一种用于预测软黏土中通过压密注浆处理对地铁隧道隆起响应的分析方法

《TUNNELLING AND UNDERGROUND SPACE TECHNOLOGY》：Analytical method for predicting uplift response of metro tunnels induced by compaction grouting in soft clay

　　摘要：压密注浆技术被广泛用于减轻软粘土中运营中地铁隧道的过度沉降和差异沉降。本研究提出了一种新的分析模型，用于预测地铁隧道的抬升力、注浆引起的附加荷载以及抬升位移。注浆区由多个离散的球形注浆体表示。抬升力是通过球形腔体膨胀理论推导得出的，而附加荷载则是通过结合叠加原理和Mindlin解来确定的。隧道被建模为Winkler基础上的Timoshenko梁，以获得其抬升响应。所提出的模型通过南京地铁10号线的压密注浆项目的现场监测数据进行了验证，与测量到的隧道变形结果吻合良好。参数分析表明，附加荷载和隧道抬升随着注浆量和注浆压力的增加而增加，但随着隧道埋深和隧道与注浆区之间的距离的增加而减少。在所有影响参数中，注浆压力对附加荷载和抬升位移的敏感性最高，而隧道埋深的影响最小。当注浆压力增加0.2 MPa时，附加荷载和抬升位移分别增加了约70 kN/m和5 mm，增长幅度约为50%。相比之下，当隧道埋深增加2 m时，附加荷载和抬升位移分别减少了约4.2 kN/m和0.45 mm，减少幅度约为2.1%。所提出的模型可以为软粘土中运营中地铁隧道因压密注浆引起的抬升设计提供理论支持。

1. 引言
随着中国城市轨道交通的快速发展，地铁网络得到了大幅扩展。许多早期建设的地铁隧道现在已进入中长期服务阶段，标志着从大规模建设向协调建设与维护的逐渐转变（Ding等人，2024年；Dong等人，2022年；Huang等人，2026a；Tang等人，2024年）。随着使用寿命的增加，在软粘土中建设的地铁隧道出现的沉降问题变得越来越突出。过度累积的沉降可能导致节段接缝开口、节段错位、结构损坏和衬砌泄漏，如图1所示（Di等人，2021a；Finno等人，2005年；Xie等人，2026年；Tang等人，2026年）。这些缺陷可能会严重威胁地铁系统的运营安全。压密注浆是一种有效的技术，用于纠正软粘土中地铁隧道的过度沉降和差异沉降。然而，相关的抬升机制较为复杂，隧道响应对注浆参数非常敏感（Wang等人，2026年；Ye等人，2026年；Pan等人，2026年）。由于缺乏严格的理论框架，注浆方案和设计参数通常是通过经验确定的，这增加了过度抬升和次生结构损坏的风险（Zhang等人，2019年；Gan等人，2022年；Zhao等人，2019年）。因此，研究软粘土中地铁隧道的沉降机制和抬升控制机制至关重要，以便实现精确的调节和有效的隧道沉降修复，这仍然是岩土工程领域的一个关键技术挑战。

近年来，为了研究注浆引起的隧道变形机制，通过工程实践、模型测试、理论分析和数值模拟进行了大量研究。在工程实践方面，Zhang等人（2017年）研究了上海软土层中隧道的压密注浆矫正技术，并阐明了通过注浆控制隧道沉降的机制。Ding等人（2019年）分析了基于注浆的隧道矫正效果，并发现注浆压力的叠加会导致隧道垂直抬升。Huang等人（2023年）通过上海的一个现场案例研究了由于底部土壤注浆引起的运行盾构隧道的纵向变形恢复。在数值模拟方面，Zhao等人（2021年）基于材料点方法（MPM）开发了一个数值模型，分析了压密注浆在恢复隧道变形方面的效果，并使用现场监测数据验证了模型的可靠性。Gao等人（2020年）采用黏性元素模拟了注浆过程，并研究了注浆参数对隧道变形的影响。Wang和Zheng（2026年）利用三维数值模拟和曲线拟合分析研究了由于下方注浆加固引起的运行隧道的纵向抬升。在模型测试方面，Soga等人（2004年）进行了实验室实验，研究了粘土沉积物中补偿注浆的长期抬升效果，并指出粘土中性区的再固结行为可以增强注浆引起的抬升。Gong等人（2018年）结合透明土壤技术和粒子图像测速（PIV）开发了一个实验系统，用于分析注浆引起的抬升过程中的土壤变形，并确定了黏性土壤中的四个渐进失效阶段。Huang等人（2026b）进行了注浆引起的隧道抬升的模型测试，并研究了袋装注浆对盾构隧道抬升的机制，同时监测了抬升过程中隧道周围的额外土压力和结构变形。在理论分析方面，Fu等人（2020年）基于圆柱形腔体膨胀理论和镜像法推导出了隧道抬升位移的解析解。Meng等人（2024年）采用源-汇方法和圆柱形腔体膨胀理论提出了一种考虑土壤结构效应的计算隧道注浆引起的抬升的方法，但没有分析注浆抬升力。Fu等人（2024年）为受到单点 và多点注浆的现有盾构隧道的机械响应开发了解析解。Wei等人（2025年）基于随机介质理论开发了隧道下方的圆柱形注浆模型，并推导出了隧道垂直抬升位移和注浆引起的额外应力的解析表达式；然而，没有考虑注浆抬升力。Di等人（2021b）使用Mindlin解获得了隧道下方由注浆引起的额外应力，并基于最小势能原理推导出了隧道抬升位移；然而，没有彻底研究关键注浆参数的影响，也没有考虑注浆抬升力。

