由类偶极晶格构成的三次立方-五次非线性薛定谔（NLS）系统：偏移半功率修正及变系数扩展方法

《Physica B: Condensed Matter》：Coupled cubic–quintic NLS system from a dipole-like lattice: Shifted half-power derivation and variable-coefficient extension

　　•一个耦合的立方-五次非线性薛定谔（NLS）系统是由一个双分支的类偶极子晶格派生而来的。
•一个移位半功率展开将非共振谐波奴隶与共振立方反馈分开。
•通过啁啾相似性约束获得了无势变系数扩展。
•构建了精确的cn–cn、sn–sn和dn–dn雅可比椭圆向量波族。
•啁啾解描述了受控的周期波及其极限孤立子轮廓。
•所获得解的稳定性被确定为未来的一个独立研究方向。

**引言**
非线性薛定谔（NLS）方程是描述晶格、流体、等离子体、非线性光纤和非线性电气网络中弱非线性和弱色散波包最重要的包络模型之一[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。当载体动力学涉及多个物理分支、极化或内部模式时，标量简化不再适用，耦合NLS系统成为自然的振幅方程。自从Manakov向量-NLS模型以来，耦合包络系统已被用来描述极化动力学、矢量孤子、域壁、束缚态、多组分 rogue 波以及在光学和机械介质中的非线性拍频现象[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。
当前的工作受到这样的情况的启发：在考虑包络极限之前，两个微观自由度会发生相互作用。例如，平移-旋转晶格、双折射波导、非线性电传输线、耦合等离子体模式以及受微管启发的模型，其中纵向和角向变量共存[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。在这些系统中，立方自相位调制、立方交叉相位调制、五次饱和和混合五次修正可能会同时出现。最近对弱双折射光纤和高色散光学介质的研究表明，当自作用和交叉作用适当平衡时，高阶非线性可以支持矢量四次和立方-五次孤子结构[21]、[22]、[23]、[24]。

**起始点**
我们的起点是一个具有平移位移Un(t)和类偶极子角场χn(t)的双场晶格。交叉相互作用是通过总守恒耦合Vcouptot(Un,χn)=CUn2(1?cosχn)+Λ4Un4χn2在微观层面上引入的，而不是在包络层面上直接假设交叉相位项。三角函数部分的小角展开产生了立方交叉和立方五次通道，而额外的混合六次部分则直接提供了平移和角向分支之间的高强度耦合。微弱的现场不对称性产生了零阶和谐波以及二阶谐波修正。这些谐波是非共振的，但在代数求解后，它们会反馈到载体方程中并重新规范有效包络系数。因此，这种机制是一个级联的非线性效应：虚拟谐波不会成为独立的包络，但会改变最终耦合CQ-NLS系统的系数。这种区分对于系数跟踪至关重要：在推导过程中必须保留被奴役的场，但通用的双波非共振规则阻止它们对混合五次单项式|G|2|F|2G和|G|2|F|2F的贡献。

**关键技术成分**
一个关键的技术成分是半功率缩放δ=?1/2，以及移位的弱非线性排序a=δa?,m=δm?。半功率扰动方案和移位非线性缩放已被用于调制接近不稳定边缘状态的非线性晶格和传输线模型[25]、[26]、[27]、[28]、[29]。在当前设置中，这种缩放将直接二次强迫从O(δ2)移动到O(δ3)，而由相关被奴役谐波产生的共振立方反馈则延迟到O(δ5)=O(?5/2)。在该阶，群速度色散、直接立方项、级联立方修正、交叉相位调制和直接五次饱和进入相同的可解条件。

**变量系数扩展**
在推导出自主耦合CQ-NLS系统之后，我们引入了变量系数扩展，这借鉴了受控光纤和自相似波研究的精神[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]。当前公式的一个特点是没有添加外部势能。相反，啁啾变换受到约束，使得实际残差项直接消失。这样就为受控色散、增益/损耗轮廓、立方非线性和五次非线性提供了明确的兼容关系。因此，变量系数模型并不是任意的；它是微观恒定系数CQ-NLS系统的非自治延续。

**最近的发展**
最近的发展进一步强调了当前孤子研究的广度。Yu和Yu研究了一种变量系数高阶NLS方程中的可控非自治孤子传播和碰撞[41]；Zhou和Yu为广义非局部NLS方程构建了时空移位的孤子及其相互作用[42]。最近的工作还为变量系数Mel’nikov系统开发了孤子解和长时间渐近行为[43]，而Zhang、Li和Yu分析了变量系数Davey–Stewartson II方程的孤子相互作用、长时间渐近行为和调制不稳定性[44]。这些贡献激发了本文将微观推导、系数管理和精确向量波构建结合起来的灵感。

**最近的CQ-NLS研究**
最近的CQ-NLS研究考察了双色光学超晶格中的暗能隙孤子及其线性稳定性[45]，由反转的立方-五次响应支持的一维和二维局域态[46]，以及由交叉势能槽引导的高斯孤子和平顶孤子的碰撞和融合[47]。这些研究表明，竞争的立方和五次效应可以根据晶格、势能和符号配置产生显著不同的存在、碰撞和稳定性场景。

**完整性的考虑**
与当前推导相关的更广泛文献包括精确和变分CQ-NLS波、非线性光学测量、调制不稳定性以及离散晶格孤子[48]、[49]、[50]、[51]、[52]、[53]、[54]、[55]、[56]、[57]、[58]、[59]、[60]。耦合向量传播、共振、辐射和稳定性也在几项基础研究中得到了处理[61]、[62]、[63]、[64]、[65]、[66]、[67]、[68]、[69]、[70]。这些引用现在与讨论明确相关联，而不仅仅出现在参考文献中。

