翻卷破碎波下方气泡云的分阶段演化与尺寸依赖的垂直输运

《Coastal Engineering》：Stage-resolved evolution and size-dependent vertical transport of bubble clouds beneath plunging breaking waves

　　

摘要
跌波将空气卷入水中，并在自由液面下方产生瞬态气泡云。这些气泡影响沿海水域的气体交换、湍流混合、声学发射和传输过程。进行高保真数值模拟，以研究跌波产生的气泡云的阶段演化及依赖尺寸的垂直传输。针对高低密度比的气水流动，使用了一致的质量和动量传输方案以及稳健的表面张力处理方法。气泡识别和短时迁移方法提供了单个气泡的尺寸、位置和速度。气泡云的演化分为初始空气卷入、活跃破碎和传输，以及伴有表面排气的气柱衰减三个阶段。气泡数量和总气体体积在气柱形成过程中几乎同时增加，但气泡数量表现出更强烈的波动，并在峰值后下降得更快。这种差异表明是快速的人群重组，而不是卷入空气的立即成比例损失。发生图显示快速顺流扩展、向下渗透和逐渐减弱的气柱。质心历史、短时轨迹和迁移包络揭示了有组织的云尺度迁移。顺流传输主要由破碎后的平流控制，而垂直传输强烈依赖于气泡尺寸。小气泡更容易被向下传输并在更深深度停留，而大气泡随着破碎引起的流动减弱更快地向上恢复。活跃传输后残留一个残余的潜水面气柱。因此，气柱衰减是一个依赖尺寸的再分配过程，受湍流传输、残余环流、浮力、水平平流和表面排气控制。

1. 引言
波浪破碎是海气界面的基本过程。它将动量和能量从表面波转移到上层海洋，并促进自由表面上的热、气体和质量交换。在跌波破碎过程中，翻转射流冲击波的前缘并将空气困在表面下方。卷入的空气腔随后坍塌并破碎成具有广泛尺寸范围的瞬态气泡云。这些气泡改变近表面湍流，增加可用于气体交换的界面面积，产生声学信号，并影响光学散射。因此，理解气泡云的演化对于海气相互作用、与气候相关的气体传输以及海岸和海洋工程应用具有重要意义 (Melville, 1996; Sullivan and McWilliams, 2010; de Leeuw et al., 2011; Garbe et al., 2014; Veron, 2015; Deike, 2022)。

波浪破碎引起的空气卷入已通过实验室实验、野外观测和数值模拟进行了研究。早期的实验室研究表明，当翻转射流冲击水面时，跌波会困住大的空气腔。这些腔体随后坍塌和破碎，在自由液面下方产生密集的气泡柱 (Duncan, 1981; Rapp and Melville, 1990; Lamarre and Melville, 1991; Deane and Stokes, 2002)。后来的实验量化了不同破碎条件下的空隙率、气泡尺寸和气泡云的空间结构 (Hoque and Aoki, 2005; Blenkinsopp and Chaplin, 2007, 2010)。这些研究表明，气泡的产生强烈依赖于破碎强度、波浪几何形状和湍流耗散。他们还表明，气泡云是一个快速演化的多相结构，涉及空气卷入、腔体破碎、气泡传输和表面排气 (Callaghan et al., 2013, 2016; Callaghan, 2018)。

气泡群体通常使用气泡数量、卷入气体体积、空隙率和尺寸分布来表征。这些量度测量了卷入空气的量和腔体破碎的程度。许多研究报告了在部分已分辨气泡尺寸范围内的幂律行为 (Loewen et al., 1996; Garrett et al., 2000; Terrill et al., 2001; Deane and Stokes, 2002; Leifer and de Leeuw, 2006; Rojas and Loewen, 2007)。特别是，大于 Hinze 尺度的气泡分布通常与接近 $N(r)\sim r^{-10/3}$ 的湍流破碎标度相关 (Deike et al., 2016; Mostert et al., 2022; Shi et al., 2023)。这些统计对于理解破碎和气体体积分配至关重要，但它们对迁移、水下停留和卷入后气柱重组提供的信息有限。

气泡柱在破碎后阶段的空间发展也很重要。气泡穿透深度和停留时间影响气体溶解、声学响应和潜水面气泡云的持久性 (Thorpe, 1982; Woolf and Thorpe, 1991; Keeling, 1993)。野外观测表明，在强烈的风浪条件下，气泡柱可以在自由液面下方保持几个波周期，并渗透到相当深度 (Vagle et al., 2010; Czerski et al., 2022; Derakhti et al., 2024)。气柱渗透也与白帽覆盖、风速、波浪陡度和波浪年龄有关 (Schwendeman and Thomson, 2015; Brumer et al., 2017; Derakhti et al., 2024)。这些测量提供了有价值的气柱尺度信息，但通常侧重于深度分布、表面覆盖或声学后向散射。演化云中短时气泡位移在实验上更难分辨。

轨迹分析提供了一种直接检查卷入后气泡传输的方法。气泡运动受破碎引起的流、湍流波动、浮力和波浪轨道运动影响，因此卷入的气泡不表现为被动示踪剂。表面波下物质传输的研究表明，波引起的漂移可以强烈影响近表面传输 (Eames, 2008; van den Bremer and Breivik, 2017; DiBenedetto et al., 2022)。破碎期间传输变得更加复杂，因为强烈的向下流动和湍流混合与浮力上升作用相反。实验室测量表明，新卷入的气泡在其早期水下阶段可以比经典 Stokes 漂移预测的速度更快地向下游移动 (Ruth et al., 2022)。破碎波还可以增强海洋表面附近浮力粒子的传输 (Pizzo et al., 2019; Lenain et al., 2019)。这些发现突显了在气泡柱寿命内分辨顺流迁移和垂直再分配的必要性。

数值模拟提供了补充信息，因为它们可以在空间和时间上分辨气 - 水界面和潜水面气泡场。界面分辨模拟重现了跌波过程中射流冲击、空气腔困陷、腔体坍塌和气泡破碎 (Chen et al., 1999; Song and Sirviente, 2004; Iafrati, 2009; Deike et al., 2015, 2016; Lubin and Glockner, 2015; Wang et al., 2016)。高分辨率模拟进一步表明，破碎引起的湍流、气泡产生和液滴喷射是强烈耦合且本质上是三维的 (Mostert et al., 2022)。降阶多相模型，包括欧拉 - 欧拉、欧拉 - 拉格朗日和平滑粒子流体动力学方法，也已开发用于以较低计算成本表示气泡传输 (Ma et al., 2011; Derakhti and Kirby, 2014; King et al., 2023)。最近，高保真模拟表明，在破碎后阶段，气泡上升、速度分布、尺寸分层和气泡 - 涡相互作用很重要 (Liu et al., 2024)。