现有研究从不同角度使用各种研究方法研究了通过注浆引起的抬升来缓解隧道沉降的机制，从而促进了软粘土中地铁隧道的安全建设。然而，每种方法都有其自身的优势、局限性和适用条件。特别是，大多数理论分析方法忽略了抬升力的评估，而抬升力通常是基于工程经验确定的。此外，隧道底部注浆体的扩散通常被简化为圆柱形腔体膨胀，这与工程实践中的实际注浆过程不一致。为了解决这些局限性，本研究整合了球形腔体膨胀理论、Mindlin解和Timoshenko梁理论，开发了一种新的分析模型，用于预测软粘土中地铁隧道因压密注浆引起的抬升力、附加荷载和抬升位移。所提出的模型通过一个工程案例研究进行了验证。此外，还进行了参数分析，以研究注浆参数、土壤性质和隧道特性对压密注浆引起的附加荷载和抬升位移的影响。本研究的结果为预测和控制软粘土中地铁隧道注浆引起的抬升提供了理论依据。

2. 现有方法综述
在岩土工程中，用于预测压密注浆引起的地表抬升的现有方法可以大致分为以下几类：
Mindlin（1964年）提出的在半无限介质中作用集中力的解为评估内部载荷条件下的土壤位移场提供了一个经典的分析框架，如深注浆压力，并已被广泛用于定量预测注浆引起的地表抬升。

(1-1)
????=????8???????(1???)?[??????31+(3?4???)?(??+?)??32+6??????(??+?)??52]
(1-2)
??1=√??2+(????)2
(1-3)
??2=√??2+(??+?)2
其中Sz是计算点的垂直位移；Pg是在深度h处施加的垂直集中力；G是土壤的剪切模量；μ是土壤的泊松比；z是计算点的垂直坐标；h是施加集中力Pg的深度；x是从计算点到力轴的水平距离；R1是从计算点到实际力源的距离；R2是从计算点到镜像力源的距离。

Sagaseta（1987年）采用镜像法考虑了自由表面的存在，并提出了计算半无限介质中任意点由于地面流失或注浆引起的土壤位移的解析表达式。

(2-1)
????=???33?(??????31???+???32)
(2-2)
??1=√??2+(????)2
(2-3)
??2=√??2+(??+?)2
其中Sz是计算点处土壤的垂直位移；r1是从计算点到实际汇点的距离；r2是从计算点到镜像汇点的距离；x是从汇点轴的水平距离；h是实际汇点在地面以下的深度；a是注浆体膨胀的半径。

Au等人（2007年）提出了一种基于体积守恒的解析解，用于计算由地下腔体膨胀引起的瞬时地表隆起，该方法已被广泛用于评估补偿注浆的位移效果。

(3-1)
Δ???=Δ??????(?????Δ?????+??0)2
(3-2)
????=?????0???????0=?????0Δ?????
(3-3)
????=3√3?(??0+Δ???)4???
其中ΔH是由于腔体膨胀引起的土壤位移增加；R是刚性边界的半径；r0是腔体的初始等效半径；rc是膨胀腔体的半径；Δrc是腔体等效半径的增加；V0是腔体的初始体积；ΔV是腔体体积的增加；nr是腔体半径膨胀的比率。

在岩土工程中，用于预测压密注浆引起的隧道抬升的现有方法可以大致分为以下几类：
Fu等人（2020年）基于圆柱形腔体膨胀理论，将隧道简化为放置在Vlasov基础上的Timoshenko梁，并推导出了隧道的纵向位移响应的解析解。

(4-1)
(?????)???????2????????2+(????????)?????[?????(??)???????]=0
(4-2)
([??1]?[??2]+[??3]????(??)={??1??}?{??2??}?{??3??}
其中(EI)eq是等效纵向弯曲刚度；(κGA)eq是隧道的等效剪切刚度；θ是梁截面的旋转角度。[K1]是隧道的位移刚度矩阵；[K2]是隧道的剪切刚度矩阵；[K3]是弯曲刚度矩阵。[w]是隧道的位移向量；{Fw1}、{Fw2}、{Fw3}是附加荷载的向量。

Meng等人（2024年）将源-汇方法与圆柱形腔体膨胀理论相结合，开发了一个描述注浆过程中隧道抬升的理论模型，并推导出了计算隧道抬升位移的解析方法。

(5-1)
(?????)′???4????(??)?????4???2????(?????)′(????????)′???2????(??)?????2+??2???????(??)=??1?????????(??)?(?????)′(????????)′???2????(??)?????2
(5-2)
([??1]?[??2]+[??3]?{??}={??1}?{??2}?{??3}
其中(EI)'是等效纵向弯曲刚度；D是隧道的外径；k1和k2分别是下层和上层土壤的基底反应模量；Sz是隧道底部土壤的抬升变形；(κGA)'是隧道的等效纵向剪切刚度；[K1]是隧道的位移刚度矩阵；[K2]是隧道的剪切刚度矩阵；[K3]是基础刚度矩阵。[w]是隧道的位移向量；{Q1}、{Q2}、{Q3}是附加荷载的向量。

Wei等人（2025年）将隧道下方的注浆体简化为圆柱形模型，并提出了非均匀体积膨胀注浆圆柱的机械计算模型。基于随机介质理论，推导出了计算注浆引起的隧道垂直抬升位移的解析方法。

(6-1)
???(??)={?????(??)}?????
(6-2)
?????(??)={1,cos?(????????????),cos?(2?????????????),?,cos?(???????????????)}
(6-3)
??=(??′1,??′2,??′3,?,??′??)
其中a'i是矩阵元素；N是受附加应力影响的现有隧道中心点一侧的节段环数；D是节段环的宽度；l是沿隧道轴的纵向坐标。

