，提供了间隙共振的新物理解释。

2. 间隙共振分析的理论框架
为了研究狭窄间隙内流体运动的流体动力行为，本研究采用计算流体动力学（CFD）直接解析控制间隙共振的粘性流动特征。CFD（计算流体动力学）能够详细捕捉涡旋生成、流动分离、自由表面演变以及能量耗散效应，这些因素在塑造共振响应中起着决定性作用。以下小节将介绍数值框架、控制方程以及相关的建模策略。

2.1 基于RANS-VOF的流体动力学建模
为了研究流体域在时间域内的流体动力响应，本研究利用连续性和雷诺平均纳维-斯托克斯方程（Reynolds-Averaged Navier–Stokes equations）来模拟浮体间隙内的不可压缩流体的流动行为。模型假设流体是不可压缩的，因为对于本研究中提到的小尺度浮体而言，空气的可压缩性影响可以忽略不计。数值模拟使用RANS-VOF求解器进行，其中有限体积法（finite volume method）被用来离散化RANS方程的积分形式。预测-校正算法（predictor-corrector algorithm）被用来确保连续性控制方程和动量控制方程之间的正确耦合。选择RANS-VOF模型的原因是它能够准确捕捉与间隙共振相关的复杂流动特征。之前作者[42]的研究表明，通过引入雷诺平均和有效湍流粘性（Reynolds averaging and effective turbulent viscosity），雷诺平均纳维-斯托克斯模型可以有效地描述流动分离、再循环和涡旋演变。与层流模型相比，RANS模拟更适合解决剪切层不稳定性和涡旋动力学问题，特别是在产生强涡旋结构的尖锐边缘附近。这些涡旋结构在能量传输、耗散和间隙共振问题的共振放大中起着关键作用。此外，VOF方法能够准确追踪自由表面，从而正确捕捉波浪运动和涡旋动力学之间的耦合。因此，本研究采用RANS-VOF框架来更真实地表示实际的物理过程。

对于湍流建模，采用了改进的K-Omega模型变体SST K-Omega，该模型通过求解湍流动能的传输方程和特定耗散率来确定湍流涡粘性（turbulent eddy viscosity）。同时，VOF方法也被用来准确追踪自由表面的位移，这对于模拟水波与浮动结构之间的相互作用至关重要。不可压缩粘性流动的控制方程表示如下：
(1) ????=0,
(2) ??(???????? + (????)??) = ???? + ???2?? + ??，
其中 ?? 是时间，?? 是速度向量，?? 是密度，?? 是单位体积的体力，?? 是压力。这里，?? 是动态粘度，?? 是重力加速度。在不同流体相的边界和界面处，?? 和 ?? 的定义取决于局部体积分数 ??，分别为：
(3) ??=?????? + (1???)????,
(4) ??=?????? + (1???)????，
下标 ?? 和 ?? 分别代表水和空气。为了捕捉流体界面的运动，体积分数 ?? 的传输方程表示为：
(5) ???????? + ??(????) + ??[??(1???)????]=0，
其中 ???? 是界面的压缩速度，定义为：
(6) ????=????|??|???|???|，
其中 ?? 是一个范围在 [0,1] 内的系数，以确保向界面方向压缩时不会引入 tangential 方向的人工扩散。项 ??[??(1???)????] 作为人工压缩项，以保持尖锐的界面边缘并维持体积分数场的有界性。入射波使用一阶斯托克斯波理论（first-order Stokes wave theory）来表示。波浪水槽在入口区域施加具有幅度和频率 ?? 的正弦振荡来产生波浪。在本研究中，应用一阶斯托克斯波理论来产生规则波，指定自由表面高度和波速分量为：
(7) ??=?2cos(?????????),
(8) ?????=???cosh(????)2sinh(???)cos(?????????),
(9) ?????=???sinh(????)2sinh(???)sin(?????????),
其中 ?? 表示来波的自由表面高度，? 表示入射波的高度。参数 ?? 和 ?? 分别对应波的角频率和波数。x 和 z 方向的波速分别由 ????? 和 ????? 表示，?? 表示从静水面的垂直距离。

在本研究中，使用RANS模型通过时间平均控制方程来模拟湍流。RANS模型的一个关键组成部分是引入壁函数（wall functions）和涡粘性（vortex viscosity），用于模拟靠近墙壁的湍流效应。壁函数用于模拟湍流流动的近壁区域，在该区域粘性效应占主导地位。直接求解边界层在计算上非常昂贵，尤其是对于高雷诺数流动。壁函数提供了一种计算效率高的方法来近似墙壁附近的速度分布，而无需完全求解边界层。