尽管取得了这些进展，破碎波下方气泡云的时间依赖迁移仍未得到充分量化。以前的研究主要集中在总卷入空气体积、气泡尺寸分布、空隙率或气柱穿透深度上。这些措施描述了气泡产生和气柱发展，但它们没有完全分辨连续时间之间云的运动。目前尚不清楚云质心如何迁移，活跃破碎后气柱如何重组，以及不同尺寸的气泡如何贡献于向下渗透和向上恢复。这些问题不能通过将气泡场视为独立气泡的集合来解决。云是一个连贯且演化的结构，不断受波引起的卷入、湍流传输、浮力和表面排气修改。

在本研究中，跌波的高保真数值模拟用于研究卷入气泡云的阶段演化和依赖尺寸的垂直传输。每个识别气泡的位置、半径和速度从连续的模拟输出中获得。分析结合了群体统计、时空发生图、速度场、群体质心历史、短时轨迹、迁移包络和分组尺寸统计。特别关注顺流扩展、向下渗透、潜水面保留和浮力恢复。结果提供了跌波下方气泡云传输的分辨阶段和尺寸的描述。

本文其余部分组织如下。第二节描述了控制方程、数值方法、计算配置、气泡识别程序、传输指标和数值验证。第三节展示主要结果并讨论跌波下方气泡云的阶段演化、空间组织、短时迁移、依赖尺寸的垂直传输和潜水面保留。第四节总结主要结论。

2. 数值设置与方法
2.1. 控制方程
破碎波被模拟为不可压缩两相流，使用单一流体公式。空气和水共享共同的速度和压力场，而密度和粘度在界面上变化。速度场满足不可压缩条件，$\nabla \cdot \mathbf{u}=0$。守恒的质量和动量方程为
(1) $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf{u})=0$,
(2) $\frac{\partial(\rho \mathbf{u})}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf{u} \mathbf{u})=-\nabla p+\nabla \cdot \boldsymbol{\tau}+\rho \mathbf{g}+\mathbf{f}_{\sigma}$,
其中 $\mathbf{u}$ 是速度向量，$p$ 是压力，$\rho$ 是局部密度，$\mathbf{g}$ 是重力加速度，$\mathbf{f}_{\sigma}$ 是表面张力。粘性应力张量为
(3) $\boldsymbol{\tau}=\mu[\nabla \mathbf{u}+(\nabla \mathbf{u})^{T}]$,
其中 $\mu$ 是局部动力粘度。

界面由水体积分数 $\alpha$ 表示，满足
(4) $\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\nabla \cdot(\alpha \mathbf{u})=0$,
这里，$\alpha=1$ 表示水，$\alpha=0$ 表示空气。局部密度和粘度计算为
(5) $\rho=\rho_{l} \alpha+\rho_{a}(1-\alpha)$,
(6) $\mu=\mu_{l} \alpha+\mu_{a}(1-\alpha)$,
其中下标 $l$ 和 $a$ 分别表示液相和气相。表面张力表示为
(7) $\mathbf{f}_{\sigma}=\sigma \kappa \delta \mathbf{n}$,
其中 $\sigma$ 是表面张力系数，$\kappa$ 是界面曲率，$\delta$ 是表面 delta 函数，$\mathbf{n}$ 是单位法向量。曲率使用带有局部平滑的高度函数方法评估。这种处理改善了界面发生强烈变形时的数值鲁棒性。

控制方程使用自研的高保真两相流求解器求解。使用块结构自适应网格细化方法分辨跌波过程中产生的广泛界面尺度 (Liu and Hu, 2017, 2018a, 2018b)。网格在自由表面、卷入的空气腔、气泡和具有大流动梯度的区域附近动态细化。在流动变化弱的区域使用较粗的网格。这种策略在保持演化气泡云周围的高局部分辨率的同时限制总计算成本。

对流项使用加权本质非振荡格式离散化 (Shu, 2003)。使用耦合的水平集和流体体积方法捕捉界面 (Sussman and Puckett, 2000)。流体体积场提供守恒相传输，而水平集场提供平滑的几何信息。该方法表示界面翻转、重连、腔体坍塌和气泡形成。还采用了一致的质量和动量传输方案，以提高气水系统大密度比的稳定性 (Liu et al., 2022)。

2.2. 计算配置与分阶段定义
图 1(a) 显示了计算配置。模拟在三维矩形区域中进行。顺流、展向和垂直坐标分别表示为 $x, y$ 和 $z$。区域包含水层上方的空气层，由可变形自由表面分隔。平均水位定义为 $z=0$。

图 1. 气泡云演化的计算配置和阶段定义。(a) 三维计算区域、边界条件和局部细化网格。(b) 三个阶段的示意图：初始空气卷入、活跃破碎和传输，以及伴有表面排气的气柱衰减。

在顺流方向施加周期边界条件以表示连续波列。对其他边界施加滑移壁面条件以减少人为边界效应。物理属性对应于气水系统。水气密度比为 828，雷诺数为 $1.01 \times 10^5$。

初始波浪使用三阶 Stokes 理论指定。自由表面高程为
(8) $\eta(x)=a[\cos (k x)+\frac{1}{2} a k \cos (2 k x)+\frac{3}{8}(a k)^{2} \cos (3 k x)]$,
其中 $a$ 是波振幅，$k=2\pi/\lambda$ 是波数，$\lambda$ 是波长。初始水平和垂直速度写为
(9) $u(x, z)=\sum_{n=1}^{3} C_{n} e^{n k z} \cos (n k x)$,
(10) $w(x, z)=\sum_{n=1}^{3} C_{n} e^{n k z} \sin (n k x)$,
其中 $C_n$ 表示每个谐波的相应速度系数。波长 $\lambda$ 和波周期 $T$ 用作特征长度和时间尺度。最小网格间距为 $\Delta_{\text{min}}=1\,\text{mm}$。

为清晰起见，这里总结了本分析中使用的完整配置。波长和周期分别为 $\lambda=1.0\,\text{m}$ 和 $T=0.701\,\text{s}$，波浪陡度为 $S=0.55$，计算维度为 $L_x \times L_y \times L_z=1.0 \times 0.5 \times 1.0\,\text{m}$，展向宽度 $L_y=0.5\lambda$。气水密度和动力粘度比分别为 828 和 55.4，表面张力系数为 $\sigma=0.072\,\text{N}\,\text{m}^{-1}$，雷诺数为 $1.01 \times 10^5$。生产计算使用 $\Delta_{\text{min}}=1\,\text{mm}$。气泡场在 $t=0.400-3.000\,\text{s}$ 期间每 $\Delta t=0.01\,\text{s}$ 写入一次。