Wu等人（2026年）将隧道底部的注浆体简化为圆柱形腔体膨胀模型。隧道被建模为连续的Euler-Bernoulli梁，隧道与周围土壤的相互作用通过Winkler基础模型表示。基于这些假设，推导出了隧道仰拱位移的计算方法。(7-1)(?????)???????4????(??)?????4+???????????(??)=???(??)?????(7-2)??=(??1+??2)?1???1 其中Bt是隧道宽度；(EI)eq是隧道的等效纵向弯曲刚度；w(x)是灌浆过程中隧道的初始仰拱位移；k是地基反力的系数；q(x)是灌浆过程中的附加荷载；K1和K2是刚度矩阵；Q1是每个节点灌浆过程中的附加荷载向量。现有的用于预测压实灌浆引起地基仰拱的方法可以为评估地铁隧道的仰拱响应提供有用的参考。然而，这些方法通常使用经验参数来确定灌浆引起的仰拱作用，而不是对仰拱力进行严格的理论评估。此外，隧道下方的灌浆区域通常被理想化为一个连续的灌浆柱，这可能无法充分代表实际的灌浆过程。在实际操作中，灌浆通过灌浆管注入软粘土中，并通过压实和位移周围土壤来膨胀，从而形成离散的灌浆泡。随着灌浆管的逐渐提升，隧道底部形成了多个灌浆泡。它们的共同膨胀产生向上的应力场，从而导致隧道仰拱，如图2所示。此外，传统的欧拉-伯努利梁理论忽略了剪切变形对隧道纵向响应的贡献，这可能会降低其对分段地铁隧道的准确性。

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图2. 压实灌浆引起的隧道仰拱示意图。

为了克服这些局限性，采用了球形腔体膨胀理论来描述灌浆泡的膨胀，并理论计算相应的仰拱力。随后使用Mindlin的解来评估从灌浆泡通过周围土壤传递到的应力增量。然后将隧道建模为Winkler基础上的Timoshenko梁，允许考虑弯曲和剪切变形。

3. 方法论
3.1. 理论计算程序
在地铁隧道下进行压实灌浆时，灌浆泡的膨胀改变了周围土壤的应力和位移场。结果，在隧道底部产生了附加荷载，导致隧道仰拱。理论模型如图3(a)所示。采用三步解决程序。首先，根据球形腔体膨胀理论和剪切破坏理论确定灌浆泡半径(Ru)和仰拱力(Puph)。其次，将灌浆柱理想化为n个叠加的球形灌浆泡，并使用Mindlin的解计算作用在隧道底部的垂直附加荷载p(x)。最后，通过将隧道建模为Winkler基础上的Timoshenko梁，获得由灌浆泡膨胀引起的 tunnel 仰拱位移(w)。整个计算框架如图3(b)所示。

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图3. 理论计算模型和程序。

3.2. 压实灌浆引起的仰拱力的计算
压实灌浆涉及通过钻孔将高粘度、低流动性的灌浆料注入软土中。随着灌浆管在分阶段灌浆过程中的逐渐提升，沿着灌浆路径形成一系列局部化的灌浆泡。因此，灌浆区域被理想化为多个球形灌浆泡，并使用叠加原理评估它们的综合效应。每个灌浆泡被建模为在均匀、各向同性且连续的彈塑性介质中的球形腔体，受到均匀的内部压力。膨胀被认为是准静态和无排水的，灌浆-土壤界面保持完全接触。忽略灌浆料泄漏、水力压裂和界面分离。膨胀产生内部塑性区和外部弹性区，如图4所示。这种理想化最适用于相对均匀的软粘土和在受控注入条件下的低流动性灌浆料。在实践中，由于土壤的非均质性、各向异性、灌浆料的优先迁移和水力压裂，可能会导致灌浆泡形状不规则。此外，相邻灌浆泡之间的非线性相互作用和重叠只能通过线性叠加来近似表示。因此，该模型旨在预测整个隧道的仰拱响应，而不是灌浆区域的详细形态。

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图4. 压实灌浆引起的隧道仰拱的球形腔体膨胀理论模型。

根据球形腔体膨胀理论和统一的强度屈服准则，推导出了灌浆泡半径与灌浆压力之间的关系。相应的表达式如下（详细推导见附录1）：
(8)????=????3√√ √ √ √ √ √ √ ???3?{?1+(1?1+??2????[(??+?????1)?(1??)2?(???1)????????1???0])3?(1?1??3)?Δ}+1
其中P是灌浆压力；P0是土壤的初始原位应力；Ru是灌浆泡的半径；Ri是钻孔在土壤中的半径。

Wong (1974) 提出了一种描述灌浆泡上方土壤锥形剪切破坏的力学模型。该模型考虑了灌浆泡半径、灌浆压力和土壤属性，并推导出土壤隆起压力的表达式如下：
(9)??=??????(???/??)2+3?(???/??)?tan???+2?tan2???33tan2???·[1+2?(1?sin???)?cos?(180?(??+??))cos????cos???]
其中H是灌浆深度；R是灌浆泡的半径；P是灌浆压力；γ是土壤的单位重量；φ是土壤的内摩擦角；θ是破坏表面与水平平面之间的倾角。

确定隧道底部的仰拱力(Puph)和灌浆泡半径(Ru)的程序如下。参考参数采用自EI-kelesh等人（2001年）。土壤参数取为弹性模量E = 981654 kPa，钻孔半径Ri = 0.025 m，灌浆深度H = 3 m，内摩擦角φ = 34.6°。由于在当前公式中结合了统一强度理论，选择b = 0.5作为代表性的中间值，以考虑中等程度的中间主应力效应。将这些参数代入方程(8)、(9)中，结果如图5所示。

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图5. 地铁隧道下方土壤中仰拱力的计算。

图5显示了压实灌浆过程中灌浆压力和灌浆泡半径的变化特征。方程(8)描述了压实灌浆过程中灌浆泡半径与灌浆压力之间的关系，而方程(9)表示土壤在压实灌浆引起的剪切破坏下的力学响应。从方程(9)可以看出，灌浆压力随着灌浆泡半径的减小而增加。换句话说，当灌浆泡半径较小时，需要更高的灌浆压力来引起土壤的锥形剪切破坏，从而导致地表隆起变形。如方程(8)所示，灌浆压力随着灌浆泡半径的增大而稳定增加。当灌浆压力达到某个值时，方程(8)、(9)预测的压力相等，对应于两条曲线的交点。在这一点上，灌浆泡半径满足引起地面隆起变形的条件，相应的压力被定义为发生地面隆起时的仰拱力(Puph)。该交点的纵坐标代表地面隆起开始时的灌浆泡半径(Ru)。计算出的仰拱力表示由灌浆泡膨胀产生的整体向上作用力，而不是引发地面隆起所需的阈值压力。在当前模型中，灌浆压力是预先规定的，然后计算相应的仰拱力、附加荷载和隧道位移。

