论磁弹性体的虚功率原理

《Mechanics Research Communications》：On the principle of virtual powers for magnetoelastic bodies

　　

摘要
我们在虚功率原理框架内推导了非线性磁弹性的控制方程，该原理明确考虑了磁功率消耗的非可加性。外功率和内功率均被分解为一个可加部分，该部分具有标准表示，以及一个自部分，该部分捕捉长程磁自相互作用。我们利用这种分解中的规范自由度，要求可加贡献和自贡献独立消失。可加平衡产生了用应力表示的机械牵引力表示，以及逐点机械力平衡和磁微力平衡。由于静磁自能的变化率等于自功率，耗散不等式仅涉及可加功率，这被用于制定热力学一致的本构关系。

引言
过去几十年来，磁弹性固体的数学建模引起了越来越多的关注，这得益于活性材料的发展，如磁流变弹性体、磁形状记忆合金和软磁活性结构。这些材料表现出机械场和磁场之间的强耦合，可用于设计驱动器、传感器和能量收集装置 [1], [2]。
磁弹性的基础由 Tiersten、Brown 和 Pao 在 1960 年代和 1970 年代奠定 [3], [4], [5]，他们开发了有限变形下磁弹性体的控制方程。自那时以来，涌现了大量丰富的研究工作，探索了非线性磁弹性的变分法和直接法。
现有的非线性磁弹性方法可 broadly 分为变分法和直接法。在前者中，引入一个依赖于相关运动学和磁场的合适泛函，并通过施加相对于容许变分的平稳性来推导控制方程 [6], [7], [8], [9], [10], [11]；在后者中，推导遵循现代连续介质物理学的程序 [12]，即识别基本的机械和电磁相互作用，然后从力、能量和相关守恒定律的平衡中获得场方程 [3], [13], [14], [15], [16], [17]。Tiersten 的配对论文 [3], [6] 已经预示了这种区别，而比较性的公式化阐明了有限磁弹性中这两种观点之间的对应关系 [7], [18]。
变分公式也已向计算实现方向发展 [19]，并在 [11], [20], [21] 中进行了调查，而更广泛的有限变形阐述则在 [22], [23] 中给出。这两个家族都影响了梁、板和壳的简化结构理论 [24], [25], [26], [27], [28] 以及基于均匀化的磁弹性复合材料本构模型 [29], [30], [31], [32]。
尽管变分公式便于数值实现 [8], [19]，但它们掩盖了同一物体各部分之间机械和磁相互作用的本质，而这些相互作用确实是连续介质力学中的基本构造。此外，正如 [33] 中所强调的，在变分法中，本构方程从一开始就引入了，因为在取变分之前必须指定能量密度，使得欧拉 - 拉格朗日方程从一开始就是材料特定的。
相比之下，在直接法中，平衡定律保留了更多的普适性，本构假设仅在后续步骤中引入。此外，虽然变分方法非常适合研究平衡，但纳入耗散过程需要额外的要素，例如耗散伪势 [10], [34]，其形式并非仅由物理唯一确定。直接法不需要这种辅助结构：Coleman–Noll 程序 [35] 可以直接应用于耗散不等式，以推导容纳耗散和非耗散响应的本构限制。
当涉及到直接方法所基于的逐点平衡定律的公式化时，普遍认为 Germain [36] 引入的虚功率原理提供了一个特别自然的框架。此外，正如 [12, § 22.2.1] 中所强调的，如果要求功率消耗不仅对每个容许的虚速度成立，而且对每个部分 ?? 也成立，那么虚场和所选部分的组合任意性通过局部化，导致逐点平衡方程和应力与牵引力之间的柯西关系。更具体地说，引入机械外功率：??em(??)[??] = ∫?? ????? ???? + ∫???? ??????? ????，
和机械内功率（我们的内功率概念实际上是标准的负值，但这只是约定问题）：??im(??)[??] = ?∫?? ??:??? ????，
并施加总机械功率：??m(??)[??] ? ??em(??)[??] + ??im(??)[??]，
对于任意部分 ?? 和任意测试速度 ?? 都消失，人们得到牵引力向量 ???? 的柯西表示 ?????? = ????，其中 ???? 是 ???? 的外法线。然后，应用散度定理得到逐点平衡方程 div ?? + ?? = ??。特别地，由于 ?? 和 ?? 都不依赖于 ??，根据构造，函数 (??,??) ? ∫???? ??????? ???? 在不相交的体部分上是可加的，这是推导牵引力柯西表示的关键属性 [37]。
当试图将上述程序应用于磁弹性体时，遇到了由磁相互作用消耗的功率的非可加性造成的基本障碍，因为部分 ?? 从其补集 ???? 体验到的磁场取决于 ?? 本身的几何形状。这个问题不仅出现在磁弹性的背景下，也出现在具有长程相互作用的更广泛的连续介质理论背景中，包括自引力。特别地，正如 [13], [38] 所指出的，当这种长程相互作用是偶极子类型时，如在磁弹性和电弹性情况下，推导逐点平衡陈述需要引入一个自力系统，该系统是部分平衡的，但仍然在非刚性速度场上消耗功率。
正如在 (1.3) 中已经暗示的，我们对虚功率原理的公式化与标准的略有不同，但等价。具体而言，我们从单个功率泛函 ??[??] 开始，我们称之为磁机械功率，我们要求它对于体的每个部分 ?? 和每个容许的虚速度 ?? 和虚磁化率 ??? 的选择都消失：??(??)[??,???] = 0。
然后，我们将总功率分解为外部和内部贡献，??(??)[??,???] = ??e(??)[??,???] + ??i(??)[??,???]，
其中 ??e(??) 表示其外部在 ?? 上消耗的功率，??i(??) 表示 ?? 内部力系统消耗的功率。
由于外功率的磁部分是非可加的，虚功率原理不能预先用于获得逐点平衡陈述。为了解决这个问题，我们将外功率分解为一个可加部分 ??e,a，其行为类似于标准柯西功率 [37]，和一个自部分 ??e,s，该部分捕捉非可加的磁自相互作用：??e(??)[??,???] = ??e,a(??)[??,???] + ??e,s(??)[??,???]。
对内部功率提出了类似的分解。通过要求总功率的可加和自贡献独立消失，我们推导出任意体部分和任意测试速度的平衡方程，获得应力张量与牵引力之间的显式关系，以及部分平衡定律。
我们强调，内部和外部功率分解为可加和自贡献仅在任意可加功率的范围内是唯一的。我们的选择，即要求总自功率消失，与耗散原理一致：它将部分 ?? 内消耗的自功率与该部分的静磁能量变化率识别为同一。因为这些非局部项相互抵消，耗散不等式可以使用纯可加项来制定。这种简化自然地导出了应力和磁微力的本构关系，并在必要时也容纳了应力的粘性部分。
最后，我们指出，虽然目前的公式化是在磁弹性的背景下开发的，但相同的理论框架可以直接应用于电弹性。人们对电弹性材料的力学也有大量且日益增长的兴趣，包括介电弹性体 [39], [40], [41]。类似的变形介质逐点平衡框架是在 [38] 中开发的。在电弹性设置中，这里由磁化 ?? 和磁场 ?? 扮演的角色分别由电极化和电场扮演。非可加相互作用的数学结构以及由此产生的平衡方程保持完全类似。
本文组织如下。在第 2 节中，我们定义外功率并引入结合功率、自功率和外功率的分解 (1.6)。在第 3 节中，我们引入内功率，其分裂为可加和自部分，并通过虚功率原理推导平衡方程。在第 4 节中，我们写下耗散不等式，利用自能率与自功率的等价性，并展示简化的耗散不等式如何自然地容纳粘性应力。支持第 4 节关键恒等式的详细计算收集在附录中。

