离散时间系统能否保证预设时间稳定性？新定理与滑模实现

《ISA Transactions》：Can predefined-time stability be guaranteed for discrete-time systems? Novel theorems and a sliding mode realization

　　

•为离散时间系统提供了预定义时间稳定性的严格定义。
•建立了针对离散时间系统理想和实际预定义时间稳定性的新型 Lyapunov 准则。
•基于预定义时间稳定性定理，开发了滑模面和趋近律的新结构。
•在 DSMC 中保证趋近阶段和滑动阶段的同步预定义时间稳定性。

引言
调节时间是评估控制系统动态性能的核心指标，因为它直接决定了瞬态响应的速度。然而，经典 Lyapunov 稳定性理论中建立的渐近稳定性概念只能保证当时间趋于无穷大时状态趋近于平衡点，且无法提供调节时间的定量上界 [1]。这一局限性促使研究人员追求具有更明确调节时间上界的稳定性概念。

为此，在连续时间系统中已经建立了三类稳定性概念，即有限时间（FT）稳定性、固定时间（FxT）稳定性和预定义时间（PdT）稳定性。具体而言，FT 稳定性要求系统状态在由初始条件确定的有限时间内收敛，代表性工作包括 [2]、[3]、[4]。FxT 稳定性消除了调节时间对初始条件的依赖，保证了一个与初始条件无关的调节时间均匀上界 [5]、[6]。PdT 稳定性进一步增强了对调节时间的可控性：在该概念下，调节时间被视为控制器的一个显式设计参数，可由设计者预先设定 [7]、[8]、[9]。尽管这一概念最初由 Diego Sanchez-Torres 等 [10] 作为 FxT 稳定性的扩展提出，但经过多年的发展，PdT 稳定性已演变成为一个独立且成熟的理论框架。然而，上述所有结果均是在连续时间理论框架内建立的。

在离散时间域中，此类稳定性概念的发展远落后于连续时间域，现有结果主要集中于两个核心分支：FT 稳定性和 FxT 稳定性。该方向的研究大致沿两条主线进行。第一条主线关注连续时间控制律的 FT/ FxT 稳定性特性在离散化下是否保持不变的问题，正如 Polyakov 等 [11]、[12] 的工作所示。然而，正如 Miranda-Villatoro 等 [13] 和 Zhu 等 [14] 所揭示的，许多已被证明具有 FT/ FxT 收敛性的连续控制律在离散化后往往会失去这一特性。第二条主线致力于基于 Lyapunov 差值不等式建立 FT 和 FxT 稳定性准则。已报道了针对离散时间自治系统 [15]、一般非线性离散时间随机系统 [16]、离散时间正马尔可夫跳跃系统 [17] 和离散时间切换非线性系统 [18] 的 FT 稳定性结果，并相应建立了基于 Lyapunov 差值的充分准则。关于 FxT 稳定性，相关概念已引入到离散时间分数阶系统 [19]、离散时间自治系统 [20]、[21] 和离散时间随机系统 [22] 中。

值得注意的是，离散时间 FxT 稳定性继承了其连续时间对应物的固有局限性：收敛步数估计的上界通常是保守的，且隐含地依赖于多个控制器参数之间的非线性耦合，使得难以根据任务要求直接规定所需的直接上界。对离散时间域中 PdT 稳定性的研究，即收敛步数的上界可以由设计者明确给出，正是为了弥补这一缺陷。尽管离散时间 FxT 和 PdT 稳定性都能保证一个与初始条件无关的收敛步数上界，但它们的核心关注点存在根本差异：FxT 稳定性仅仅保证存在这样一个上界；PdT 稳定性进一步要求该上界是可规定的，从而将其转变为可由用户根据实际需要直接设置的参数。随着控制要求的提高，对离散时间系统状态调节时间灵活预设的需求变得越来越迫切，然而离散 FxT 稳定性理论无法满足这一需求。因此，建立离散时间系统的 PdT 稳定性理论至关重要且具有相当大的研究价值。然而，据我们所知，此类 PdT 稳定性结果在离散时间域中仍然缺乏。

除了调节时间外，鲁棒性同样不可或缺。滑模控制（SMC）作为不确定和受扰系统中实现稳定性和跟踪的常用方法，因其对匹配干扰的鲁包性而受到关注 [23]。近年来，计算机技术的进步激发了学术界对离散时间滑模控制（DSMC）方法的持续关注。对于 DSMC，除了连续时间 SMC 的直接离散化 [24]、[25] 外，现有工作主要围绕两条主线：趋近律设计和滑模面设计。在趋近律方面，提出了多种设计方案，如双曲型趋近律 [26]、反双曲正弦趋近律 [27] 和最小算子趋近律 [28]、[29]。所有这些趋近律都能保证趋近阶段的 FT 稳定性。此外，[14]、[30]、[31] 中提出了几种基于趋近律的 DSMC 方法，确保趋近阶段的 FxT 稳定性。在滑模面设计方面，探索了各种滑模面结构以保证滑动阶段的 FT 稳定性。Hou 等 [32] 引入了一种离散终端滑模面，而 Wang 等 [33] 设计了一种离散快速终端滑模面。除了上述分别关注趋近律或滑模面的工作外，一些研究同时考虑了趋近和滑动阶段，以确保整个控制过程的 FT 稳定性。例如，Long 等 [34] 为电子节气门控制设计了一种快速终端滑模面和指数趋近律。此外，其他学者也针对抖振抑制进行了专门研究，一种代表性方法是将自适应理论相结合 [35]。在一项独立研究中，实施了多个独立的自适应增益以动态调节滑模面内非线性和积分项的相对贡献，从而显著缓解了抖振 [36]。尽管现有的 DSMC 结果丰富，但它们仍然局限于有限时间和固定时间域。