3.3. 地铁隧道上灌浆引起的附加荷载的计算
通过向软粘土中加压注入灌浆料来校正地铁隧道的沉降。注入的灌浆料压实并位移周围土壤，形成球形灌浆泡。通过逐渐提升灌浆管并保持连续灌浆，在隧道底部形成灌浆柱。灌浆的膨胀在地铁隧道底部引起仰拱。在这项研究中，将灌浆柱理想化为n个球形灌浆泡的叠加，如图6所示。

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图6. 简化的灌浆柱模型示意图。

Mindlin的解是针对受集中力作用的均匀各向同性半空间的三维弹性解，在岩土工程中得到了广泛应用（Wu等人，2026年；Di等人，2021b年；Meng等人，2024年）。在这项研究中，使用腔体膨胀理论来确定仰拱力，同时使用Mindlin的解来评估其向隧道的传递。这种方法代表了简化的近场弹塑性-远场弹性处理，没有明确考虑塑性区内的刚度降解。模型如图7所示。

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图7. 使用Mindlin的解计算的附加荷载示意图。

在灌浆压力下，使用Mindlin的解（Mindlin，1964年）计算由第i个灌浆泡在土壤中点J处引起的应力：
(10-1)??????=????????8????(1???)??{ {?{ {??(1?2???)?(?????????)??31+(1?2???)?(?????????)??32?3?(?????????)3??51?3?(3?4???)??????(????+????)2?3??????(????+????)?(53?????????)??52?30???????????(????+????)3??72?{ {?{ {?(10-2)??1=√(?????????)2+(?????????)2+(?????????)2+(????+????)2
其中Puph是灌浆仰拱压力；μ是土壤的泊松比；σij是灌浆泡i引起的垂直应力；(xi, yi, zi)表示第i个灌浆泡的坐标；(xj, yj, zj)表示目标点J的坐标。

由灌浆泡i引起的附加荷载可以表示为：
(11)??????=∫???????????????
其中R是地铁隧道的半径；qij是由灌浆泡i引起的附加荷载。

通过叠加所有n个球形灌浆泡的贡献，得到总附加荷载：
(12)???(??)=??∑??=1??????
其中q(x)是总附加荷载；n是灌浆泡的数量。

球形灌浆泡的数量n可以如下计算：
??=3???4??????3?? 或 ??=??2????? (13)
其中V是灌浆体积；L是灌浆柱的高度。

当前的叠加方法考虑了多个灌浆泡引起的累积弹性应力，但没有明确考虑相邻灌浆泡之间的非线性相互作用和塑性区的重叠。当灌浆泡间距较近时，这种相互作用可能会影响膨胀阻力和累积附加荷载。

3.4. 地铁隧道仰拱位移的计算
为了简化分析，将地铁隧道周围的地面理想化为Winkler基础。这种理想化在分段隧道的纵向响应和灌浆引起的仰拱的分析研究中得到了广泛采用，因为它提供了计算效率高的地面反力表示（Fu等人，2024年；Shen等人，2025年；Meng等人，2024年）。鉴于隧道长度远大于其直径，并且其纵向变形包括弯曲和剪切分量，因此将地铁隧道建模为Timoshenko梁。对于就地浇筑的明挖隧道，可以从结构截面直接确定纵向弯曲和剪切刚度。对于分段盾构隧道，应采用考虑环向接头机械行为的等效刚度。在分布荷载q(x)作用下，Winkler基础上的Timoshenko梁的控制微分方程表示为：
(14)(????????)′?[??2????(??)?????2???????(??)????]????(??)=0
(15)???????2????(??)?????2+(????????)′?[?????(??)?????????(??)]=0

结合方程(14)、(15)，可以得到以下表达式：
(16)???????4????(??)?????4?????????(????????)′?[??2????(??)?????2+?????????(??)=???(??)?????(????????)′???2????(??)?????2

其中k是地铁隧道下方地基的反力模量；E是隧道的杨氏模量；I是截面的二次矩；κ是由截面形状确定的剪切修正系数；G是剪切模量；A是截面面积。

应当注意的是，Winkler基础忽略了相邻土壤元素之间的剪切相互作用。然而，在当前模型中，灌浆引起的荷载q(x)的空间分布是使用Mindlin的解来确定的，而Winkler基础仅用于表示隧道变形的局部地面反力。尽管如此，当土壤剪切连续性明显时，这种简化可能会影响预测的仰拱槽宽度。

Vesi?对放置在地面上的长梁进行了一系列加载试验，发现梁的刚度对地基反力模量有显著影响。地基反应模量k的表达式如下（Vesi?，1961年）：
(17) \(k = 3.08\frac{\mu}{\sigma_p D E_S}\left(1 - \frac{\mu^2}{8\sqrt{E_S D E_I}\right)\)
(18) \(\frac{\mu}{\sigma_p}=\begin{cases}
2.18 & (\frac{H}{D} \leq 0.5) \\
1 + 11.7\frac{H}{D} & (\frac{H}{D} \geq 0.5)
\end{cases}\)

其中，\(\eta_p\) 是地基反应模量的深度修正系数；\(D\) 表示地铁隧道的外径或跨度；\(H\) 是现有隧道轴线的埋深；\(\mu\) 是土壤的泊松比；\(E_S\) 是土壤的弹性模量。

