具有非对称层优先耦合的多层网络中的疾病传播

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Epidemic spreading on multilayer networks with asymmetric layer-preferential coupling

　　摘要

本研究探讨了在具有非对称性、层优先级层间耦合的多层网络上SIS（易感者-感染者-易感者）疫情的传播。方向性和节点特定的接触重新分配通过一个有效的接触分配矩阵来表示，该矩阵将层间耦合的物理支持与控制感染传播的接触预算分开。对于具有有限接触容量的离散时间过程，我们开发了一个动态消息传递框架，定义了DMP（动态消息传递）疫情阈值作为第一个有限传播性谱交叉点，并推导出在单向和双向接触重新分配下阈值提升的充分谱条件。合成双层网络的模拟支持了接触容量、耦合方向和层间风险差异的预测效果。然后，我们根据通勤和非通勤乘客流构建了一个上海地铁双层网络。对这个实证网络的场景分析表明，阈值响应具有强烈的时间依赖性：改变站点级别的分配规则或总重新分配规模会显著改变增益幅度，而在接近零增益的边缘情况下，其符号通常保持不变。因此，当方向性接触重新分配将接触预算从高风险层移开并且跨层反馈足够受限时，可以提高DMP阈值。

引言

复杂网络构成了建模现实世界系统中个体、设施或代理之间相互作用的基本框架[1]，[2]。在过去的二十年里，复杂网络理论在生物系统、社会动态和技术基础设施方面提供了重要的见解[3]，[4]，[5]，[6]。在这种背景下，疫情传播的研究一直受到理论和实证的关注，因为理解疾病传播的结构决定因素对于设计有效的控制策略和公共卫生干预措施至关重要[7]，[8]，[9]。

经典的隔室模型，特别是易感者-感染者-易感者（SIS）框架，仍然是疫情分析的基础工具[10]，[11]，[12]。SIS模型特别适用于那些特征为无免疫、短暂免疫或不完全免疫的反复感染或地方性感染情况，其中康复的个体立即恢复到易感状态。虽然早期模型通常假设均匀混合，但后续研究表明，现实世界的接触模式表现出显著的异质性，并且受到网络拓扑的强烈影响。诸如度分布、聚类和社区结构等特征可以显著影响疫情阈值和疫情规模[13]，[14]，[15]，[16]。然而，许多系统无法仅用一个接触层来充分表示。例如，城市交通系统包括在共享物理基础设施上运行的多种活动过程，社会传染可能同时通过在线和离线互动传播[17]，[18]，[19]，[20]。多层网络为这类系统提供了自然的表示方式。特别是，Granell等人将多层网络描述为不同层的参与者相同的多层系统，这与我们在活动层之间使用节点副本的定义一致[21]。根据这一观点，我们模型中的节点副本对应相同的物理实体，但参与不同的接触过程[6]，[22]。对多层网络上疫情传播的研究表明，层间耦合可以显著影响传播阈值、稳态感染水平和高风险节点的识别[23]，[24]，[25]，[26]，[27]。

多层网络中的一个主要复杂性来源是层间优先级耦合，即在每个方向上，接触机会在不同层之间以不同的强度重新分配。这种不对称性例如在通勤和非通勤活动之间、在线和离线暴露之间，或在同一时间窗口内观察到的各种交通模式之间表现出来[28]，[29]。尽管具有实际意义，但在多层网络上的疫情模型中，方向性和节点特定的层间接触分配经常被简化为对称或标量耦合权重[30]，[31]，[32]。Song和Taylor [28]证明耦合不平衡可以优化多层网络中的同步，Patwardhan等人[29]在交通网络优化中识别出对称性破坏现象；然而，这些研究没有涉及疫情阈值。Granell等人[21]提出的两层意识-疫情模型引入了单向过程耦合，其中意识通过信息渠道抑制感染，但耦合强度被建模为均匀的标量。多层网络上的交通驱动的疫情模型[27]，[33]通过度标准化传播纳入了移动性约束，但通常保持层间权重对称。最近的多层疫情研究进一步阐明了结构同质性、移动活跃节点和潜伏期效应的作用[23]，[24]；然而，方向性接触分配对疫情阈值的影响仍然不够充分。

