《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Benchmarking generalized Bradley–Terry model with UNO
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摘要我们调查了广义 Bradley-Terry 框架在量化竞争系统中运气和结构等级作用方面的性能，使用卡牌游戏 UNO 作为受控测试平台。蒙特卡洛模拟具有不同玩家数量、轮次和技能组合的锦标赛，用于生成两两结果矩阵，通过带有哈密顿蒙特卡洛的贝叶斯推断进行分析，以估计模型的运气和
摘要
我们调查了广义 Bradley-Terry 框架在量化竞争系统中运气和结构等级作用方面的性能，使用卡牌游戏 UNO 作为受控测试平台。蒙特卡洛模拟具有不同玩家数量、轮次和技能组合的锦标赛，用于生成两两结果矩阵，通过带有哈密顿蒙特卡洛的贝叶斯推断进行分析，以估计模型的运气和深度参数。结果表明，锦标赛结构强烈影响推断参数，增加玩家数量或游戏时长会系统性地降低估计深度，同时增强表观随机性，表明随机效应积累并掩盖了潜在的技能差异。同质化技能群体无论策略类型如何，均产生相似参数值，而引入甚至一个策略更强的玩家会显著改变两项指标，特别是在大群体中。在同质化策略极限下，推断的运气参数饱和在 0.8 附近，这是技能不可区分性的特征，而不是游戏的内在属性，一旦引入策略异质性，急剧下降至与既定体育项目和动物支配系统相当的值。系统的让分分析进一步揭示，运气和深度几乎完全响应于策略类别之间的有效技能差异。基于排列的分析证实，让分 - 让分交互作用是塑造运气和深度的主导因素，而策略构成和其他结构变量主要通过交互作用贡献。总体而言，研究结果表明，运气和技能之间的推断平衡不是游戏本身的内在属性，而是敏感地依赖于竞争如何组织。这强调了在将概率排名模型应用于经验竞争系统时考虑锦标赛设计的重要性。
引言
两两竞争结果的统计建模长期以来一直是各种领域竞争系统分析的基石，包括体育、消费者行为和社会等级 [1], [2]。Bradley-Terry 模型 [3]（先前由 E. Zermelo [4] 引入），一个基础的概率框架，基于从观察结果中推断的潜在技能参数，估计一个竞争者胜过另一个竞争者的概率。尽管其应用广泛，标准 Bradley-Terry 模型并未考虑某些现实世界的复杂性。因此，出现了许多 Bradley-Terry 模型的广义变体 [5], [6], [7]。
Bradley-Terry 模型的一个局限性是它未将运气作为因素考虑在内。即使在像 100 米短跑这样严格控制比赛中，也显示运气通过基于智能体的建模负责近百分之五的表现 [8], [9]。该模型无法捕捉竞争者之间的技能差异代表了另一个显著缺陷。该模型的这两个局限性，即忽略偶然事件和复杂性，最近已由 Jerdee 和 Newman [10] 解决。为了克服 Bradley-Terry 模型中的这些困难，这些作者引入了两个额外参数来捕捉竞争的随机性质以及各种竞争环境中固有的结构复杂性。具体而言，引入的第一个旨在测量游戏中涉及运气的参数量化了意外结果的概率，而第二个名为深度的参数测量了竞争等级内的复杂性或分层。这些增强允许对支配竞争互动动态的更细致理解。
卡牌游戏 UNO [11] 为应用此类广义 Bradley-Terry 模型提供了一个有趣的研究案例。尽管规则简单，但考虑到其计算复杂性，即使是单人 UNO 也是 NP 完全的，而其双人版本是 PSPACE 完全的 [12]。因此，它也被用作测试新型人工智能方法的基准 [13]。值得注意的是，最近发现 [14] UNO 表现出复杂的随机行为，包括非马尔可夫动力学和有限尺寸效应，其动力学符合类似于热力学系统中发现的涨落关系 [15]。虽然游戏涉及显著的偶然因素，如抽牌的随机性，但它也允许进行战略决策，表明运气或技能都没有单独主导游戏玩法。这使得 UNO 位于像国际象棋这样的完全基于技能的游戏和像硬币翻转这样的纯机会游戏之间。
在本研究中，我们将广义 Bradley-Terry 模型应用于 UNO 以量化其运气和深度参数。UNO 游戏玩法的模拟允许我们为模型生成数据，并系统地改变玩家数量、游戏数量等结构参数以及玩家技能水平，以评估这些因素如何影响广义 Bradley-Terry 模型对运气和深度的估计。这种方法使我们能够广泛分析模型对不同游戏条件的敏感性，并且，提供了对游戏潜在动力学的见解。在这个意义上，UNO 凭借其计算复杂性和涉及行为者的变体，作为评估最近引入的广义 Bradley-Terry 模型及其两个重要因素，即运气和深度的基准。
章节片段
方法论与模型规范
游戏使用三个组件进行：背面朝下的抽牌堆，正面朝上的弃牌堆，以及每位参与者持有的私有手牌。在他们的回合，玩家从他们手中选择一张卡并将其放置到弃牌堆上，受限于由当前顶牌决定的兼容性规则。每张卡由其颜色（蓝、绿、红、黄）和数字（0 到 9 之间）指定，某些行动卡除外（见下文更多此内容）。每张编号为...的卡有两张副本
结果与讨论
在完全无能和精通群体中，深度和运气的估计值没有显著差异，表明在设置中，整体策略选择不改变这两个因素之间的平衡（见图 2）。相反，主导效应源于锦标赛的结构特征。增加玩家数量 consistently 减少深度，同时保持运气基本上在同一水平，可能是因为增加的匹配稀释了任何潜在结构
结论
广义 Bradley-Terry 模型在不同的锦标赛结构下产生明显不同的运气和深度估计，这种敏感性是理解建立在有限、随机交互之上的竞争系统的中心。在 UNO 中，改变玩家数量、手牌数量或精通和无能策略的混合会改变输入模型的两两结果图案。当锦标赛较短或涉及较少玩家时，技能结构更容易检测到且
CRediT 作者贡献声明
阿塔·乌特库·厄兹坎：写作 - 初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析。 伊雷姆·努尔·厄兹坎：写作 - 初稿，可视化，软件，方法论。 G. 巴里斯·巴格奇：写作 - 初稿，监督，调查，形式分析，概念化。
竞争利益声明
作者声明，他们没有已知的可能影响本文报告工作的竞争财务利益或个人关系。
阿塔·乌特库·厄兹坎|伊雷姆·努尔·厄兹坎|G. 巴里斯·巴格奇
土耳其，安卡拉，06800，比尔肯特大学，材料科学与纳米技术研究所