上述方程是四阶常微分方程，直接求解较为困难。因此，为了简化求解过程并便于后续对分段衬砌行为的离散化分析，基于Winkler地基模型的控制方程采用有限差分方法进行求解。首先，将隧道离散为\(m + 5\)个节点元素，每个元素的长度相同。为了便于施加边界条件，在隧道的两端分别引入两个虚拟元素，对应节点为\(-2\)、\(-1\)、\(m + 1\)和\(m + 2\)。离散化方案如图8所示。

根据有限差分方法的基本原理，在索引为\(i\)的节点处，满足以下关系：
(19)
\(\begin{cases}
\frac{d^4 w_i}{dx^4} = 12\sum_{j=0}^{4}\frac{S_{ij}\frac{d^3 w_j}{dx^3}\frac{d^2 w_j}{dx^2}\frac{d w_j}{dx} & (i=0, 1, \ldots, m) \\
\frac{d^3 w_i}{dx^3} = 12\sum_{j=0}^{2}\frac{S_{ij}\frac{d^2 w_j}{dx^2}\frac{d w_j}{dx} & (i=1, \ldots, m-1) \\
\frac{d^2 w_i}{dx^2} = 12\sum_{j=0}^{1}\frac{S_{ij}\frac{d w_j}{dx} & (i=2, \ldots, m) \\
\frac{d w_i}{dx} = 12\sum_{j=0}^{1}\frac{S_{ij}\frac{d w_j}{dx} & (i=m)
\end{cases}\)
其中，\(w_i\) 表示节点\(i\)处的垂向位移，\(S_{ij}\) 表示节点\(i\)处的附加荷载，\(s\) 是元素长度。

将式(19)代入式(16)后，可以得到Winkler地基上Timoshenko梁的有限差分表达式：
(20)
\(E_S E_I\frac{\sigma_p}{D}\left(\frac{d^4 w_i}{dx^4}\right) - \kappa D E_S\left(\frac{d^2 w_i}{dx^2}\right)'\frac{d w_i}{dx} = \frac{\sigma_p}{D}\left(\frac{d^2 w_i}{dx}\right)'\frac{d w_i}{dx}\)

地铁隧道的两端满足自由边界条件，因此两端的弯矩\(M\)和剪力\(Q\)均为零。由此可得：
(21-1) \(M_0 = M_m = -E_I\int_0^L x\frac{d^4 w_i}{dx^4} dx = 0\)
(21-2) \(Q_0 = Q_m = -\frac{\kappa E_S}{D}\int_0^L x\frac{d^2 w_i}{dx^2} dx = 0\)

式(20)采用有限差分方法求解，可以将其写成矩阵形式：
\(\begin{bmatrix}
[K_1] - [K_2] + [K_3] & \{ w_i \} = \{ Q_1 \} - \{ Q_2 \} + \{ Q_3 \}
\end{bmatrix}\)
其中，\([K_1]\) 是隧道变形刚度矩阵，\([K_2]\) 是隧道剪切刚度矩阵，\([K_3]\) 是地基刚度矩阵。\({w_i}\) 是隧道垂向变形的列向量。\([Q_1]\) 是附加荷载向量，\([Q_2]\) 是荷载修正向量，\([Q_3]\) 是补充解向量。详细推导过程见附录B。

根据式(22)，可以推导出隆起位移的表达式：
(23)
\(\{ w_i \} = (\[K_1] - [K_2] + [K_3])^{-1}\left(\{ Q_1 \} - \{ Q_2 \} + \{ Q_3 \}\)

4. 验证
南京地铁10号线位于中国江苏省南京市。在运营十多年后，观察到中山站和状元站之间的路段出现了明显的沉降现象。在一些局部区域还发现了严重的缺陷，如漏水和水泥衬砌开裂（Di等人，2021a）。为了控制地铁隧道的进一步沉降并确保地铁线路的安全运行，采用了倒置压实灌浆方法进行隧道沉降治理。该方法通过将灌浆材料注入隧道底部来增强土壤并实现隆起，从而有效改善地基条件并纠正隧道沉降，如图9所示。

南京地铁10号线的位置如图9(a)～(d)所示。灌浆孔采用平行布置方式，西南侧有76个孔，东北侧有80个孔。每个灌浆孔的半径为0.024米，孔间距为1.3米，灌浆孔的埋深为8.13米，灌浆孔与隧道顶板之间的垂直距离为1.0米。每个孔的灌浆量为0.5立方米。隧道的外径为4.4米。灌浆孔的详细布置和地铁隧道的几何尺寸见图10。

中山站和状元站之间的路段采用明挖法施工。由于明挖隧道通常是现场浇筑结构，因此纵向弯曲刚度折减系数取为1.0。据此，得到纵向弯曲刚度\(EI = 3.65 \times 10^6\) MN·m2，地铁隧道的等效纵向剪切刚度\(\kappa_{GA}' = 2.52 \times 10^6\) kN。隧道嵌设在粉质粘土中，这种土壤具有较高的压缩性和较低的渗透性。土壤的力学参数如下：粉质粘土的压缩模量为3.78 MPa。由于无法直接测量弹性模量，因此采用先前研究中报告的经验关系\(E_1 = (2.5–3.5)E_S\)进行估算（Yang和Zhao，1992年；Ying等人，2024年）。粉质粘土的弹性模量为11.34 MPa。土壤的单位重量为17 kN/m3，泊松比为0.3，内摩擦角为30°，统一强度理论参数\(b = 0.5\)。将上述灌浆参数和土壤参数代入式(8)、(9)，计算出所需的灌浆压力为783 kPa，灌浆泡半径\(R_u\)为0.28米。根据式(13)可以确定灌浆泡的数量为7个。建模中的简化处理如图11所示。

图12比较了灌浆段内隧道的实测隆起位移和理论计算位移。该方法得到的最大隆起位移为24.89毫米，而实测的最大值为23.13毫米，误差仅为1.76毫米（误差率7.6%），说明该方法与现场测量结果吻合良好，进一步验证了该方法预测隧道顶板隆起的有效性和可靠性。