在湍流边界层中，靠近墙壁的速度分布可以用壁的对数律来描述：
(10) ???+ = 1??ln(??+)+??，
其中 ??+ 是无量纲速度，??+ 是从墙壁的无量纲距离，?? 是冯·卡门常数（大约为0.41），?? 是一个常数。从墙壁的无量纲距离 ??+ 定义为：
(11) ??+ = ????????，
其中 ?? 是从墙壁的物理距离，???? 是摩擦速度，?? 是运动粘度。摩擦速度与壁面剪应力 ???? 的关系为：
(12) ?????=√??????，
其中 ?? 是流体密度。

在湍流中，涡旋在动量和能量传输中起着重要作用。RANS模型通过湍流粘性的概念来考虑这些涡旋的效应。湍流粘性（????）用于表示由于湍流涡旋而增强的动量传输。其定义为：
(13) ????=??????2??，
其中 ?? 是湍流动能，?? 是湍流耗散率，???? 是一个常数（????≈0.09）。

2.2 势流理论
为了准确研究间隙共振的发生频率，应用势流理论来计算频率。速度势 ?? 作为空间的函数，满足拉普拉斯方程：
(14) ?2??(??)(??,??,??)=0，
其中 ??=1,2。
这里，上标 ?? 表示浮体的索引。总速度势通常分解为三个部分：入射波势 ????、衍射势 ??(??)?? 和辐射势。由于所有物体在分析中都是固定的，因此辐射势被设为零。因此，与每个物体相关的速度势简化为：
(15) ??(??)(??,??,??)=????(??,??,??)+??(??)??(??,??,??)。
为了准确捕捉这些流体动力相互作用，引入了格林函数（Green’s function）来满足控制方程和相关的边界条件。速度势是基于频域格林函数计算的。格林函数满足以下方程：
(16) ?2??=??2??????2+??2??????2+??2??????2=??，
其中 ?? 表示狄拉克δ函数（Dirac delta function）。

使用格林函数，每个物体的衍射势 ???? 可以表示为：
(17) ????=?????????????，
其中 ?? 表示分布在物体表面 ?? 上的源强度。Molin [12] 提出了一种广泛使用的近似方法来估计两体系统中的活塞型共振频率 ????。得到的公式将共振频率与间隙的几何特性和流体属性相关联：
(18) ????≈√???+??????3(????/??)，
其中 ?? 是重力加速度，? 表示水深，???? 和 ?? 分别是间隙的宽度和长度。函数 ??3 定义为：
(19) ???=1π{
{?{
{?sinh?1(??????)+??????sinh?1(??????)+1/3(??????+??2?????)?1/3(1+??2?????)√???????2+1}
{?{
{?。

3. RANS-VOF模型的验证
为了评估势流模型和CFD模拟在捕捉间隙共振现象方面的准确性，进行了两种类型的验证。第一步是网格独立性研究，以确保结果不受计算网格分辨率的影响。第二步是将数值结果与实验数据比较，称为模型验证。对于这两种类型的验证，数值结果都与Zhao等人[43]报告的实验测量结果进行了比较。如图2所示，物理模型由两个具有圆角的相同矩形浮体组成，固定在原位，受到来自横梁方向的入射波的作用。每个浮体的长度为 ??=3.333m，高度为 ??=0.425m，吃水深度为 ??=0.185m，宽度为 ??=0.767m，半径为 ??=0.083m。两个浮体之间的间隙宽度表示为 ????。

3.1 网格收敛性研究
为了在避免过度消耗计算资源的同时保持足够的计算精度，进行了网格独立性研究。如图3所示，计算域的垂直范围设置在自由表面下方为3??，上方为??，总高度为4??，相当于1.7米。由于浮体受到横梁海浪的影响，物体两端的长度对计算结果的影响很小。因此，计算域长度 ???? 设置为物体长度的三倍，????=3??=9.999米。生成了一个角频率为 ??=6.16 rad/s、波幅为 ????=16 mm 的规则波，波长为 ????=1.50米。为了正确考虑波浪的发展，计算域被扩展到覆盖物体上游和下游三个波长 ????，总流向长度为 ????=10.5米。

整个流体域使用修剪后的网格生成器（trimmed mesher）和自动化的表面重新网格化框架（surface remesher）进行离散化。在自由表面区域，对波浪传播区域和物体周围的狭窄间隙应用了网格细化。细化程度根据计算网格的基单元尺寸 ???? 来选择。在远离自由表面、波峰和间隙区域的地方使用基础网格尺寸，而在接近自由表面处，网格密度逐渐增加，以足够准确地捕捉自由表面动态和波浪-结构相互作用。