图 1(b) 展示了用于将气泡云演化分为三个阶段的框架。阶段 I 代表初始空气卷入，在此阶段翻转射流冲击水面并困住大的空气腔。

阶段 II 代表活跃的破碎和输运，此时卷吸的空气结构破碎成气泡，并在破碎后的流场下扩散。阶段 III 代表羽流衰减和表面排气，随着流场减弱，大气泡向自由面上升，而小气泡形成稀释的残余羽流。在此，表面排气是指气泡通过自由面与大气重新连接而逸出；分子气体溶解未被建模。

2.3. 气泡识别与数据处理

气泡信息从每个输出时间的数值结果中提取。气 - 水界面从体积分数场重构。与大气完全分离且位于自由面以下的连通气相区域被识别为单个气泡。随后计算每个气泡的体积、质心位置、等效半径和速度。

等效半径由气泡体积 $V_b$ 确定 (11) $r_b=(3V_b/4\pi)^{1/3}$。

气泡质心由连通气相区域的体积中心计算，气泡速度由同一区域内的流场获得。这些量为后续的输运分析提供了基础。

报告的瞬时气泡速度是连通气相分量内已分辨欧拉速度的体积平均值。因此，它是在一个输出时评估的欧拉气区速度，而不是气泡质心的有限差分速度。质心位移速度是根据连续输出之间质心位置的变化单独计算的，且仅在接受了唯一的输出间匹配之后。

分析重点在于半径从 1 到 10 毫米的气泡，它们代表了参与水下输运的主要已分辨种群。大型连通空气腔被排除，因为它们尚未破碎成单个气泡，低于可靠分辨范围的特征也被省略。使用五个更细的分类 (1?2, 2?3, 3?5, 5?8, 和 8?10 毫米) 进行种群统计。使用三个更宽的组别 (1?3, 3?5, 和 5?10 毫米) 进行轨迹和深度停留分析。

气泡特性在 0.400 到 3.000 秒的区间内进行分析。波周期为 $T=0.701$ 秒，无量纲时间定义为 (12) $t^*=t/T$。因此，分析的区间对应于 $t^*=0.58?4.28$。阶段 I 覆盖 0.400?0.771 秒 ($t^*=0.58?1.10$)，阶段 II 覆盖 0.771?1.500 秒 ($t^*=1.10?2.14$)，阶段 III 覆盖 1.500?3.000 秒 ($t^*=2.14?4.28$)。此阶段定义在所有后续分析中一致使用。

这两个边界既与界面拓扑有关，也与图 4 中的种群历史有关。阶段 I/II 边界标志着初始卷吸腔体的坍塌以及已分辨气泡数量和气体体积持续快速增加的开始。阶段 II/III 边界标志着活跃破碎的结束，此后气泡产生和特征速度进入持续衰减。

代表性快照如图 2 所示。在 $t^*=1.71$ 时，在活跃破碎和输运期间，强扰动的自由面下方发展出密集的气泡云。在 $t^*=2.14$ 时，羽流开始衰减并水平扩散。在 $t^*=2.35$ 时，大气泡显示出明显的向上恢复，而小气泡仍停留在表面以下。在 $t^*=2.71$ 时，羽流变得稀释，但仍有残余气泡种群。逐渐衰减反映了水平平流、湍流滞留、浮力上升和表面排气的综合作用。

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图 2. 活跃输运和羽流衰减期间气泡云的时间演变。 (a) $t^*=1.71$，活跃破碎和输运期间的密集气泡云。 (b) $t^*=2.14$，羽流衰减开始，伴随水平扩散和向上恢复。 (c) $t^*=2.35$，减弱的羽流，含有残余水下气泡。 (d) $t^*=2.71$，稀释的残余羽流，主要由小气泡主导。

2.4. 气泡云输运指标

分析主要考虑 $x-z$ 平面，因为主要的气泡运动发生在流向和垂直方向。使用补充指标来描述种群演变、云尺度迁移和短时间气泡位移。

种群指标包括气泡数量、总气体体积、半径、速度大小和尺寸分类比例。在时间 - 位置、时间 - 半径和时间 - 速度坐标系中构建发生图，以显示流向扩散、向下渗透、尺寸演变和羽流减弱。在 $x-z$ 平面中的空间图显示首次出现时间、累积发生次数、平均半径、平均速度和平均垂直速度。

所有频率图均通过贡献输出的数量进行归一化。对于每个空间箱和阶段，累积的气泡质心记录除以相应的输出数量，因此色标代表每个快照的平均气泡计数，而不是原始累积计数。这种归一化使得能够对持续时间不等的阶段进行直接比较。首次出现时间表示进入箱内的最早样本，而平均半径、速度和垂直速度是该箱内所有气泡记录的条件平均值。

云尺度运动使用种群质心路径、百分位数包络线、空间跨度和质心漂移速度来量化。计数加权质心强调众多的小气泡，而体积加权质心对大气泡和腔体残余更敏感。P10?P90 包络线定义了云所占的主要区域，相应的跨度是第 90 百分位和第 10 百分位位置之间的差值。因为气泡的产生和移除也会移动质心，这些量被解释为种群统计量，而不是严格的拉格朗日轨迹。

计数加权质心是所有气泡质心坐标的算术平均值，而体积加权质心使用已分辨气泡体积作为加权因子。质心漂移速度根据连续输出之间质心位置的变化进行评估。流向和垂直跨度分别是第 90 百分位和第 10 百分位位置之间的差值，渗透比例是低于选定深度的气泡数量除以相应的种群大小。垂直运动偏差是向上和向下运动记录之间的归一化差值；正值表示主要向上运动，负值表示主要向下运动。平均水位为 $z=0$，$z$ 和垂直速度均向上为正；水下位置和向下位移为负，而渗透深度报告为平均表面以下的正距离。

短轨迹通过使用空间重叠、质心位移和体积一致性在连续输出之间匹配气泡来构建。仅当重叠最大且体积比在 0.5 到 2 之间时，才接受唯一的一一对应匹配。如果通过平流失去直接重叠，则使用具有两个网格间距容限的速度预测搜索区域。一对多和多对一链接分别归类为破碎和聚并，不作为唯一轨迹继续。

