一种基于裂纹扩展引导的符号回归-神经网络框架，用于疲劳寿命预测

《International Journal of Fatigue》：A crack Growth-Guided symbolic Regression-Neural network framework for fatigue life prediction

　　**摘要**
为了减少经验疲劳模型的限制并提高纯数据驱动方法的物理一致性，本研究提出了一种结合符号回归和物理信息神经网络的疲劳寿命预测框架。在该框架中，局部裂纹生长关系通过两个步骤与总疲劳寿命联系起来。首先使用断裂力学变量进行符号回归，直接从裂纹生长速率数据获得显式的现象学表达式，而不是依赖于预先规定的经验形式。然后，将等效初始缺陷尺寸作为寿命积分的下限。这样，识别出的裂纹生长定律可以作为总疲劳寿命预测的约束条件。在等效初始缺陷尺寸的计算中引入了应力比依赖的局部校正，以改善在不同加载比下寿命推断的物理一致性。将识别出的裂纹生长关系、寿命推断约束和实验疲劳寿命数据共同嵌入到物理信息神经网络中，实现数据监督和物理约束之间的协调优化。在TC4、A36和AA 2024-T3的公开疲劳数据集上的验证表明，所提出的框架能够捕捉不同材料条件下的疲劳寿命演变，并且比传统的裂纹生长约束模型和纯数据驱动模型具有更好的预测准确性、稳定性和适用性。即使在目标材料样本有限的情况下，该模型也显示出小的样本跨材料转移潜力。本研究为复杂条件下的疲劳寿命预测提供了一种物理上可解释且以预测为导向的建模方法。

**引言**
在服役组件的寿命管理中，疲劳裂纹通常不是突然出现的。相反，它们往往在循环载荷下逐渐开始并扩展，这种过程难以检测，最终达到临界尺寸并导致失效[1]。对于工程实践来说，关键问题不仅是要确定裂纹是否会继续扩展，还要可靠地评估其在达到不稳定或临界状态之前的生长行为和剩余寿命。这种评估为设定检查间隔、规划修理或更换以及定义安全裕度提供了基础[2]。因此，基于损伤演变的疲劳寿命预测在结构安全性评估中仍然是一个重要问题[3]、[4]。
在工程应用中，疲劳寿命预测仍然存在较大的不确定性和散布[5]。这种散布与材料差异、制造条件、初始缺陷、加载水平、应力比以及服役条件下的加载路径有关[6]、[7]、[8]。对于疲劳寿命建模，一个持续的挑战是在不同材料和加载条件下获得保持一致趋势和可接受误差水平的预测结果，同时保持模型的可解释性和工程适用性[9]、[10]。现有的疲劳寿命预测方法通常可以分为两类：一类是基于S-N曲线、应力-应变关系或能量基损伤参数的传统寿命预测方法；另一类是基于断裂力学的裂纹生长基寿命预测方法[11]。前者通常以总疲劳寿命作为建模目标，由于其简单的形式和方便的实施而在工程设计中得到了广泛应用。然而，这些方法难以明确描述从初始缺陷到失效尺寸的裂纹演变过程[12]、[13]。相比之下，基于裂纹生长的方法直接将疲劳寿命预测与裂纹扩展行为联系起来，因此在有缺陷组件的寿命评估、剩余寿命评估、检查决策和损伤耐受性分析中具有更清晰的物理意义和更强的过程表示能力。近年来，领域知识、符号回归和物理信息神经网络被引入疲劳寿命预测中，以提高模型的表达能力和物理一致性[14]、[15]。然而，从显式的疲劳裂纹生长速率关系出发，通过寿命推断建立其与总疲劳寿命的联系，并进一步将其纳入神经网络训练过程的研究仍然相对有限。
经典的裂纹生长模型已被广泛用于疲劳裂纹生长分析，并为寿命预测提供了重要基础。然而，这些模型大多是基于预先规定的经验方程构建的。它们的参数通常是根据特定实验数据校准的，因此其适用性可能会随着材料类型、应力比、加载条件或裂纹生长阶段的变化而变化[16]。对于复杂材料、耦合影响因素或跨条件预测，固定的经验形式往往不足以描述疲劳裂纹生长响应[17]。因此，尽管基于裂纹生长的方法具有明确的机械基础，但经典经验公式的固定结构仍然限制了它们在更复杂疲劳寿命预测问题中的使用[18]、[19]、[20]。
为了减少经典裂纹生长模型对预定义经验形式的依赖，需要一种能够在自动从数据中发现分析表达式的同时保持物理可解释性的方法[21]。符号回归提供了一种可行的解决方案[22]、[23]。与传统参数拟合方法不同，符号回归不预先定义模型的具体功能形式，而是搜索变量、运算符及其组合，直接从数据中构建显式的数学表达式，适用于发现复杂变量之间的潜在关系。对于疲劳裂纹生长问题，符号回归提供了一种灵活的方式来制定疲劳裂纹生长速率关系，同时保持结果表达式的显式性和可解释性[24]、[25]。近年来，符号回归越来越多地应用于材料属性建模、显式关系识别和经验公式的重构[26]、[27]。其主要优点是从数据中得出显式的分析表达式，而不仅仅是黑箱预测。然而，大多数现有研究仍然侧重于材料响应描述或一般规律的发现。关于显式疲劳裂纹生长速率建模及其与总疲劳寿命预测之间联系的研究仍然有限[28]、[29]。
应当注意的是，获得疲劳裂纹生长速率的显式表达式本身并不能完成总疲劳寿命的预测。现有的物理信息神经网络在疲劳预测中通常关注单一尺度的目标，要么通过约束局部裂纹生长行为，要么直接拟合总疲劳寿命。然而，局部裂纹生长行为与全局寿命响应之间的联系往往没有明确表述。对于当前问题，关键步骤是将局部裂纹生长定律转换为总疲劳寿命预测的结构化约束。等效初始缺陷尺寸为这种转换提供了物理桥梁：通过将初始缺陷视为裂纹生长积分的下限，局部裂纹生长关系可以转换为总疲劳寿命约束，从而实现从局部裂纹生长行为到全局寿命预测的物理等效[30]、[31]、[32]。基于这些考虑，本研究开发了一种裂纹生长引导的疲劳寿命预测框架，通过物理一致的约束链将局部疲劳裂纹生长行为与总疲劳寿命预测联系起来[16]、[33]。而不是直接拟合总疲劳寿命或依赖预先规定的经验裂纹生长定律，首先使用领域知识引导的符号回归从裂纹生长速率数据中识别显式的疲劳裂纹生长速率关系。然后通过从等效初始缺陷尺寸到临界裂纹尺寸的裂纹生长积分，将这些关系转换为总寿命约束。由于疲劳裂纹生长阈值和等效疲劳限值随应力比变化，因此在寿命积分之前引入了应力比依赖的EIFS校正，以提高在不同加载比下推断出的寿命约束的一致性。最后，将应力比衍生的寿命约束和实验疲劳寿命数据共同嵌入到PINN训练中，使网络预测同时受到数据监督和基于裂纹生长的物理约束的指导[34]、[35]。因此，本研究的主要贡献在于构建了一个统一的物理建模路径：“显式裂纹生长关系识别–基于EIFS的寿命推断–应力比依赖的校正–PINN约束的寿命预测”，而不仅仅是简单地将符号回归与神经网络拟合结合起来。
在工程应用中，新材料的疲劳寿命数据往往有限。如果模型能够从现有材料中学习与裂纹生长驱动力、应力比和寿命积分相关的宏观现象学表示，那么它可能对新材料显示出小的样本转移潜力。这里讨论的跨材料转移并不意味着在材料之间转移微观损伤机制，而是检验这些宏观裂纹生长表示在目标材料中小样本疲劳寿命预测中的适用性。