选择了三种网格尺寸进行验证，这些尺寸由分辨率参数 ???? 来表征，???? 定义为波长 ???? 与网格尺寸的比值。???? 的值分别为15、20和25，分别对应粗网格、中等网格和细网格方案。每个波周期使用了总共1000个时间步长，以确保模拟结果的稳定性和准确性。选择了一个在计算精度和成本之间取得平衡的网格分辨率作为最终配置。这三种网格方案的参数总结在表1中。

表1. 粗网格、中等网格和细网格的网格方案以及分辨率参数 ???? 和总网格数
| 网格方案 | 分辨率参数 ???? | 总网格数 |
| --- | --- | --- |
| 粗网格 | 15 | 4,067 |
| 中等网格 | 20 | 6,794 |
| 细网格 | 25 | 11,478 |

如图4所示，在不同网格分辨率下获得了间隙中共振波高 ????? 的时间历史。图中的灰色虚线代表实验值。时间域响应通过FFT转换到频域，然后将数值结果与相应的实验测量结果进行比较。为了量化偏差，采用了简化的归一化根均方尖角误差（NRMSE）形式，表示为：
(20) NRMSE=|?????????(??)??????????(??)|/?????????(??)×100%，
其中 ?????????(??) 和 ?????????(??) 分别表示数值和实验的频域响应。?? 表示在给定网格分辨率下单个时间步长所需的CPU时间（见表2）。

为了便于解释，应该注意的是，NRMSE 表示数值结果与参考结果之间的偏差。较低的NRMSE值表示更好的一致性和更高的准确性，而较高的NRMSE值反映了较大的差异和较低的准确性。根据NRMSE的比较，中等网格表现出最平衡的性能。尽管细网格提供了更高的准确性（较低的NRMSE），但其计算成本显著较高，导致整体效率降低。相比之下，虽然粗网格在计算上效率较高，但显示出相对较大的误差。中等网格在准确性和计算效率之间取得了良好的平衡。因此，本研究中的所有后续模拟都使用中等网格分辨率进行。需要注意的是，在所有模拟中，对近壁网格应用了相同的边界层处理方法。这种一致的边界层处理确保了??+ 值尽管随不同的网格分辨率而变化，但仍保持在湍流建模的可接受范围内。因此，无需对不同网格尺寸下的??+进行单独验证，因为在所有情况下近壁流动行为都得到了充分解析。表2. 粗网格、中等网格和细网格的NRMSE比较。索引：粗网格、中等网格、细网格；NRMSE分别为200.576、142.78、230.64、133.2。

2. 数值方法的验证
使用势流方法、CFD模拟得到的两个浮动体之间间隙内的无量纲波高???与赵等人[43]的理论预测和实验数据进行了比较，结果如图5所示。第一阶段的验证重点是势流方法预测共振频率的能力。结果表明，势流理论能够准确识别间隙系统的共振频率。然而，由于忽略了粘性耗散和与涡旋相关的能量转换，它高估了共振振幅。第二阶段的验证涉及在势流理论预测的共振频率下对不同波幅????进行CFD模拟。由于CFD方法仅在时间域中操作，因此应用快速傅里叶变换（FFT）处理波高时间历程，以提取相应的频域响应进行定量比较。CFD结果与实验测量结果非常吻合，准确捕获了不同波条件下的共振频率和振幅。这一全面的验证确立了随后频域势流分析的可靠性，并确认了CFD在时域模拟中的有效性。

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图5. 无量纲波高???与赵等人[43]的理论和实验结果以及包括CFD、势流预测在内的数值结果的比较。

4. 共振的流体动力学分析
如图6所示，计算域包括空气和水两个相，上部区域初始化为空气，下部区域初始化为水。数值模拟使用雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）求解器和体积控制（VOF）方法来捕捉空气-水界面。采用RANS框架是因为它考虑了雷诺平均和湍流粘性，这提高了解析流动分离、涡旋演化和能量耗散的能力，比层流模型更好。类似基于涡旋动力学的数值框架已由本文作者在之前的研究中成功应用[44]。对于湍流闭合，采用了SST ??–??模型，因为它在预测近壁流动分离和剪切层不稳定性方面具有很强的鲁棒性。压力-速度耦合使用SIMPLE算法解决。动量方程采用二阶迎风格式，而压力项则使用二阶格式离散化。VOF方法中的界面捕获方程使用压缩格式离散化，以保持清晰的自由表面。计算域中使用结构化网格，并在自由表面和尖角区域附近进行局部网格细化，以准确捕获涡旋脱落和界面变形。特别是，时间步长设置为波周期的1/1000，以确保对波浪和涡旋动力学的足够时间分辨率。