由于流向是周期性的，在计算质心、百分位数包络线、跨度和位移之前，使用最小镜像惯例对匹配位置进行展开。坐标仅在绘图时重新包裹，以防止在周期边界处出现人为跳跃或反转。

2.5. 数值结果的验证

使用气泡云形态和气泡尺寸统计来评估数值结果。图 3(a) 将 Blenkinsopp 和 Chaplin (2011) 的实验室观测与当前的数值结果进行比较。模拟重现了空气腔卷吸、密集气泡云形成、向下羽流发展和晚期衰减的主要阶段。因为实验和数值条件不完全相同，比较的目的是评估主要物理特征上的一致性，而不是逐点对应。图 3(b) 将计算的气泡尺寸分布与已发表的数据进行比较。当前结果位于实验范围内，并显示气泡数量随半径增加而明显减少。对于大约大于 1 毫米的气泡，分布与参考标度大致一致。

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图 3. 数值结果的验证。 (a) Blenkinsopp 和 Chaplin (2011) 的实验室观测与当前数值结果之间的定性比较。左列显示实验图像，右列显示相应的数值可视化。 (b) 当前气泡尺寸分布与 Blenkinsopp 和 Chaplin (2010)，Loewen 等 (1996)，Rojas 和 Loewen (2007) 以及 Deane 和 Stokes (2002) 的测量比较。实线表示参考标度 $N(r)\sim r^{-10/3}$ (Deike 等，2016; Mostert 等，2022; Shi 等，2023)。

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图 4. 气泡云的种群尺度演变。 (a) 气泡数量和总气体体积。 (b) 气泡半径统计。 (c) 气泡速度统计。垂直虚线指示三个阶段之间的边界。

图 3(b) 中未应用跨数据集幅度归一化。转换为共同的半径单位后，每个数据集保留其原始数量分布定义。因此，比较仅限于 1 ≤ r ≤ 10 毫米的共同已分辨范围以及 $N(r)$ 随半径减小的趋势。$r^{-10/3}$ 线仅作为大约 2?10 毫米的参考，而不是拟合回归。因为已发表的数据集使用不同的采样和不确定性定义，未报告池化置信区间。

(13) $N(r)\sim r^{-10/3}$,

羽流形态和尺寸分布上的一致性表明，模拟捕捉到了已分辨范围内的主要破碎行为。它支持使用数值结果来研究气泡云迁移、垂直再分布和水下滞留。

对于当前模拟，最大已分辨气泡渗透深度约为平均水位以下 0.24 米。因为实验图像未提供可直接比较的空间原点或相位对齐，因此针对该深度的逐点实验误差没有意义。因此，验证仅限于已分辨毫米级尺寸趋势、羽流形成和衰减的整体序列以及羽流渗透的量级，而不是气泡数量或瞬时几何的精确一致。

数值求解器也在先前的剧烈自由面和多相流研究中得到验证，包括波浪破碎、水跃、空气卷吸和气泡坍塌 (Hu 等，2021, 2023, 2024; Li 等，2021; X. Yang 等，2021, 2023, 2024; Y.H. Yang 等，2023)。

3. 结果与讨论

3.1. 气泡云统计的阶段性重组

图 4(a) 显示气泡数量和总气体体积遵循大致相似的趋势，尽管气泡数量表现出更强的短时间波动。在阶段 I 和阶段 II 期间，随着卷吸、腔体破碎和气泡产生连续发生，这两个量均增加并快速增长。它们在大约 $t^*=1.6-1.7$ 时达到最高水平，峰值时间之间没有明显的分离。随后气泡数量急剧下降，而总气体体积在短暂保持高位后下降。这种分歧表明已分辨种群的数量 - 体积组成发生了变化，但这本身并不能区分聚并、选择性表面损失、亚截止破碎或气体连通性的变化。因此，这些机制被视为合理的解释，而不是测量的事件预算。在过渡到阶段 III 后，随着气泡产生减弱以及羽流通过浮力上升、表面排气和水平输运而被消耗，两个量均下降。

图 4(b) 和 (c) 将种群演变与气泡尺寸和输运强度联系起来。在活跃阶段期间，平均、中位和第 90 百分位半径保持相对较大。这表明在卷吸后不久，云中仍含有大气泡和腔体碎片。随着空气结构继续破碎和大气泡向上逸出，这些特征半径减小。因此，气泡尺寸的减小受破碎和选择性移除的控制。

气泡速度表现出类似的阶段依赖性。在阶段 I 和 II 期间，射流冲击、腔体坍塌和强湍流波动驱动快速气泡运动，出现高速度。随后随着破碎后流场失去能量，平均速度下降。在活跃阶段期间，第 90 百分位速度远高于平均值。这种差异表明最强的气泡运动是间歇性的。它们与局部能量事件有关，而不是整个羽流中的均匀运动。此类事件可能包括向下射流、腔体坍塌以及冲击后产生的强涡旋结构。

图 5 进一步显示，羽流演变涉及气泡尺寸之间的连续再分布。它不能被描述为气泡数量的简单单调减少。如图 5(a) 所示，半径为 1 到 2 毫米的气泡增加最快，并在活跃破碎期间主导数量种群。2 到 3 毫米和 3 到 5 毫米的组别也做出了重要贡献。相比之下，大于 5 毫米的气泡相对罕见。这种尺寸组成与破碎级联一致。初始空气腔首先破碎成大碎片。这些碎片随后发生二次破碎，产生许多小气泡和中间气泡。因此，气泡数量的大部分增加发生在较小的尺寸分类中。大气泡对气体体积贡献强烈，但对总数量贡献要少得多。

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图 5.