**本文的其余部分安排如下。第2节描述了疲劳裂纹生长数据库的构建以及结合符号回归和物理信息神经网络的总疲劳寿命预测方法。第3节展示了预测结果。第4节讨论了模型性能、显式关系约束、消融分析、跨条件预测和跨材料转移能力。第5节给出了主要结论。**

**方法论**
本节描述了所提出的疲劳寿命预测方法论，包括数据收集和预处理、特征分析、基于符号回归的裂纹生长建模、寿命推断和PINN构建。所提出框架的整体工作流程如图1所示。

**基于SHAP的特征贡献分析**
基于SHAP的特征贡献分析结果如图8所示。图8展示了基于SHAP的特征贡献分析结果。如图所示，不同的输入特征对模型输出的贡献各不相同。其中，与裂纹生长驱动力相关的参数Δ?K和应力比R具有最显著的影响，其次是几何校正因子Y；而E、σy、σ′f和B的平均贡献相对较小。

**EIFS参数的敏感性分析**
考虑到等效初始缺陷尺寸在寿命推断过程中起着关键作用，其值主要由阈值应力强度因子范围Δ?Kt?和加载参数Δ?共同决定，因此进一步进行了EIFS参数敏感性分析，以评估这些关键参数的变化对预测结果的影响。具体来说，分别对Δ?Kt?和Δ?施加±5%的扰动，以检验参数的变化对预测结果的影响。

**结论**
为了提高疲劳寿命预测的准确性、稳定性和物理可解释性，本研究开发了一种裂纹生长引导的SR-PINN框架。首先使用领域知识引导的符号回归从裂纹生长速率数据中直接识别显式的疲劳裂纹生长关系。然后通过基于EIFS的寿命积分将这些关系转换为总寿命约束，并引入应力比依赖的校正以提高在不同加载比下的一致性。

**作者贡献声明**
张东旭：撰写 – 审稿与编辑、方法论、概念化；石俊杰：撰写 – 原始草案、调查、数据整理；文志勋：撰写 – 审稿与编辑、监督。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的财务利益或个人关系。

**致谢**
感谢所有参与这项研究的团队成员。本研究得到了国家自然科学基金（编号52375153）、西安科学家和工程师队伍建设项目（25KGYB00017）以及渭阳区科技计划（202503）的支持。

**作者信息**
张东旭 | 石俊杰 | 文志勋
陕西科技大学机械与电气工程学院，西安710021，中国