节点级别近似，如微观马尔可夫链方法（MMCA）[25]，[34]，[35]，保留了节点之间的异质感染概率[16]，[21]，[36]。在类似的概率阈值框架下，Li、Zhang和Li构建了一个具有层偏好的时间多层疫情模型，推导出了疫情阈值条件，并表明层偏好行为可以纳入阈值分析[37]。此外，消息传递方法为网络中的传播过程提供了基于边的视角[38]，[39]。动态消息传递（DMP）将这一框架扩展到时间依赖的疫情轨迹；它在局部树状图上对于不可逆动态是渐进精确的[40]，[41]，并已通过保留定向边上的空洞消息和抑制即时回溯相关性来适应如SIS这样的重复状态过程[42]。最近的移动性驱动工作还将??步随机游走与随机重置映射到有效的加权定向网络上，并使用DMP将重复移动性与疫情传播联系起来[43]。这种方法在耦合的多层系统中特别有利，因为在节点副本之间的相互路径可能会扭曲阈值估计。在本研究中，我们使用DMP将疫情阈值的变化归因于有效的接触分配运算符，而不仅仅是归因于规范化超邻接矩阵的谱半径。

在这项工作中，我们提出了一个具有非对称层优先接触重新分配的双层SIS模型来分析疫情阈值，做出了三个主要贡献。首先，我们引入了一个双层SIS模型，其中方向性、节点级别的接触分配由有效矩阵?编码。这种表述将物理层间支持与控制感染传播的接触预算区分开来。其次，利用DMP框架，我们明确划分了其定向边消息空间上的加权非回溯运算符，并推导出在单向和双向接触重新分配下提升有限传播性DMP阈值的充分条件。第三，我们在合成双层网络上对理论预测进行了数值测试，并将该框架应用于上海地铁系统，其中通勤和非通勤乘客流形成了在共享物理拓扑上的两个活动层。实证网络场景分析表明，阈值响应强烈依赖于窗口特定的谱间隙和方向性反馈，而站点级别的分配轮廓和总重新分配规模主要影响其幅度，并且只在接近零增益边界时改变其符号。本文的其余部分组织如下。第2节详细介绍了多层网络的构建和有效接触分配矩阵。第3节描述了有限容量SIS动态。第4节发展了基于DMP的阈值分析，并提出了阈值提升的充分条件。第5节报告了合成网络实验和上海地铁案例研究的结果。最后，第6节总结了本文。

网络构建和有效接触分配

如图1所示，我们考虑一个由??个网络层组成的系统，其中每层包含相同数量的??个节点副本，但各层的连接模式不同。这种构建遵循多层网络的解释，即相同的参与者出现在相关网络的不同层中[21]。我们用(??,??)表示层??中的第??个节点副本，其中??∈{1,…,??}且??∈{1,…,??}。

设??(??)∈{0,1}??×??为层??的无向邻接矩阵，其元素??(??)?????=1

传播动态

在介绍用于阈值分析的矩阵公式之前，我们首先阐明了基本的随机游走和易感者-感染者-易感者（SIS）机制。超网络中的状态节点表示为??=(??,??)，??∈{1,…,??},??∈{1,…,??}，其中??索引层，??索引该层中的节点副本。在离散时间点??=0,1,2,…，节点??的疫情状态表示为?????(??)∈{??,??}，其中??表示易感性，??表示感染状态。

疫情阈值

疫情阈值定义为在接近无病平衡状态下引入的极小感染概率，该概率以下感染不会减少。当感染概率低于此阈值时，轻微的感染扰动趋于消失；相反，高于阈值时，无病状态变得线性不稳定，允许此类扰动放大[47]，[48]。因此，阈值由增长特性决定。

数值分析

我们在三个典型的网络模型上进行了合成实验：Barabási–Albert（BA）无标度图[51]、Watts–Strogatz（WS）小世界图[1]和Erd?s–Rényi（ER）随机图[52]。WS层是通过连接的Watts–Strogatz程序生成的，BA图是构造连接的。如果一个稀疏的ER图是不连通的，则在同一??个节点上的确定性循环的边被添加到该图中；这保持了副本耦合使用的共同层大小。

结论

在这项工作中，我们提出了一个具有非对称层优先级耦合的多层网络的有限容量SIS传播模型。主要结果是，通过重新分配有限的接触预算，而不是简单地增加层间边，可以提高DMP阈值。当有效接触从高风险层重定向到低风险层时，可以降低高风险层内的传播压力。在双向耦合下，如果反向耦合足够受限，

作者贡献声明

Xin Xiong：撰写 - 审查与编辑，撰写 - 原始草稿，可视化，验证，方法论，概念化。Zhu Feng：撰写 - 审查与编辑，监督，资金获取。Li Mingyu：资源，调查，数据管理。Xinyu Yin：资源，调查，数据管理。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

这项工作得到了教育部科技产业-大学合作与教育项目的支持。（项目编号231107617172607）

Xin Xiong | Zhu Feng | Li Mingyu | Xinyu Yin

江苏大学孟子Honors学院，镇江，212013，江苏省，中华人民共和国