不同尺寸类别的气泡群体演变。(a) 每个半径类别的气泡数量。(b) 每个半径类别的计数占比。(c) 每个半径类别的平均速度。(d) 阶段累积计数占比。虚线垂直线表示三个阶段之间的边界。图 5(b) 中的计数占比显示，每个尺寸类别的相对贡献随时间变化。1 到 2 毫米组在剧烈破碎期间最为显著。其产生速率在活跃破碎阶段后下降。2 到 3 毫米和 3 到 5 毫米组在后期演变中变得相对更重要。这种变化并不意味着所有小气泡都迅速消失。相反，它表明在空腔破碎减弱后，早期小气泡产生的爆发并未持续。因此，后期羽流反映了每个尺寸类别的初始产生速率和停留时间。

图 5(c) 显示了每个尺寸组的平均速度。所有尺寸类别在早期阶段都具有相对较高的速度。这证实了新产生的气泡受到破碎诱导流的强烈驱动。它们的运动主要由射流冲击、下沉流和湍流平流主导。随着羽流衰减，所有尺寸组的平均速度均下降。在稍后的某些时间，大气泡保持的速度略高于小气泡。这种行为与其更强的浮力响应和更大的惯性一致。一旦下沉流减弱，大气泡可以更快地向上恢复。小气泡对局部湍流运动响应更紧密，并可能悬浮在残余羽流中。

图 5(d) 中的阶段累积占比总结了整体的尺寸再分布。1 到 2 毫米气泡的占比从阶段 I 到阶段 III 减少，而 2 到 3 毫米和 3 到 5 毫米组的占比增加。这一趋势反映了主导群体的变化，而不是单一移除机制。在阶段 I 期间，剧烈破碎在短时间内产生大量小气泡。在后期阶段，气泡产生减弱，观察到的成分受运输、停留时间、向上恢复和表面逸出的影响更大。

图 6 将气泡群体的统计演变与羽流的空间发展联系起来。图 6(a) 显示，卷吸后气泡云在流向方向上迅速扩散。尽管总气泡数减少，但在后期阶段，占据的水平范围仍然很宽。这一结果表明羽流衰减和羽流运输同时发生。气泡产生集中在破碎区附近，但产生的气泡在破碎后流场作用下继续向下游移动。垂直演变如图 6(b) 所示。破碎后立即发生快速的向下渗透。这种运动由俯冲射流、冲击诱导下沉流和破碎区下方强烈的环流驱动。因此，尽管每个气泡都经历向上的浮力，气泡云仍然向下移动。

图 6. 气泡群体的时空分布。(a) 时间和流向位置分布。(b) 时间和垂直位置分布。(c) 时间和气泡半径分布。(d) 时间和气泡速度分布。虚线垂直线表示三个阶段之间的边界。

深层气泡群体在阶段 III 期间逐渐减少。这种变化发生在向下流和湍流混合变得太弱而无法平衡浮力时。大气泡随后迅速上升，而小气泡恢复得更慢。一些气泡在自由面以下停留了很长时间。它们的持续存在表明，在最活跃的破碎运动衰减后，残余湍流和涡旋环流继续捕获和重新分布气泡。

图 6(c) 和 (d) 显示了这种空间重组与气泡尺寸和速度的关系。大气泡主要在活跃破碎阶段观察到。它们直接产生于主要空气腔的坍塌和破碎。它们的群体迅速减少，因为它们要么经历进一步的破碎，要么升回自由面。后期羽流由小气泡和中间气泡主导。这些气泡的上升速度较低，更容易被周围流场运输。因此，在大气泡逸出后，它们可以停留在自由面以下。图 6(d) 中的时间和速度分布还显示，高速气泡集中在早期阶段。随着破碎诱导流衰减，它们的发生率迅速下降。

综合结果揭示了主导运输机制的清晰转变。在阶段 I 和 II 期间，羽流受空气卷吸、空腔破碎、强烈平流和湍流向下运输控制。在阶段 III 期间，气泡产生变弱，羽流逐渐失去动量。随后，浮力、残余环流和表面逸出变得日益重要。因此，气泡云从密集且充满能量的羽流转变为运动较弱且水下痕迹更持久的稀疏残余结构。

3.2. 气泡云的空间组织和垂直运输

图 7 展示了 x-z 平面上气泡出现和运输的整体空间组织。图 7(a) 中的首次出现图显示，气泡最初产生于自由面附近和主要卷吸区。随着破碎的发展，气泡逐渐出现在更远的下游和更大的深度，表明从局部卷吸过渡到破碎后流场的更广泛运输。向下延伸主要由冲击诱导下沉流和破碎器下方湍流环流驱动。图 7(b) 显示高累积出现率集中在自由面以下和主要羽流路径沿线上。这些区域代表气泡频繁通过和在平流、湍流捕获和再循环综合影响下长期停留。

图 7. x-z 平面上气泡出现和运输的空间组织。(a) 首次出现时间。(b) 累积气泡出现率。(c) 平均速度幅值。(d) 平均垂直速度。

图 7(c) 和 (d) 区分了气泡运动的幅值和方向。图 7(c) 中最大的平均速度出现在上部羽流和活跃破碎区附近。这些高速区与射流冲击、空气腔坍塌和强烈的湍流波动有关。气泡运动在更大深度处变弱，因为破碎诱导流在羽流扩散和向下渗透时失去能量。图 7(d) 中的平均垂直速度揭示了两个竞争的运输方向。向下运动沿渗透羽流分支占主导地位，在那里冲击后流场将气泡带离自由面。向上运动主要发现在羽流的上部。在该区域，向下流减弱，浮力变得更加有效。因此，羽流的空间结构由破碎诱导的向下运输和浮力驱动的恢复之间的竞争控制。

图 8 显示了三个阶段期间具有代表性的气泡分布。在阶段 I 中，如图 8(a) 所示，气泡云局部化于初始卷吸区附近。其空间范围保持有限，因为卷吸的空气结构刚刚开始坍塌和破碎。在这个阶段，气泡运动主要由射流冲击和主要空气腔的早期破碎控制。

图 8. x-z 平面上具有代表性的气泡分布。(a) 阶段 I，初始卷吸区附近的局部气泡形成。(b) 阶段 II，活跃破碎和运输期间的宽密羽流。(c) 阶段 III，衰减期间的稀疏残余羽流。气泡颜色表示速度幅值。（要解释此图例中对颜色的引用，请参阅本文的 Web 版本。）

在阶段 II 期间，气泡云变得宽得多且密集得多，如图 8(b) 所示。气泡在更宽的流向范围内扩散，并穿透到自由面以下更深处。这个阶段包含最强的空间再分布。空气腔破碎不断产生新气泡，而破碎后平流和湍流下沉流将它们从冲击区运输出去。在阶段 III 中，如图 8(c) 所示，气泡群体变得稀疏。然而，清晰的水下痕迹仍然存在。因此，羽流在活跃破碎后不会立即消失。相反，它通过浮力上升、水平平流和表面逸出逐渐衰减。残余环流也将部分气泡群体保留在自由面以下。