5. 参数分析
5.1. 影响附加荷载的因素分析
5.1.1. 地铁隧道的埋深（\(H\)
为了研究隧道埋深对附加荷载的影响，采用单变量控制方法进行分析。隧道埋深的范围为4.0米至12.0米，其他参数保持不变：土壤的泊松比为0.3，灌浆泡体积为0.37立方米，灌浆区域与隧道顶板之间的距离为2.5米，灌浆压力为0.6 MPa。附加荷载的计算结果如图13所示。

如图13(a)所示，附加荷载具有明显的局部分布特征。峰值出现在灌浆区域正上方，并随着距离的增加而迅速减小，大约在15米处趋于零。不同埋深对应的分布曲线形状高度一致，表明影响范围几乎不受埋深的影响。然而，附加荷载的大小随着埋深的增加而显著变化，呈现出明显的减小趋势。这种局部响应为确定灌浆处理和监测范围提供了依据。在相似的地质和灌浆条件下，应特别关注距离灌浆中心约15米范围内的隧道段，因为快速的荷载衰减可能导致局部隆起。

以埋深为4米时\(\sigma_{max} = 227.72\) kN/m作为参考值，计算了不同埋深下最大附加荷载的影响系数\(\eta_{\sigma_H}\)，如图13(b)所示。结果表明，\(\sigma_{max}\)随埋深的增加而呈指数衰减，平均每增加2米埋深，附加荷载减小约4.2 kN/m，即减小约2.1%。当隧道埋深从4米增加到12米时，\(\sigma_{max}\)从227.72 kN/m显著减小到193.54 kN/m，减小约15.1%。这种现象可以归因于上覆土层的围压效应和应力扩散的共同作用。随着埋深的增加，周围土壤的围压作用增强和刚度提高，有效限制了土壤变形并抑制了灌浆引起的应力向上传递。

5.1.2. 地铁隧道与灌浆区域之间的距离（\(D_t\)
为了研究隧道与灌浆区域之间的距离对附加荷载的影响，本研究采用单变量控制方法。隧道顶板与灌浆区域之间的距离范围为1.5米至3.5米，其他参数保持不变：土壤的泊松比为0.3，灌浆泡体积为0.37立方米，隧道埋深为5.0米，灌浆压力为0.8 MPa。附加荷载的计算结果如图14所示。

如图14(a)所示，附加荷载在灌浆区域中心附近达到最大值，并沿隧道轴线对称衰减。随着距离的增加，附加荷载呈现非线性衰减趋势。当隧道靠近灌浆区域时，附加荷载对距离的变化较为敏感；而当距离超过3米时，应力变化较为平缓。这些结果表明，适当增加灌浆区域与隧道之间的距离可以有效减少灌浆施工对现有隧道结构的不利影响。

如图14(b)所示，\(\sigma_{max}\)随距离的增加而显著减小。以\(D_t = 1.5\)米作为参考情况，不同条件下的\(\sigma_{max}\)衰减程度分别为22.9%、38.4%、49.7%和58.0%。当距离\(D_t\)从1.5米增加到3.5米时，\(\sigma_{max}\)减小约58%。当灌浆区域靠近隧道时，应力更容易传递到隧道结构。随着距离的增加，应力在土壤中逐渐扩散和衰减，从而显著减少了作用在隧道上的附加荷载。

5.1.3. 灌浆泡体积（\(V\)
为了研究灌浆泡体积对附加荷载的影响，本研究采用单变量控制方法。灌浆泡体积的范围为0.5立方米至2.5立方米，其他参数保持不变：土壤的泊松比为0.3，隧道顶板与灌浆区域之间的距离为2.5米，隧道埋深为5.0米，灌浆压力为0.8 MPa。附加荷载的计算结果如图15所示。

如图15(a)所示，附加荷载在灌浆中心附近达到最大值，并随距离的增加而呈凹形衰减。当距离灌浆中心约15至20米时，附加荷载趋于零，表明灌浆泡膨胀引起的扰动主要集中在灌浆区域附近。随着灌浆泡体积的增大，附加荷载的峰值逐渐增大，而应力影响的空间范围基本不变。