为了研究多个浮动体的共振特性，本研究重点关注尖角底部的双体配置。如图7所示，这些浮动体具有相同的 principal dimensions，长度为??=2.5m，宽度为??=0.5m，吃水深度为??=0.2m，高度为??=0.5m。相邻体之间的间隙设置为????=0.1m。

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图6. CFD模拟中使用的计算域、相分布和边界条件的示意图。

对尖角配置进行了势流模拟，以评估共振强度，定义为无量纲自由表面升高???，通过将间隙内的波高与入射波高进行归一化得到。如图8所示的结果表明，系统表现出一个主导的共振峰。图中的黑色虚线表示由方程（9）预测的共振频率。根据这一分析，尖角底部配置的共振频率确定为????=5.62rad/s。此外，为了比较共振和非共振条件，还选取了一个非共振频率??nr=4.00rad/s。

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图7. 在尖角底部配置下具有相同 principal dimensions 和间隙定义的不同配置的示意图。

需要注意的是，本研究中的势流分析主要用于识别系统的特征共振频率和非共振频率。由于采用了无粘性假设，势流模型能够有效预测共振频率，但无法捕捉到涡旋生成、流动分离和能量耗散等粘性效应。根据势流分析获得的频率，选择了代表性的共振和非共振波条件，随后将其作为CFD模拟的输入参数。这样，势流结果为定义波条件提供了指导，而CFD分析则提供了对涡旋动力学和相关能量转换机制的详细见解。这种结合方法在两种方法之间建立了明确的联系，使得能够高效识别关键频率并对共振过程进行深入的物理解释。

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图8. 尖角配置下波高???随波频率??的变化，比较了势流解和预测的共振频率。

4.1. 不同共振配置之间的共振强度比较
为了研究尖角底部配置的共振响应，在共振频率????和非共振频率???????下进行了CFD模拟，如图9所示。在间隙中点定义了一个监测点????来记录自由表面升高。随后使用该位置的波高时间历程来评估和比较共振和非共振条件下的系统响应。

尖角底部配置的分析首先检查了监测点????处自由表面升高的时间演变。在共振频率????和非共振频率??nr下提取了时间历程。如图10所示，这些记录用于评估不同激励条件下的系统响应。此外，对时域信号应用快速傅里叶变换（FFT）以获得相应的频域谱，从而能够定量比较共振和非共振行为。下标??和?????分别代表共振和非共振条件。通过将自由表面升高定义为??=????/????（其中????和????分别表示间隙内的波高和入射波高）来对时域结果进行无量纲化。

图9. 尖角底部配置的示意图以及间隙内监测点????的定义。

可以清楚地观察到共振和非共振条件之间的区别。与势流预测一致，在共振条件下，间隙内的无量纲自由表面升高??显著增加，达到3.13，而在非共振条件下仅保持在0.86。为了进一步明确，将在共振和非共振频率下CFD预测的值及其偏差总结在表3中。比较显示，在共振条件下存在明显差异：势流预测明显高于CFD结果，达到12.03，偏差为332.73%。相比之下，在非共振条件下，两种方法的预测几乎相同，偏差仅为4.65%。这种行为表明CFD捕捉到了势流理论无法表示的流动现象。以下部分将研究导致这种差异的物理机制。

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图10. 尖角底部配置在共振和非共振频率下监测点????处的无量纲自由表面升高??的（a）时域和（b）频域。

对于双体系统，每个体面向来波的一侧定义为入射侧，相反的一侧定义为背风侧。根据这一定义，在浮动体的入射侧和背风侧下方分别放置了两个监测点????和????，如图11所示。这些点用于测量局部水平速度???，从而研究两侧下的流动如何影响整体共振响应。

表3. 共振和非共振频率下CFD和势流预测的波幅比较，以及相对偏差。

图12展示了共振和非共振条件下监测点????和????处的水平速度???的时间历程。在共振条件下，两点的速度响应存在显著差异，????的振动明显大于????。相比之下，在非共振条件下，两点的速度几乎相同。这一观察表明，与非共振条件相比，流体在非共振条件下的能量转换要小得多。

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图11. 尖角底部配置下浮动体底部的监测点????和????的示意图。