章节摘要
外功率
让我们考虑一个磁化体，在其当前构型中占据三维欧几里得空间的一个区域 ?，其平移空间表示为 ??。令 ??:?→?? 表示单位体积的磁化密度，令 ??:?→?+ 表示质量密度场。另令 ??:?→?? 表示速度场，令 ???:?→?? 表示单位质量比磁化强度 ??=??/?? 的物质时间导数。在本文中，?? 表示具有 SI 单位 A/m 的磁场，且 ??0=4π×10??。

内功率
受外功率分裂 (2.10) 为可加和自成分的启发，我们提出内功率允许类似的分解：??i=??i,a+??i,s。
通过代入内功率和外功率之间的分裂 (1.5)、外功率的分解 (2.10) 和内功率的分解 (3.1) 到虚功率原理 (1.4) 中，我们得到 ??a+??s=0，
其中我们定义了 ??a=??i,a+??e,a，??s=??e,s+??i,s。
我们将 ??a 称为可加功率，将 ??s 称为...

自由能分解
热力学第二定律要求外功率等于自由能的变化率加上耗散率。在我们的语境中，这个要求表示为：??e(??)[??,???]=???(??)+??(??)，
其中 ??(??) 是自由能，??(??)≥0 代表耗散率。
关于自由能，我们认为它由一个局部可加部分和一个非局部自部分组成：??(??)=??a(??)+??s(??)。
我们假设可加部分依赖于变形梯度 ?? 和比...

结论
我们提出了一种基于虚功率原理和对磁自相互作用显式处理来推导有限变形下磁弹性体平衡方程和本构关系的方法。
公式化的出发点是外磁机械功率，它取决于任意子体 ?? 外部产生的磁场，因此本质上是非可加的。通过引入结合功率和自功率，我们...

CRediT 作者贡献声明
Jacopo Ciambella：写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿。Matteo Ruggieri：写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿。Luca Lombardo：写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿。Giuseppe Tomassetti：写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿。

竞争利益声明
作者声明他们没有任何已知的竞争财务利益或个人关系，这些可能出现在影响本论文报告的工作中。

致谢
这项研究得到了意大利大学与研究部通过 PRIN 2022NNTZNM DISCOVER 项目，“卓越系”倡议的支持，以及意大利国家研究委员会通过 MESOFLU 项目的支持。用于数值计算的硬件是通过罗马技术极点基金的支持获得的。也感谢 INDAM-GNFM 的支持。

Jacopo Ciambella|Matteo Ruggieri|Luca Lombardo|Giuseppe Tomassetti
罗马萨皮恩扎大学结构与岩土工程系，意大利罗马