如图15(b)所示，\(\sigma_{max}\)随灌浆泡体积的增加而非线性增大，但其增长速率逐渐减小。当灌浆泡体积从0.5立方米增加到1.0立方米时，\(\sigma_{max}\)的增加最为显著，增加了约35.7%。相比之下，当体积从2.0立方米增加到2.5立方米时，\(\sigma_{max}\)仅增加了约4.5%。这种行为可以归因于较小灌浆体积下土壤中的较大孔隙空间，使得灌浆膨胀引起的土壤变形更为明显。随着灌浆球体积的持续增加，周围土壤逐渐被压实，从而导致变形能力下降。因此，额外载荷的增加速率逐渐减小。5.1.4 灌浆压力（P）为了研究灌浆压力对额外载荷的影响规律，本研究采用单一变量控制方法。灌浆压力在0.2 MPa至1.0 MPa之间进行计算，其他参数保持不变，具体如下：灌浆球体积=0.37立方米，地铁隧道的埋深=5.0米，地铁隧道与灌浆区域之间的距离=2.5米。额外载荷的计算结果见图16。下载：下载高分辨率图片（342KB）下载：下载全尺寸图片图16. 灌浆压力对额外载荷的影响。如图16（a）所示，额外载荷在灌浆区域中心达到最大值，然后随着距离灌浆中心的增加而迅速减小，呈现出明显的尖峰分布。增加灌浆压力会显著提高峰值额外载荷和受影响区域内的载荷大小。然而，在不同的灌浆压力下，整体分布模式和衰减特性大致相似，表明灌浆压力主要控制额外载荷的大小而不是其空间分布。在距离灌浆中心大约15米之外，额外载荷逐渐趋近于零。这一结果表明，灌浆引起的额外载荷具有高度局部性，主要集中在灌浆区域正上方的隧道部分。图16（b）显示，随着灌浆压力每增加0.2 MPa，σmax约增加70 kN/m。ησp与灌浆压力呈明显的线性关系。这种现象可以归因于灌浆压力直接控制灌浆材料的膨胀能力。较高的灌浆压力会对周围土壤产生更强的挤压作用，导致土壤体内的应力显著增加。这种应力随后通过土结构相互作用传递到隧道衬砌，从而显著增加作用于地铁隧道的额外载荷。5.2 影响隆起位移的因素分析为了确定控制灌浆引起的隧道响应的关键因素，进行了参数分析。参数的选择依据它们在所提出的分析公式中的作用。地基反力系数k直接控制方程（16）中的基础约束，而灌浆压力、灌浆球尺寸和隧道-灌浆距离则控制等效载荷q(x)的大小和空间分布。这些参数因此直接影响隧道的隆起响应w(x)。基准值来自南京地铁10号线的灌浆项目，研究范围的选择代表了实际注浆压实项目中常见的变化情况。5.2.1 灌浆球体积（V）为了研究灌浆球体积对隆起位移的影响，采用单一变量控制方法。灌浆球体积的范围选为0.5立方米至2.5立方米，其他参数保持不变，具体如下：地铁隧道与灌浆区域之间的距离为1.5米，灌浆压力为0.8 MPa，地铁隧道的埋深为4.5米，土壤的地基反力模量为5×10^3 kN/m3。隆起位移的计算结果见图17。下载：下载高分辨率图片（338KB）下载：下载全尺寸图片图17. 灌浆球体积对隆起位移的影响。如图17（a）所示，在不同的灌浆球体积下，隆起位移沿隧道轴线呈对称分布。在灌浆区域中心附近，隆起达到最大值。随着距离灌浆区域的增加，隆起位移迅速减小，并在距离中心约20米处逐渐趋近于零。这种模式表明，在注浆压实引起的隆起过程中，灌浆球的体积膨胀导致灌浆区域附近的土壤向上挤压，从而引起隧道底部的局部隆起。随着灌浆球体积的增加，隆起曲线整体向上移动，峰值隆起位移显著增加，表明较大的灌浆球体积加剧了土壤扰动。图17（b）显示，wmax和ηV随着灌浆体积的增加而呈指数增长趋势，但增长速率逐渐减慢。当灌浆体积从0.5立方米增加到1.5立方米时，wmax从19.79毫米增加到35.95毫米，总体增加了约81.7%。然而，当灌浆体积超过1.5立方米时，ηV的增长明显放缓。这种现象可以归因于灌浆注入量增加引起的土壤孔隙逐渐压实，增强了土壤的密实度并降低了变形能力。因此，随着灌浆体积的进一步增加，所产生的增量隆起变得不那么显著。5.2.2 地铁隧道的埋深（H）为了研究地铁隧道埋深对隆起位移的影响规律，本研究采用单一变量控制方法。隧道埋深的计算范围为4.0米至8.0米，其他参数保持不变，具体如下：灌浆球体积=0.37立方米，地铁隧道与灌浆区域之间的距离=1.5米，灌浆压力=0.8 MPa，土壤地基反力系数=5×10^3 kN/m3。隆起位移的计算结果见图18。下载：下载高分辨率图片（311KB）下载：下载全尺寸图片图18. 隧道埋深对隆起位移的影响。如图18（a）所示，在不同的隧道埋深下，隆起位移的峰值始终出现在灌浆区域中心附近，表明灌浆扩散产生的膨胀压力主要集中在灌浆区域正上方，并通过周围土壤传递到隧道底部。随着埋深的增加，隆起曲线的整体形状基本不变，但峰值隆起有所减小。这表明，随着埋深的增加，灌浆引起的扰动对隧道结构的影响逐渐减弱。图18（b）显示，wmax和ηH随着埋深的增加而呈非线性减小趋势，隆起位移平均每增加2米减小约0.45毫米，相当于减少了约2.1%。当埋深从4米增加到12米时，wmax从24.8毫米减小到21.13毫米，减少了约10.8%。这种现象可以归因于埋深增加带来的增强约束效果和原地应力的增加，这些因素抑制了土壤变形并减弱了灌浆引起的扰动对隧道的传递。5.2.3 地铁隧道与灌浆区域之间的距离（Dt）为了研究地铁隧道与灌浆区域之间的距离对隆起位移的影响，采用单一变量控制方法。地铁隧道与灌浆区域之间的距离范围选为1.5米至3.5米，其他参数保持不变，具体如下：灌浆球体积为0.37立方米，灌浆压力为0.8 MPa，隧道埋深为4.5米，土壤地基反力系数为5×10^3 kN/m3。隆起位移的计算结果见图19。下载：下载高分辨率图片（328KB）下载：下载全尺寸图片图19. 地铁隧道与灌浆区域之间的距离对隆起位移的影响。如图19（a）所示，隆起位移在灌浆区域中心对称分布，在该中心达到最大值，然后随着距离的增加而逐渐减弱。随着隧道与灌浆区域之间的距离增加，隆起曲线的整体形状基本不变，但峰值幅度逐渐减小。这是因为在较短的距离内，灌浆引起的膨胀压力可以有效地传递到隧道底部，导致更明显的隆起响应。随着距离的增加，土壤内的应力扩散和能量耗散变得更加显著，从而明显减少了隆起效应。隧道与灌浆区域之间的距离应严格控制。过小的距离可能导致过度隆起和局部结构损伤，而过大的距离则可能导致沉降修正不足。因此，应优化灌浆位置，以在可接受范围内实现所需的隆起效果。图19（b）展示了地铁隧道与灌浆区域之间的距离对隆起位移的影响。结果显示，wmax和ηDt随着距离的增加而呈线性减小趋势。当距离从1.5米增加到3.5米时，wmax减小到20.47毫米，总共减少了约43.9%。这表明，随着灌浆区域与隧道之间的距离增加，灌浆扩散在土壤中产生的膨胀压力传播路径变长。因此，应力逐渐分散和减弱，导致传递到隧道底部的隆起效应显著减小。5.2.4 土壤地基反力模量（k）为了研究土壤地基反力模量对隆起位移的影响，采用单一变量控制方法。地基反力模量的范围选为5×10^3 kN/m3至1.3×10^4 kN/m3，其他参数保持不变，具体如下：土壤泊松比率为0.3，灌浆球体积为0.37立方米，灌浆区域与隧道底部之间的距离为1.0米，灌浆压力为0.8 MPa，隧道埋深为4.5米。隆起位移的计算结果见图20。下载：下载高分辨率图片（354KB）下载：下载全尺寸图片图20. 土壤地基反力模量对隆起位移的影响。如图20（a）所示，在不同的地基反力模量条件下，隆起位移在灌浆区域周围呈现明显的对称分布，形成典型的单峰曲线。最大隆起发生在灌浆膨胀区附近，然后随着距离灌浆中心的增加而逐渐减小，在大约20至40米处趋于零。随着地基反力模量的增加，整体分布模式和影响范围基本不变。图20（b）表明，wmax随地基反力模量的增加而单调减小。当地基反力模量从5×10^3 kN/m3增加到9×10^3 kN/m3时，wmax从30.96毫米逐渐减小到19.55毫米，表明隆起幅度显著减小。当地基反力模量进一步增加到1.3×10^4 kN/m3时，wmax减小了约14.65毫米，隆起效率降低了52.6%。这表明，较高的地基反力模量对应于更高的土壤刚度和更强的抗变形能力，从而减弱了灌浆膨胀引起的隆起效应。5.2.5 灌浆压力（P）为了研究灌浆压力对隧道隆起的影响，采用逐个因素分析的方法。在本分析中，现场压力计记录的灌浆压力被假设为大致等于灌浆-土壤界面上作用的等效应力。这种等效应力假设忽略了注入管道中的压力损失、静水效应和瞬态压力波动。随后使用球形腔体膨胀公式从规定的灌浆压力计算出隆起力，并不将其视为独立输入参数。灌浆压力在0.4 MPa至1.2 MPa之间变化，其他参数保持不变：地铁隧道与灌浆区域之间的距离为1.5米，灌浆球体积为0.37立方米，隧道埋深为4.5米，地基反力系数为5×10^3 kN/m3。计算出的隧道隆起位移见图21。下载：下载高分辨率图片（345KB）下载：下载全尺寸图片图21. 灌浆压力对隆起位移的影响。如图21（a）所示，在不同的灌浆压力条件下，隆起位移曲线的整体形状基本保持一致。然而，随着灌浆压力的增加，隆起幅度和变形梯度显著增加。当灌浆压力从0.4 MPa增加到1.2 MPa时，灌浆区域中心的隆起位移显著增加，曲线峰值也变得越来越尖锐，表明隧道底部的变形局部化程度更强。相比之下，远离灌浆区域的隆起响应变化较小，不同条件下的曲线逐渐趋于一致。这表明灌浆压力对远场地面变形的影响有限，其效果主要集中在灌浆膨胀区附近。