图 9 进一步比较了每个阶段气泡的空间出现。在阶段 I 期间，出现区域局限于初始卷吸区附近，如图 9(a) 所示。气泡云仍在发展，尚未经历广泛的运输。阶段 II 产生最宽和最深的出现区域，如图 9(b) 所示。这一结果表明，羽流的主要水平范围和渗透深度是在活跃运输阶段建立的。此时，空腔破碎、湍流平流和向下流同时作用。它们的综合效应产生了气泡云最大的空间扩张。在阶段 III 期间，出现变得较弱且更扩散，如图 9(c) 所示。气泡仍然留在自由面以下，但它们的浓度降低。后期羽流保留了阶段 II 期间形成的部分空间痕迹。这种持续存在表明，在最强烈的流动运动衰减后，活跃破碎的影响仍在继续。羽流结构是逐渐修改的，而不是立即被抹去。

图 9. 三个阶段期间气泡的出现。(a) 阶段 I。(b) 阶段 II。(c) 阶段 III。地图显示了从局部卷吸到宽羽流占据和残余水下保留的过渡。

图 10 将分阶段的气泡尺寸分布与垂直运动联系起来。阶段 I 的平均半径图如图 10(a) 所示。相对较大的气泡集中在主要卷吸区附近。这些气泡源于卷吸空气腔的早期坍塌和破碎。它们的存在表明初始空气结构尚未完全转化为更小的气泡。在阶段 II 期间，气泡尺寸场扩展到更宽和更深的区域，如图 10(b) 所示。中等气泡尺寸主导了羽流的大部分。这种模式表明活跃运输伴随着持续的破碎和尺寸再分布。大型空气结构在向下移动时不会保持完整。相反，它们在破碎后流场运输过程中发生破碎。

图 10. 分阶段的气泡尺寸和垂直速度分布。(a–c) 阶段 I–III 期间的平均气泡半径。(d–f) 阶段 I–III 期间的平均垂直速度。地图说明了尺寸再分布以及向下运输和浮力恢复之间的竞争。

在阶段 III 中，如图 10(c) 所示，较小气泡主导了残余羽流的更深部分。相对较大的气泡主要发现在更接近自由面的地方。这种垂直尺寸分离与尺寸依赖的浮力响应一致，但观察到的群体也受到气泡出生时间、初始深度和存活率的制约。当向下流减弱时，大气泡上升更快，而小气泡与周围湍流保持更紧密的耦合，并保留在更深的水深。图 10(d) 到 10(f) 显示了相应的垂直速度分布。在阶段 I 期间，向上和向下运动共存。局部向下运动发生在冲击和卷吸区下方，而向上运动出现在上部羽流附近。这种模式反映了冲击诱导下沉流和早期浮力恢复的同时效应。

在阶段 II 期间，如图 10(e) 所示，中部和下部羽流中发展出一个更强的向下分支。向下流足够强，足以克服气泡浮力并将气泡运输到更大的深度。向上运动仍然留在自由面附近，在那里大气泡和主要下沉流区域外的气泡开始恢复。在阶段 III 期间，垂直速度变得弱得多，且空间异质性更强。残余羽流的某些部分由于残余环流仍然显示微弱的向下运动。同时，浮力逐渐从深处移除大气泡。因此，剩余的深层羽流主要由上升速度较弱的小气泡主导。这些结果表明，气泡尺寸影响垂直迁移，但并不单独决定它。在活跃阶段，局部流场控制运动的方向和强度。随着湍流减弱，气泡尺寸变得越来越重要。大气泡随后更快地向上恢复，而小气泡在残余羽流内被困更长时间。3.3.

短时迁移与尺寸依赖性位移

图 11 利用不同气泡尺寸类别的质心历史量化了气泡云的迁移。图 11(a) 显示，沿流向质心最初沿正 x 方向快速移动。在第一阶段接近尾声时，它们部分向上游偏移，然后在第二阶段和第三阶段更缓慢地重组。这种非单调变化表明，气泡云并非作为一个均匀体简单地向下游平移。其质心受到演化中的破碎后流场的修正，包括冲击诱导输送、羽流旋转、回流和下游平流。

图 11. 不同气泡尺寸类别的群体质心迁移。(a) 沿流向质心历史。(b) 垂直质心历史。(c) 沿流向、垂直和合质心漂移速度。虚线表示阶段边界。

质心反转不应被解释为所有单个气泡的同时反转。它也可能源于气泡群体的变化。气泡生成、破碎、向上逃逸以及从羽流不同部分的移除都可以改变质心位置。三个尺寸组在早期阶段显示出相似的沿流向运动，因为它们由相同的大尺度流场输送。随着羽流衰减，它们的轨迹逐渐分离。这种分离表明，在最强的破碎诱导输送减弱后，气泡惯性、浮力和滞留时间变得更为重要。

因此，非单调的全群体质心在下文中被描述为质心偏移，而不是物质守恒的云团向上游漂移。物理漂移仅从唯一匹配的短轨迹中推断：沿流向位移分布主要保持正值。这两种诊断方法之间的对比表明，即使大多数匹配的气泡继续向下游移动，群体重组也可以移动质心。

图 11(b) 显示垂直方向上更明显的尺寸依赖性。在自由表面附近的短暂响应后，所有尺寸组的质心都向下移动。这种共同的向下运动证实，冲击诱导的下沉流和湍流输送在早期演化中占主导地位。质心轨迹随后在后期阶段分离。半径为 1 至 3 毫米的气泡保持在最大深度。3 至 5 毫米组占据中间区域，而 5 至 10 毫米组显示出最强的向上恢复。

这种垂直排序反映了湍流滞留与浮力上升之间的竞争。小气泡的上升速度相对较弱，并与周围湍流流场保持紧密耦合。因此，它们可以被向下输送并保留在残余羽流中。大气泡对浮力的响应更强烈，一旦向下流减弱，它们上升得更快。

图 11(c) 显示了沿流向、垂直和合质心速度。在早期演化期间，质心速度高且强烈波动。这些波动反映了由射流冲击、空腔坍缩和羽流旋转产生的非定常 forcing。在主动输送阶段之后，漂移速度迅速降低。因此，气泡云从快速迁移的结构变为缓慢调整的残余羽流。

图 12 进一步解析了气泡场的短时迁移途径。轨迹是在连续输出之间的短时间段内重建的。它们描述了局部气泡迁移，而无需假设每个气泡在长时间破碎或合并期间保持不变的 identity。

图 12. 短时气泡轨迹与群体质心迁移。(a) 按无量纲时间着色的气泡轨迹。(b) 不同气泡尺寸类别的质心路径。方形和圆形符号分别表示初始和最终位置。

如图 12(a) 所示，短时轨迹形成了弯曲且有组织的途径。它们表现出明显的向下游扩散和向下偏移，而不是孤立的随机位移。自由表面下方密集的轨迹区域表明，许多气泡重复遵循首选的输送路线。这些路线由破碎后流、下沉流和涡旋循环形成。沿轨迹的时间变化显示了从早期近表面运动到后期更深、更分散输送的连续过渡。