为了进一步量化这种能量转换的程度，表4总结了共振和非共振条件下监测点????和????处的水平速度幅度，以及两点之间的衰减比。可以看出，在共振条件下，从????到????的速度幅度衰减了71.05%，而在非共振条件下衰减仅为9.52%。这种明显的对比表明，在共振情况下，大部分入射波能量转移到了间隙中并在那里耗散，而在非共振情况下，流动以更平滑的方式通过间隙，能量转换有限。间隙内的这种能量转换很可能是间隙共振发生的一个根本原因。

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图12. 共振（a）和非共振（b）条件下监测点????和????处的水平速度???的时间历程。

表4. 共振和非共振条件下监测点????和????处的水平速度幅度及其对应的衰减比。

4.2. 涡旋能量转换过程1：涡旋形成过程
为了阐明共振和非共振条件下能量耗散不同水平的起源，将流场的演变分为两个阶段，??0表示一个完整的波周期。第一阶段对应于涡旋能量转换（VEC）过程1，即涡旋形成阶段。如图13所示，展示了共振和非共振条件下第一阶段的流线时间演变。在图13(a)中可以观察到一种明显现象，尽管部分流体从入射侧进入间隙，但流线有迅速离开间隙的趋势，而不是显著向上移动，这意味着流体并未显著进入间隙，从而防止了间隙共振。然而，在共振条件下，观察到了不同的流动模式。如图13(b)所示，与非共振条件（流线主要穿过间隙并迅速离开该区域）不同，在底部角附近形成了明显的涡旋结构。尖角在初始阶段生成强烈的涡旋；这些涡旋首先在角区域形成并积累，然后随着过程的进行逐渐向间隙中心对流。这种连续的涡旋生成和积累导致涡旋强度和随之而来的动能随时间增加。这些涡旋的存在抑制了流体直接离开间隙的倾向，使流线向上重新定向，从而促进了能量向间隙区域的向上传输。

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图13. 非共振（a）和共振（b）条件下VEC过程1期间的流线轮廓。