如图21(b)所示，灌浆压力每增加0.2 MPa，隆起位移大约增加5 mm，相当于增加了约50%。与0.4 MPa的情况相比，当灌浆压力上升到1.2 MPa时，wmax增加了约197%。这些结果表明，灌浆压力是影响隧道隆起的关键因素。适当增加灌浆压力可以增强灌浆料的膨胀能力并改善隧道顶部的隆起性能。然而，过高的灌浆压力可能会加剧土壤扰动。因此，应根据地质条件合理控制灌浆压力，以确保隆起效果和工程安全。

参数分析采用逐个因素的方法来隔离每个变量的边际效应。这种方法并不意味着实际灌浆参数是相互独立的。灌浆量、灌浆压力、隧道深度、灌浆材料和注入速率在施工过程中可能会相互作用。因此，当前结果仅表示各参数在基线情况下的敏感性，而不是完全耦合的灌浆响应。未来的研究将采用多因素分析来量化这些相互作用，并优化组合灌浆参数。

6. 结论

本文开发了一种分析方法，结合了球形腔体膨胀理论、统一强度理论、Mindlin解以及Winkler基础上的Timoshenko梁，用于预测在软粘土中进行压缩灌浆的地铁隧道的灌浆球半径、隆起力、附加荷载和隆起位移。主要结论如下：
(1) 所提出的方法建立了一个统一的分析框架，将灌浆球膨胀、通过周围土壤的应力传递和隧道的纵向隆起响应联系起来。附加荷载来自灌浆引起的应力场，随后应用于梁-基础模型以计算隧道隆起。
(2) 附加荷载和隧道隆起随着灌浆量和灌浆压力的增加而增加，但随着隧道埋深和地铁隧道与灌浆区域距离的增加而减小。隧道隆起还会随着路基反应系数的增加而减小。在所研究的参数中，灌浆压力的影响最为显著。灌浆压力增加0.2 MPa会使附加荷载增加约50%，隆起位移增加约5 mm。相比之下，埋深增加2 m会使附加荷载仅减少约2.1%，隆起位移减少约0.45 mm。
(3) 通过南京地铁10号线的案例研究验证了所提出的方法。计算结果与现场测量值吻合良好，偏差为1.76 mm（误差仅为7.6%），证明了该方法的可靠性。
(4) 本分析模型侧重于即时的隆起响应，没有考虑过量孔隙水压力的消散或相关的灌浆后固结沉降。未来的工作将开发一个基于物理的神经网络模型，纳入过量孔隙水压力的产生和消散，以预测从初始隆起到长期残余隆起的隧道变形的时间依赖性演变。

**作者贡献声明：**
王二博：撰写——原始草稿、方法论、正式分析
王志峰：方法论、资金获取、概念化
王雅琼：监督、资金获取、概念化
沈鹏：调查、正式分析
范振浩：验证、数据整理