图 12(b) 比较了 x-z 平面上三个尺寸组的质心路径。在早期阶段，路径相似，表明共同的破碎诱导流最初控制所有尺寸的气泡。随着羽流演化，质心发生发散。小气泡质心达到更大深度并在更长时间内保持较低位置。相比之下，大气泡质心显示出更清晰的向上转向。这种发散与羽流衰减期间尺寸依赖性浮力影响增加一致，同时群体路径仍受气泡历史和存活率的影响。

图 12(c) 比较了计数加权质心、体积加权质心以及各个尺寸组的质心。体积加权质心受到较少的大气泡和空气碎片的强烈影响。因此，它保持在更接近上部恢复途径的位置。计数加权质心由众多小气泡主导，并保持更接近深层残余羽流。因此，推断的云轨迹取决于气泡场是按气泡数量还是按卷入气体体积进行评估。

图 13 总结了整个气泡云的迁移和空间范围。在图 13(a) 中，沿流向质心首先在第一阶段向下游移动，然后部分向上游偏移，再进行更慢的调整。这种变化与羽流循环、下游平流以及气泡群体空间分布变化共同影响一致。

图 13. 气泡云的迁移包络与空间跨度。(a) 带有质心历史的沿流向和垂直 P10–P90 包络。(b) 云层的沿流向和垂直跨度。阴影区域和虚线表示三个阶段及其边界。

卷入空气后，P10 至 P90 包络线迅速扩展。迅速扩展表明，气泡云在短时间内发展出广泛的沿流向足迹。垂直质心显示出更持久的向下迁移。在初始近表面响应后，它移动到自由表面以下，并在后期阶段保持在深度。在主动输送期间，垂直 P10 至 P90 包络线也变宽。在羽流衰减期间，部分垂直范围得以保持。

图 13(b) 量化了云层的水平和垂直跨度。水平跨度在第一阶段向第二阶段过渡附近迅速增加。这种增长是由射流冲击、空腔破碎、羽流旋转和破碎后平流引起的。随着羽流变稀并重组，水平跨度随后减小。然而，即使气泡数量下降后，它仍然保持相对较大。

垂直跨度增长更缓慢，并保持小于水平跨度。因此，气泡云主要在波传播方向上拉伸，同时保持有限的穿透深度。这些结果还表明，群体衰减和空间收缩不同步。云层可能会失去气泡和动能，同时仍保持广泛的水平足迹和可测量的水下深度。

图 14 研究了气泡群体的有符号垂直运动。图 14(a) 中的时间和垂直速度图显示，向上和向下运动在整个演化过程中共存。然而，它们的大小和相对贡献在三个阶段之间发生显著变化。

图 14. 气泡垂直运动的统计。(a) 时间和垂直速度发生图。(b) 向上运动和向下运动气泡的比例。虚线表示阶段边界。

在早期阶段，速度分布很宽，包含大的正值和负值。这种宽分布反映了由射流冲击、空腔坍缩、自由表面反弹和湍流卷入产生的强烈垂直波动。因此，破碎区域包含向下输送和快速向上恢复。

随着羽流演化，速度分布逐渐向零变窄。这种变化表明破碎诱导的垂直运动衰减。在第三阶段，大多数气泡具有相对较小的垂直速度。因此，残余羽流经历缓慢再分布，而不是有能量的垂直输送。

图 14(b) 比较了向上和向下运动气泡的比例。在最早期，向上运动相对重要。这种行为可能与大气泡、空气碎片和位于主要下沉流区域之外的气泡的快速恢复有关。在主动输送阶段，向下运动的比例增加。结果表明，冲击诱导的下沉流和湍流输送克服了大部分气泡群体的浮力。

在后期阶段，向上和向下比例逐渐接近。这并不意味着完全的动力学平衡。相反，它反映了向下湍流输送和向上气泡运动的减弱。因此，垂直演化由破碎诱导下沉流、残余循环和浮力恢复之间随阶段变化的平衡所控制。

图 15 量化了短时气泡位移的尺寸依赖性。图 15(a) 显示了从每条短轨迹开始测量的沿流向和垂直位移。所有尺寸组的沿流向位移都增加，表明气泡形成后持续的向下游输送。三个组显示出大致相似的沿流向趋势，尽管它们的分布宽度不同。这种相似性证实，沿流向迁移主要由大尺度破碎后流场控制。

图 15. 短时气泡位移的尺寸依赖性。(a) 从每条轨迹开始测量的沿流向和垂直位移。(b) 不同气泡尺寸类别的净位移分布。

垂直位移显示出更明显的气泡尺寸依赖性。1 至 3 毫米气泡倾向于向下移动或保持在较低位置。5 至 10 毫米气泡逐渐发展出向上位移，而 3 至 5 毫米组显示出中间响应。这种分离反映了向下湍流输送和浮力上升之间变化的平衡。

在主动破碎过程中，强下沉流可以将所有尺寸的气泡输送到自由表面以下。随着流场衰减，浮力变得日益重要。大气泡随后更快速地向上恢复，而小气泡保持与弱湍流和残余循环耦合。

图 15(b) 显示了相应的净位移分布。所有尺寸组的沿流向位移分布偏向正值。因此，大多数气泡向下游移动，尽管一些气泡经历比其他气泡更长的输送。宽的正尾部反映了由有能量的流结构进行的间歇性平流。

垂直位移分布在尺寸组之间差异更明显。小气泡显示出向负位移更宽的分布，表明更强的向下输送和更长的水下滞留。大气泡显示出更强的正垂直位移倾向，这与更强的浮力恢复一致。中等尺寸组位于这两种响应之间。

结果表明，沿流向位移主要反映了破碎后流场对云尺度的平流。垂直位移对气泡尺寸更敏感，提供了湍流滞留与浮力之间竞争的更清晰度量。

3.4. 深度滞留与气泡尺寸效应

图 16 表征了气泡云的垂直交换和水下滞留。图 16(a) 显示，向上运动的气泡主要分布在羽流的上部沿近表面恢复途径。在主动破碎阶段，这种向上运动与强烈的向下输送共存。随着破碎诱导流减弱，浮力变得更加有效，驱动气泡回到自由表面。相比之下，图 16(b) 中向下运动的气泡占据更宽和更深的区域。它们的分布遵循羽流的主要穿透分支。这种模式主要由破碎区域下方的冲击诱导下沉流、湍流平流和涡旋循环产生。这些流结构可以将气泡向下输送，尽管浮力作用方向相反。