为了进一步量化VEC过程1中的涡旋发展，如图14所示，在间隙的角区域沿距离角逐渐减小的方向放置了三个监测点?????1、?????2和?????3。这些位置处的涡旋强度??的时间历程如图15所示。可以清楚地观察到，在共振条件下，随着监测点接近角落，?? 的大小从 ????1 逐渐增加到 ????3，表明涡旋活动变得越来越强烈。相比之下，在非共振条件下，所有三个监测点的涡旋强度都明显较弱，且远小于共振情况下观察到的强度。下载：下载高分辨率图像（62KB）下载：下载全尺寸图像图14. 在尖锐角底部配置下，浮体上监测点 ????1、????2 和 ????3 的示意图。此外，表5提供了在共振频率 ??r 和非共振频率 ??nr 下，监测点 ????1、????2 和 ????3 处的涡旋强度 ?? 和垂直速度 ???? 的数据。一个显著的现象是：在非共振条件下，监测点 ????1、????2 和 ????3 处的涡旋强度 ?? 明显小于共振条件下的强度。此外，在共振情况下，????3 处的垂直速度 ???? 比非共振情况下的大得多。这些观察结果表明，在共振条件下，靠近角落生成的涡旋会对局部流动产生明显的向上运动，从而将大量流体能量输送到间隙中。而在非共振情况下，由于缺乏强烈的涡旋，流动无法获得足够的上升速度，因此很少有能量被输送到间隙中，共振也就不会发生。下载：下载高分辨率图像（509KB）下载：下载全尺寸图像图15. 在共振（????）和非共振（??????）条件下，位于间隙角落不同距离处的监测点（a）：????1、（b）：????? 和（c）：????3 处的涡旋强度 ?? 的时间历史。为了更好地说明共振和非共振条件下的 VEC 过程的差异，图16 展示了 VEC 过程中的涡旋变化。显然，在共振条件下，随着时间的推移，角落区域逐渐积累了明显的涡旋，而在非共振条件下几乎不会生成涡旋结构。这一观察表明，在共振条件下，流体的线性动能逐渐转化为涡旋的角动能。涡旋的积累导致间隙区域储存了大量能量，当这些涡旋被输送到间隙中时，它们的角动能也被传递到间隙中，最终引发间隙共振。表5. 在共振（????）和非共振（??????）条件下，尖锐角底部配置下监测点 ????1、????2 和 ????3 处的垂直速度 ???? 和涡旋强度 ?? 的比较。频率参数 单位 监测点 空单元 空单元 空单元 ????1 ????2 ????3 ???? ??/s 4.738 16.231 18.165 ????/m/s -------- 0.116 ?????? ??/s 0.001 0.005 1.457 ????/m/s -------- 0.044下载：下载高分辨率图像（828KB）下载：下载全尺寸图像图16. 在 VEC 过程1期间，（a）非共振和（b）共振条件下间隙角落附近的涡度等值线演变图4.3. 涡旋能量转换过程2：涡旋消除过程为了进一步研究 VEC 过程2中的涡旋消除过程，在浮体间隙侧引入了额外的监测点。如图17（a）所示，在间隙的顶部、中部和底部分别放置了三个额外的监测点，分别标记为 ????、???? 和 ????。这些监测点主要用于捕捉间隙内的涡度演变，并检查涡旋的角动量和流体的垂直线性动量之间的转换。如图17（b-c）所示，在非共振频率 ?????? 下，监测点 ????、???? 和 ???? 处的涡旋强度 ?? 几乎为零，表明在非共振条件下间隙内几乎没有生成连贯的涡旋。相反，在共振频率 ???? 下，底部点 ???? 附近产生了明显的涡旋，并在向上向 ???? 和 ???? 传播的过程中逐渐消散。?? 的峰值从 ???? 到 ???? 单调减小，这意味着在消除过程中涡旋中储存的角动量逐渐释放，并转化为间隙流动的上升线性动能，从而为间隙提供能量并维持共振。图18展示了共振条件下的涡旋消除阶段的瞬时流线和涡度等值线。可以清楚地看到，强涡旋在角落附近积聚，随后消散到间隙中。在消除区域，产生了明显的上升速度，表明消除过程将流动重新导向间隙，使更多的波能被输送到间隙中并暂时以涡旋的角动能的形式储存。随着涡旋的消散和向上输送，这种角动能逐渐转化为流体的垂直线性动能，从而进一步增强了间隙共振。下载：下载高分辨率图像（369KB）下载：下载全尺寸图像图17. （a）监测点 ????、???? 和 ???? 的示意图以及（b）共振（????）和（c）非共振（??????）条件下的涡旋强度 ?? 的时间历史。这些点在共振（????）和非共振（??????）条件下的涡旋强度 ?? 和垂直速度 ???? 列在表6中。可以观察到，在共振条件下，?? 和 ???? 的值大约比非共振条件下大一个数量级。此外，从 ???? 到 ????，涡旋强度逐渐增加，表明在底部角落附近生成了强涡旋，然后沿间隙向上输送。这一过程表明在消除过程中，涡旋中储存的角动量逐渐释放，并转化为流体的垂直线性动量，从而促进了间隙中的上升喷射并维持了共振。下载：下载高分辨率图像（811KB）下载：下载全尺寸图像图18. 在共振条件下 VEC 过程2：间隙消除阶段内的瞬时流线（a）和涡度等值线（b）。为了进一步支持从涡旋消除到间隙共振的物理过程，定量检查了 VEC 过程2 中涡旋强度和垂直速度的变化。在共振条件下，涡旋强度 ?? 从 ???? 处的 10.227s?1 显著减少到 ???? 处的 5.383s?1，再到 ???? 处的 0.586s?1。这种单调减小表明，随着涡旋沿间隙向上传播，涡旋运动逐渐减弱。同时，垂直速度 ???? 从 ???? 处的 0.157 m/s 增加到 ???? 处的 0.169 m/s，然后在 ???? 处达到 0.176 m/s。涡旋强度的减小和垂直速度的增加表明，与涡旋相关的角动能逐渐转化为流体的垂直线性动能。因此，间隙中的上升速度并不是独立产生的，而是与涡旋消除过程中的涡度损失密切相关。这为提出的物理过程提供了定量证据，即涡旋消除导致垂直速度增强，进而促进了间隙内自由表面振荡的放大。表6. 在共振（????）和非共振（??????）条件下，监测点 ????、???? 和 ???? 处的涡旋强度 ?? 和垂直速度 ???? 的比较。参数 单位 ???? ?????? 空单元 空单元 ???? ???? ???? ???? ???? ???? ??/s 10.227 5.383 0.586 0.001 0.002 0.001 ????/m/s 0.157 0.169 0.176 0.017 0.019 0.0215. 讨论与结论本研究调查了双体尖锐角底部配置下的间隙共振，重点关注涡旋作为共振的主要驱动因素的作用。基于涡旋的机制，称为 VEC，被确定为控制间隙共振的关键现象。VEC 过程包括两个阶段：（i）在尖锐角底部形成涡旋，在此过程中，沿底部的水平流动被重新导向并集中在间隙入口附近；（ii）涡旋消除，在此过程中，累积的涡旋能量逐渐转化为垂直线性动量，产生上升速度并放大间隙内的自由表面振荡。尽管在之前的间隙共振研究中讨论了与涡旋相关的现象，如涡旋脱落、动量交换和涡旋引起的附加质量效应，但这些机制通常被解释为影响系统振动幅度或阻尼特性的次要或耗散过程。在大多数现有框架中，涡旋被视为被动流动特征，仅参与能量转换而不是积极参与共振机制。相比之下，本研究提出的涡旋能量转换（VEC）机制强调了涡旋在共振过程中的主动和动态作用。具体来说，涡旋被证明是能量的载体，介导水平流动运动、涡旋（角）能量和间隙内垂直共振振荡之间的连续转换。这种循环的能量转换过程提供了关于共振期间能量如何积累、传输和释放的时序物理解释。因此，VEC 机制超越了现有解释，建立了涡旋演变与共振放大之间的直接联系，为理解尖锐角间隙共振提供了更全面的框架。使用 RANS-VOF 方法的 CFD 仿真来捕捉间隙内的详细流动特性，特别是在涡旋形成和消除阶段。势流理论主要用于预测共振频率。从共振特性的角度来看，涡旋动力学被确定为驱动共振过程的主要现象。应当注意，本研究中监测点的选择基于在间隙区域观察到的特征流动特征。具体来说，靠近尖锐角区域的点被放置以捕捉与流动分离相关的局部涡旋生成和演变，而间隙内的垂直监测点被布置以表示流动的垂直发展和相关的能量传输过程。虽然这些监测点能够捕捉到从底部到顶部间隙的涡旋演变和流动变化的主要趋势，但它们只提供了连续流场的离散表示。监测点的空间分辨率可能无法完全解析所有小尺度涡旋结构或详细的传播过程。因此，本研究的涡旋动力学解释通过全场流动可视化和涡度分析进行了补充。未来的工作可以考虑更系统地分析监测点的敏感性或使用更密集的采样策略，以进一步量化空间分辨率对涡旋演变和能量转换过程的影响。多个监测点的自由表面高度、速度和涡度的时间历史揭示了共振和非共振条件之间的明显对比。在共振频率下，入射侧下方的水平速度向背风侧显著衰减，表明有大量能量转换为间隙。强涡旋在角落区域积聚并沿间隙壁向上消散。在这个消除过程中，涡旋中储存的角动能被释放并转化为流体的垂直动能，从而维持和加强了共振。相比之下，在非共振激励下，涡旋活动较弱，间隙内的上升速度较小，流动通过间隙时能量损失有限，未能引发共振。这些发现为尖锐角底部多体系统中的间隙共振提供了一个连贯的物理机制，其中涡旋在触发共振和将波能输送到间隙中起着关键作用。本研究为并排海上结构的流体力学设计和布置提供了宝贵的指导，对于改善其在共振海况下的安全性和运行效率具有重要意义。除了上述发现外，本研究还强调了涡旋动力学在控制间隙共振过程中的关键作用。与传统主要将间隙共振归因于间隙内波能捕获的解释不同，结果表明涡旋积极参与能量传输和重新分配。具体来说，尖锐角处的涡旋形成将水平流动转化为角动能，而随后的涡旋消除过程将这些能量转化为垂直动量，驱动间隙内的上升喷射。这种两阶段的涡旋能量转换（VEC）机制动态解释了能量不仅是如何储存的，而且是如何在不同形式之间连续转换的，最终维持了共振。与之前的研究相比，这些研究通常将间隙共振解释为准驻波现象或在受限间隙内的能量捕获效应，而本研究强调了由涡旋介导的能量转换的瞬态和循环性质。虽然势流理论成功预测了共振频率，但它无法捕捉到 CFD 仿真中观察到的涡旋引起的能量耗散和转换过程。现有的粘性修正模型通常引入经验阻尼来解释能量转换；然而，它们并没有明确解析背后的物理过程。相比之下，所提出的基于涡旋的视角通过将流动分离、涡旋演化和能量传输联系起来，提供了一个更为全面的框架。这不仅解释了势流预测与实验观察之间的差异，还为实际工程应用中间隙共振的设计和控制提供了新的见解。所提出的涡旋能量转换（VEC）机制与传统对间隙共振的解释有根本的不同。以往的研究通常将间隙共振描述为限制性间隙内的波能捕获过程或准驻波响应，其中涡旋主要被视为粘性耗散的来源。相反，本研究揭示了涡旋通过连续的能量转换和重新分布积极参与共振过程。具体来说，尖锐角附近的涡旋生成将平流能量转化为旋转动能，而涡旋耗散和向上喷射的形成随后将储存的能量转化为垂直共振运动。因此，涡旋不仅耗散能量，还动态地介导共振放大。这种区别突出了在研究尖锐角间隙共振时解析瞬态涡旋演化的重要性，并提供了一个超出传统能量捕获解释的新物理框架。