综合现有文献，我们认识到当前的离散时间系统仍面临以下挑战：
(1) 在目前阶段，仍缺乏相关研究来阐述离散时间系统中 PdT 稳定性的完整概念。
(2) 目前，仍没有相关研究来构建离散时间系统的 PdT 稳定性 Lyapunov 定理。
(3) 在当前的研究阶段，DSMC 仍局限于 FT 稳定性和 FxT 稳定性的范围。仍缺乏能保证趋近阶段和滑动阶段均达到 PdT 稳定性的相关方法。

基于前几节的分析，为了解决上述挑战的需求，本文开发了针对离散时间系统的新型 PdT 稳定性定义和定理，展示了其在 DSMC 方法中的效用。本研究的主要贡献总结如下：
(1) 为了进一步基于 Lee 和 Haddad [20] 的工作推进离散时间系统中 FxT 稳定性理论，本文引入了离散 PdT 稳定系统，其收敛步数的上界可由用户预先自由规定，并提供了严格定义（见定义 5，定义 6）。这一定义可视为离散 FxT 稳定性概念的自然扩展，实现了收敛步数上界从“存在性”到“可规定性”的转变。据我们所知，此类概念在离散时间系统领域尚未被探索。
(2) 此外，基于上述定义，本文建立了针对离散时间系统 PdT 稳定性的新型 Lyapunov 定理，并提供了其完整证明。同时，本文进一步发展了实际 PdT 稳定性的 Lyapunov 定理，保证在预定义时间内收敛到一个小的有界区域，这更符合实际场景。
(3) 在提出的 PdT 稳定性 Lyapunov 定理的指导下，我们为滑模面和趋近律开发了新结构；所提出的 DSMC 方法确保系统在趋近阶段和滑动阶段均具有 PdT 稳定性。据我们所知，在离散时间系统领域，目前尚无研究能同时保证这两个阶段的 PdT 稳定性。此外，我们评估了所提出的 DSMC 方法，重点关注其关键性能指标：准滑模、吸引性、不变性和单调性。

余下部分的组织如下所示：第 2 节介绍提出的定义和定理；第 3 节展示所提出的滑模面和趋近律的设计；第 4 节讨论系统稳定性和性能指标；第 5 节结合数值模拟与基于物理场景的模拟对比实验，验证新提出方法的优越性；第 6 节总结本文的研究工作。

符号 1
符号表示如表 1 所示。

章节摘要
定义与定理
本节将建立符号，提供定义，并阐明推导本文主要结果所需的关键定理。
一种新的预定义时间 DSMC 设计
利用第 2 节建立的基础，本节旨在设计一种新的 PdT 滑模面和趋近律，并讨论其 PdT 稳定性。
控制律设计与系统预定义时间稳定性分析
在本节中，基于第 3 节给出的趋近律和滑模面，将为系统 (42) 构建一种预定义时间 DSMC 律，并分析应用该控制律后系统的 PdT 稳定性。
数值验证与基于物理场景的模拟
本节通过涉及数值示例和物理系统的对比模拟，调查所提出方法的有效性。
结论
本文探讨了非线性离散时间受扰动力学系统 PdT 稳定性的概念。具体而言，它开发了两种类型的 Lyapunov 理论，即针对 PdT 和实际 PdT 稳定性的理论。此外，本文设计了一种预定义时间 DSMC，并重点关注分析了该方法在趋近和滑动阶段的 PdT 稳定性。此外，本文还对所提出的 DSMC 方法进行了性能评估，并

CRediT 作者贡献声明
Chao Jia：监督、资源、方法论、调查、资金获取、形式分析、概念化。Junjie Ping：写作 – 初稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、概念化。

竞争利益声明
作者声明他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能被认为影响了本报告的工作。

致谢
这项工作得到了国家自然科学基金（批准号 62103298）和天津市企业科技特派员专项（批准号 24YDTPJC00280）的支持。

投稿声明
本原始稿件未以任何形式在其他地方发表，且目前没有其他期刊的投稿待处理。

Chao Jia 分别于 2002 年和 2008 年在中国天津工业大学获得工学学士和工学硕士学位，并于 2013 年在中国天津大学获得博士学位。他于 2002 年加入中国天津工业大学电气与自动化学院，并于 2013 年成为副教授。2016 年至 2017 年，他作为访问学者在位于美国纽约的哥伦比亚大学工作。他当前的研究兴趣包括非线性控制、终端
Chao Jia|Junjie Ping