在指数衰减的热冲击作用下，Pasternak支撑的非局部分数阶Zener纳米梁的热粘弹性响应

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Thermo-viscoelastic response of a Pasternak-supported nonlocal fractional Zener nanobeam under exponentially decaying thermal shock

　　•为Pasternak支撑的纳米梁开发了一个非局部分数Zener-DPL模型。•将指数衰减的热冲击纳入耦合公式中。•该简化模型与现有的基准解非常吻合。•非局部性和Pasternak约束主要降低了机械响应幅度。•对于选定的参数，分数Zener和DPL模型产生了最低的响应。

引言
纳米梁是微机电系统和纳米机械系统的关键组件，广泛应用于谐振器、质量传感器、热传感器和执行器中[1]、[2]。基于硅的微谐振器和纳米谐振器的性能受到热机械耦合、热松弛以及由此产生的温度依赖行为的影响[3]、[4]。在基底支撑的配置中，操作过程中可能发生局部瞬态加热，而周围介质限制了纳米梁的变形。当外部热输入减少或移除时，产生的热扰动可能会迅速衰减，从而产生瞬态温度梯度、热变形和弯曲力矩[5]。在这种短时间热负荷下，尺寸依赖的应力相互作用、历史依赖的机械行为和延迟的热传输可能共同支配瞬态响应。因此，需要一个耦合的热机械框架来描述在快速衰减的热扰动作用下的支撑硅纳米梁的瞬态响应。

随着纳米梁的特征尺寸与材料的固有长度尺度相当，它们的机械行为变得越来越依赖于尺寸，使得传统的局部弹性理论无法准确描述它们的响应。Eringen的非局部弹性理论通过允许材料点的应力依赖于有限周围区域内的应变场而不仅仅是局部应变来克服这一限制[6]、[7]。这一框架已广泛应用于纳米梁的弯曲、屈曲和振动分析，证明了非局部相互作用可以显著改变其预测的变形、稳定性和动态特性[8]、[9]。最近，包含长度和时间尺度参数的非局部公式已被扩展到受热和磁载荷影响的纳米梁的热机械振动分析中[10]。然而，尽管非局部理论可以捕捉尺寸依赖的应力相互作用，但仍需要额外的本构模型来描述瞬态加载下的历史依赖的机械响应。

非局部弹性捕捉了纳米梁的尺寸依赖行为，而它们对瞬态热载荷的响应也可能涉及时间依赖和耗散机制。虽然块状单晶硅通常被认为主要是弹性的，但制造的微梁和纳米梁可能表现出由于耦合传输过程而产生的有效阻尼。例如，质量扩散已被证明会影响微梁谐振器的阻尼比[11]。在这种情况下，分数本构关系可以作为制造纳米梁的历史依赖响应的有效模型，而不需要假设块状硅具有明显的固有粘弹性。传统的整数阶粘弹性模型使用有限数量的特征时间来描述应力松弛和应变迟滞，而分数本构模型为表示遗传行为和分布的松弛过程提供了更灵活的框架[12]、[13]、[14]。分数微分算子和Mittag-Leffler型响应函数的数学基础已经建立得很成熟[15]。在现有的公式中，Atangana-Baleanu导数使用了一个非奇异的Mittag-Leffler核[16]，并已应用于热粘弹性纳米梁的分析[17]以及纳米尺度半导体中的热弹性问题[18]。在分数Zener框架内，应力松弛、应变迟滞和历史依赖的应力演变可以使用统一的时间依赖本构关系来描述[19]。

除了时间依赖的本构响应外，热传输定律在纳米梁的瞬态热机械行为中也起着至关重要的作用。傅里叶定律假设热流和温度梯度之间存在瞬时关系，这意味着热扰动的传播速度是无限的，从而限制了其在小尺度快速热传输过程中的适用性[20]、[21]。为了解决这一限制，Cattaneo和Vernotte引入了热流松弛时间[22]、[23]，随后Lord和Shulman将其纳入了广义热弹性理论[24]。Tzou通过为热流和温度梯度引入不同的相位滞后时间，发展了双相滞后（DPL）模型[25]、[26]。这种公式已应用于移动粘弹性纳米梁的热弹性分析以及微梁和纳米梁谐振器中的热弹性阻尼研究[27]、[28]。

支撑条件和热加载的时间剖面也在确定纳米梁的响应中起着重要作用。在基底支撑的配置中，周围介质提供了额外的机械约束，改变了梁的弯曲响应和变形。Winkler模型使用独立的横向弹簧来表示这种约束，但忽略了相邻支撑点之间的剪切相互作用[29]、[30]。两参数Pasternak模型在横向基础刚度之外引入了一个剪切层，从而考虑了局部基础阻力和支撑介质内的剪切相互作用[31]、[32]。最近的研究已将弹性基础梁模型扩展到微梁和纳米梁的分数粘弹性和广义热弹性分析中[33]、[34]、[35]、[36]。施加的热激励的时间剖面同样重要。指数衰减的热激励提供了一个理想化的局部热扰动表示，该扰动在短时间热输入后逐渐减弱。其衰减率决定了激励的有效持续时间，从而控制了热量积累和随之产生的热机械响应[37]、[38]。