尽管本研究提供了许多见解，但仍需承认一些局限性。首先，模拟是在规则波条件下进行的，而更复杂的波环境（如不规则或聚焦的波群）可能会导致不同的共振特性。此外，尽管RANS-VOF框架可以捕捉到关键的涡旋特征，但详细的小尺度湍流结构仍可能受到湍流建模假设的影响。未来的工作将把本研究扩展到三维配置和更现实的海况，并进一步研究涡旋动力学与结构运动之间的相互作用。还将考虑实验验证和更高保真度的模拟（如大涡模拟（LES），以更深入地了解涡旋能量转换机制。需要注意的是，本研究关注的是尖锐角底部配置，由于几何不连续性，预计会有强烈的流动分离和涡旋积聚。因此，所提出的涡旋能量转换（VEC）机制主要是基于与尖锐角相关的涡旋动力学建立的。然而，对于其他底部几何形状（如圆角或平底配置），流动分离行为和涡旋演化可能会有显著不同。特别是，圆角倾向于抑制涡旋生成并减少能量耗散，而平底配置可能表现出较弱或更分布的涡旋结构。因此，在不同的几何条件下，VEC过程的强度和特性可能会发生变化。因此，本研究得出的结论主要适用于尖锐角配置，其对其它几何形状的普遍性仍有待进一步研究。未来的工作将考虑涉及圆角和平底配置的比较研究，系统地检查几何形状对涡旋动力学和间隙共振机制的影响。