图 16. 气泡云的垂直运动与水下穿透。(a) 向上运动气泡的发生。(b) 向下运动气泡的发生。(c) 垂直运动偏倚，显示向上恢复与向下输送之间的竞争。(d) 羽流演化期间选定深度水平以下气泡的比例。

图 16(a) 和 (b) 之间的比较显示，羽流在卷入后并非简单地上升并消失。相反，气泡在上部恢复区域和深层输送区域之间持续交换。运动方向取决于向下的流体速度和气泡浮力之间的局部平衡。图 16(c) 使用垂直运动偏倚总结了这种竞争。羽流的深层部分主要偏向向下运动。这证实主要穿透深度是由破碎诱导流建立的。相比之下，上部羽流更强烈地偏向向上运动。在该区域，向下 forcing 已减弱，浮力恢复占主导地位。

因此，羽流发展出垂直分离的结构，下方为向下输运，上方为向上恢复。图 16(d) 量化了保留在选定深度水平以下的气泡比例。在羽流形成和活跃输运期间，穿透比例迅速增加。随着羽流衰减，它们随后减少。然而，在后期阶段，可测量的部分气泡仍保留在自由表面以下。保留比例随选定深度增加而减小，表明较少气泡到达并停留在更深区域。这种持久性表明羽流衰减不是一个瞬时的向上逃逸过程。它涉及逐渐的移除和垂直再分布。浮升和表面排气使气泡从上层羽流中移除，而剩余下沉流和涡旋环流使部分气泡群保留在表面以下。

图 17 进一步揭示了气泡尺寸对水下停留的影响。图 17(a) 至 17(c) 中的出现分布图显示了明显的垂直尺寸分离。半径为 1 到 3 毫米的气泡占据最宽和最深的区域。3 到 5 毫米的气泡显示出中间分布。半径为 5 到 10 毫米的气泡更为局部化，主要发现于上层羽流和有限的卷吸路径中。
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图 17. 气泡尺寸对水下停留的影响。 (a–c) 半径为 1?3、3?5 和 5?10 毫米气泡的出现分布图。 (d–f) 选定深度水平以下各尺寸组的比例。

这种尺寸分离源于气泡对周围流动响应的差异。小气泡具有相对较低的浮升速度，并与湍流脉动和下沉流保持强耦合。因此，它们可以跟随载体流进入更深区域并停留更长时间。大气泡具有更大的向上滑移速度。一旦向下流动减弱，它们向自由表面恢复得更快。

图 17(d) 至 17(f) 利用不同深度水平以下的穿透比例量化了这种行为。在最浅层水平，所有三个尺寸组在活跃破碎后都保持可观的穿透比例。这表明所有尺寸的气泡都可以在一定时期内停留在紧邻表面层之下。在更深深度，尺寸组之间的差异变得更加明显。小气泡保持更高且更持久的穿透比例。中等尺寸气泡显示出中间响应。大气泡较少保留在更深的羽流中，并在活跃输运阶段后显示出更迅速的减少。它们更强的波动也可能与其较小的种群和更间歇性的产生有关。

统计支持随气泡尺寸增加而减少，因此由于种群较小，最大气泡组显示出更强的波动。由于分析基于单个时间相关的波浪实现，而不是独立样本的集合，因此未报告常规置信区间；相反，直接显示了时间分辨变异性。条件尺寸分布反映了物理输运和采样效应。气泡出生时间、初始深度、间歇性产生、在解析尺寸范围内的存活以及表面排气都影响观察到的种群。因此，垂直分离不仅仅归因于浮力。大气泡的向上运动和短时间位移支持更强的浮力恢复，而基于种群的统计应解释为存活的解析气泡的条件属性。

因此，后期羽流演化表现出尺寸选择性垂直分选。小气泡构成主要的持久水下种群，而大气泡对向上恢复和表面排气的贡献更强。气泡尺寸与水下停留和恢复率有关，尽管目前的统计未能完全将尺寸效应与产生历史和采样偏差分离。

4. 结论

采用高保真数值模拟研究了由下冲破碎波产生的气泡云的阶段分辨演化和尺寸依赖的垂直输运。结合种群统计、空间出现分布图、质心历史、短时间轨迹和深度分辨穿透比例，描述了从初始卷吸到后期衰减的羽流。演化分为初始空气卷吸、活跃破碎和输运、以及伴随表面排气的羽流衰减。

活跃破碎期间，气泡数量和总气体体积迅速增加，并在相似时间达到最高水平。气泡数量显示出更强的短时间波动，并在峰值后更迅速减少，表明种群的快速重组。在活跃阶段，空腔破碎、湍流平流和冲击诱导的下沉流产生了快速的流向展布和显著的向下穿透。随后羽流变得较弱且更稀薄，但剩余的气泡种群仍保留在自由表面以下。

迁移分析表明气泡云作为一个有组织的、时间相关的种群演化。流向输运主要由破碎后的大尺度流动控制，而垂直输运显示出对气泡尺寸更强的依赖性。小气泡与湍流保持紧密耦合，并被输运到更深深度。大气泡在向下流动减弱后向上恢复得更快。

深度分辨统计显示了输运机制的明显空间分离。向下运动的气泡占据主要的穿透分支并延伸过更宽的深度范围，而向上运动集中在上层羽流和沿恢复路径。小气泡构成主要的持久水下种群，而大气泡对向上输运和表面排气的贡献更强。

因此，羽流衰减不是气泡的立即消失，而是一个由剩余环流、湍流保留、浮力、水平平流和表面排气控制的逐渐的、尺寸依赖的再分布过程。基于轨迹和深度分辨的分析提供了仅从气泡数量、气体体积或尺寸分布无法获得的输运信息。

本研究存在几个局限性。分析考虑了一种代表性的下冲波浪条件，而小于 1 毫米的气泡超出了当前网格的可靠分辨率。气泡身份仅在短且无歧义的区间内追踪，因为破碎和聚并限制了长时间关联。此外，未对分子气体溶解进行建模，通过自由表面的气泡损失仅被视为表面排气。

CRediT 作者贡献声明

胡一丁：写作 – 原稿，验证，软件，调查，数据整理。邢博：验证，软件。李智涵：验证，调查。余连杰：写作 – 审查与编辑，方法论。李正：写作 – 原稿，监督，软件。
胡一丁 | 邢博 | 李智涵 | 余连杰 | 李正
南京信息工程大学 海洋科学学院，南京，210044，中国