关于微梁和纳米梁的热机械行为的研究逐渐从分别处理尺寸效应、粘弹性和非傅里叶热传导转向了更紧密耦合的公式。已经开发了长度尺度依赖的梁理论和非局部分数应力-应变梯度模型来研究纳米梁的静态和动态响应，而质量扩散也被研究为微梁谐振器中阻尼的潜在来源[11]、[39]、[40]。具有非奇异或两参数Mittag-Leffler核的分数算子也被纳入功能梯度纳米梁的热传导方程中[41]、[42]，并已将分数粘弹性应用于放置在Winkler基础上的微梁[36]。最近的研究分别或结合考虑了非局部弹性、弹性基础效应、广义相位滞后热传导和分数粘弹性[33]、[34]、[35]。相关发展还包括时空非局部性、记忆依赖的热传输、高阶相位滞后效应以及纳米尺度介质中的光热耦合[43]、[44]、[45]、[46]、[47]。

这些研究反映了向统一描述尺寸依赖性、遗传行为、非傅里叶热传输和支持效应的持续趋势。然而，现有梁模型中的分数效应通常是通过热传导方程引入的，或者用Kelvin-Voigt型本构关系来表示的。此外，基于基础支撑的分数粘弹性梁模型主要采用了Winkler基础。因此，结合Eringen非局部弹性、Atangana-Baleanu分数Zener关系、DPL热传导和指数衰减热边界条件的Pasternak支撑单晶硅纳米梁的瞬态响应仍然没有得到充分探索。

在这种背景下，本研究调查了放置在Pasternak基础上并在一端受到指数衰减热激励的夹紧-夹紧单晶硅纳米梁的瞬态热粘弹性响应。在Euler-Bernoulli梁框架内，Eringen的非局部弹性、Atangana-Baleanu分数Zener本构关系和双相滞后热传导模型被集成起来，分别描述尺寸依赖的机械行为、本构记忆和延迟的热传输。耦合控制方程在拉普拉斯域中求解，然后使用数值反演方法恢复瞬态温度、轴向位移、横向挠度和弯曲力矩。系统地检验了非局部性、分数阶、热衰减、粘弹性松弛和Pasternak基础参数的影响。还比较了不同的粘弹性和热传导模型。通过将这些机制纳入统一的公式中，本研究提供了一个系统框架，用于评估纳米尺度相互作用、本构记忆、热衰减、相位滞后热传输和基础约束对支撑纳米梁谐振器和热传感器中的热诱导变形和弯曲的影响。

### 研究亮点
- **非局部弹性理论**：在纳米尺度上，长程原子间相互作用可能导致材料点的应力不仅依赖于局部应变，还依赖于周围区域的应变场。Eringen的非局部弹性理论使用以下积分本构关系来表示这种尺寸依赖行为[6]、[7]：
$$ \sigma_{ij}^x = \int_V K_1(x-x') \zeta \sigma_{ij}^'(x') \, dV_x' $$

- **Pasternak基础上的纳米梁模型**：该研究考虑了一种具有矩形截面的细长热粘弹性纳米梁，放置在两参数Pasternak基础上，如图1所示。纳米梁的长度为L，宽度为b，厚度为h，截面积为A=bh。根据Euler-Bernoulli梁理论，在变形过程中平面截面保持平面且垂直于中性轴。初始时，纳米梁无应力，并保持在均匀参考温度T0。

### 控制方程
对于Pasternak基础上的非局部分数Zener纳米梁的控制方程如下（此处未详细列出）。

### 拉普拉斯变换的数值反演
由于变换解的复杂性和分数阶项的存在，难以获得逆拉普拉斯变换的封闭形式表达式。因此，使用Riemann求和近似法数值恢复相应的时域响应[61]。

### 数值结果与讨论
本节提供了基于前面章节开发的控制方程和求解程序的单晶硅纳米梁的瞬态热粘弹性响应的数值结果。首先指定数值计算中使用的材料参数。然后通过将简化模型与现有基准解进行比较来评估所提出公式和求解程序的可靠性。

### 结论
本研究开发了一个耦合分析模型，用于研究放置在Pasternak基础上并受到指数衰减热冲击的夹紧-夹紧单晶硅纳米梁的瞬态热粘弹性响应。该模型结合了Eringen的非局部弹性、Atangana-Baleanu分数Zener关系和双相滞后热传导，以捕捉纳米尺度应力相互作用、本构记忆、延迟热传输和基础效应。

### 作者贡献声明
Siyu Liu：撰写 - 审稿与编辑、撰写 - 原始草稿、研究、概念化。
Yongbin Ma：撰写 - 审稿与编辑、验证、监督。

### 资金支持
本研究得到了中国国家自然科学基金（12062011）的支持。

### 竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。