从定量角度来看，共振响应明显强于非共振响应。在共振条件下，间隙内的无量纲自由表面高度达到3.13，而在非共振条件下仅为0.86，表明放大了大约3.6倍。涡旋强度也显示出明显差异。在VEC过程1中，尖锐角附近的峰值涡旋强度在共振时达到18.165 s-1，而在非共振时仅为1.457 s-1。在VEC过程2中，涡旋强度从????处的10.227 s-1降至????处的0.586 s-1，而垂直速度从0.157 m/s增加到0.176 m/s。这种相反的变化提供了定量证据，表明涡旋强度的衰减有助于增强间隙内的垂直速度。应当指出的是，涡旋能量转换（VEC）过程的两个阶段（即VEC过程1和VEC过程2）并不是严格顺序发生的。相反，它们在时间上有所重叠，并可能在一个波周期内同时进行。因此，根据目前的分析很难严格量化每个阶段的确切时间比例。因此，本研究将VEC分为两个阶段主要是为了概念上区分不同的主导物理过程，而不是暗示严格的时间分离。要更精确地分解每个过程的时间贡献，需要使用先进的分析技术，如相位分辨的能量预算或模态分解，这些超出了本研究的范围，将在未来的研究中考虑。

**术语表**
**拉丁符号**
??：梁
????：总顺流向梁
????：间隙宽度
????：湍流模型常数
??：吃水深度
??：对数律常数
??：外部激励力
?：波高
??：船体高度
??：湍流动能
??：船体长度
????：计算域长度
????：监测点
??：船底半径
??：一个时间步长的CPU时间
??+：无量纲速度
????：波幅
????：间隙内的波高
???：无量纲波高
????：入射波高
????：波长
??+：无量纲壁面距离

**希腊符号**
??：体积分数
??：湍流耗散率
??：冯·卡门常数
????：湍流动态粘度
??：运动粘度
????：湍流动态粘度
??：密度
??：无量纲自由表面高度
??：角频率
??：涡旋强度

**下标/上标符号**
??：底部
??：角
??：衍射
??：间隙区域
??：入射侧
??：入射波
??：李侧
??：中间
?????：非共振条件
??：共振条件
??：顶部
??：波面监测点

**缩写**
ACR：成本效益比准确性
FFT：快速傅里叶变换
NRMSE：标准化均方根尖锐角误差
RANS：雷诺平均纳维-斯托克斯
VEC：涡旋能量转换
VOF：流体体积
CRedI：作者贡献声明

**作者介绍**
魏 Wang：形式分析、数据整理。
冯爱春：指导、研究。

**联系方式**
魏 Wang | 吴家峰 | Soemsak Yooyen | 冯爱春
上海交通大学船舶与海洋工程学院，上海200240，中国