**基于雅可比椭圆函数的精确波**
下面构建的精确波基于雅可比椭圆函数。这些函数为周期波列和孤立子极限提供了一致的表示，并且在标量和矢量非线性波理论中已经被长期使用[71]、[72]、[73]、[74]、[75]、[76]。我们由cn、sn和dn生成了三个家族，然后使用相似性变换得到啁啾受控对应物。图表展示了椭圆模量、辅助函数振幅的符号、非线性管理系数和立方五次相互作用如何重塑这两个分量。然而，我们强调，当前的手稿侧重于推导、精确构建和物理解释。所得到的自主和啁啾解的稳定性分析并未在此进行，将在未来的工作中进行。

**文章结构**
文章的其余部分安排如下：第2节给出物理动机，第3节指定微观晶格模型，第4节介绍电学和机械实现。第5-9节介绍线性符号和移位半功率排序，定义慢变量，在每个扰动阶展示方程，并求解非共振谐波场。第10节推导出耦合CQ-NLS包络方程和微观系数字典。第11节发展变量系数延续及其啁啾相似性约束，而第12节构建雅可比椭圆族及其孤立子极限。第13节提供物理综合，第14节提供物理综合、图形解释和稳定性范围，第15节总结文章。

**动机和物理解释**
这个项目的目的是构建一个耦合的CQ-NLS系统，其微观起源仍然与类偶极子势能Vcouptot(Un,χn)=CUn2(1?cosχn)+Λ4Un4χn2相关联，同时强调双波传播、二阶谐波场和直接混合六次相互作用对包络系数的影响。这里C衡量主要的类偶极子平移-角向耦合，Λ控制更高强度的混合六次修正。

**独立微观模型**
我们考虑两个实数晶格场Un(t)和χn(t)。这种两自由度的出发点遵循与纵向-角向微管模型和相关非线性晶格相同的物理哲学：首先为微观变量写出方程，然后通过受控近似推导出包络方程[15]、[20]、[77]。当前模型不限于微管；应将其视为一个通用的类偶极子晶格，其平移和角向分量...

**电学和机械实现**
图1展示了一个有效的非线性电传输线实现。变量Un与包含电感存储、弱耗散和非线性电容的非线性分支的电压相关联。变量χn属于一个具有周期性局域能量的类相位/偶极子分支。耦合能量的选择使得主要的低幅度简化恢复了CUn2(1?cosχn)以及混合的高强度修正ΛUn4χn2/4。

**线性符号**
与(10)–(11)相关的线性晶格符号是D1(q,ν)=ωu2?ν2+4α1sin2ql2，D2(q,ν)=Ω2?ν2+4α2sin2ql2。

**移位半功率计算**
设置δ=?1/2以延迟立方平衡。在未移位的半功率计算中，主要振幅是O(δ)。因此，直接立方项bUn3、dχn3、CUnχn2和CUn2χn自然地为O(δ3)=O(?3/2)，如果b,d,C=O(1)。这是激发Ketchakeu–Kengne半功率构建的相同排序难题，其目标是将共振立方平衡推迟并在最终振幅方程中保留更高阶饱和[25]、[29]。二次项需要单独解释。如果a和m是O(1)，则使用适合移位平衡的单一慢时间：X=?(nl?vgt)=δ2(nl?vgt)，T=?2t=δ4t。然后?t=?t0?δ2vg?X+δ4?T。

**展开式**
Un(t)=δU1+δ2U2+δ3U3+δ4U4+δ5U5+O(δ6)，χn(t)=δV1+δ2V2+δ3V3+δ4V4+δ5V5+O(δ6)，其中U1=G(X,T)eiθ1+G?(X,T)e?iθ1，V1=F(X,T)eiθ2+F?(X,T)e?iθ2，θj=kjnl?ωjt，j=1,2。这是一个真正的双波假设：两个载体对(k1,ω1)和(k2,ω2)在整个投影过程中保持区分。下面的包络方程是在通用非共振约定下获得的：

**每个阶的方程**
在求解之前，令L1W=?t02W?α1ΔdW+ωu2W，L2W=?t02W?α2ΔdW+Ω2W。在新方程求解之前得到以下层次结构。

**求解非共振场**
在施加共同的群速度后，(38)–(39)简化为L1U3=?a?G2e2iθ1+2|G|2+G?2e?2iθ1，L2V3=?m?F2e2iθ2+2|F|2+F?2e?2iθ2。因此U3=BG|G|2+AGG2e2iθ1+A?GG?2e?2iθ1，V3=BF|F|2+AFF2e2iθ2+A?FF?2e?2iθ2，其中BG=?2a?ωu2，AG=?a?D1(2k1,2ω1)，BF=?2m?Ω2，AF=?m?D2(2k2,2ω2)。二阶谐波不匹配的分母是D1(2k1,2ω1)=ωu2?4ω12+4α1sin2(k1l)，D2(2k2,2ω2)=Ω2?4ω22+4α2sin2(k2l)。

**在O(?5/2获得的包络方程**
令P1提取eiθ1的系数，P2提取eiθ2的系数。将(48)–(49)投影到两个载体谐波上得到iGT+P1GXX+Q11|G|2+Q12|F|2G+R11|G|4+R12|G|2|F|2+R13|F|4G=0，iFT+P2FXX+Q21|G|2+Q22|F|2F+R21|G|4+R22|G|2|F|2+R23|F|4F=0。立方系数现在移位到O(?5/2)，分别为Q11=?3b?2ω1+a?(BG+AG)ω1=?3b?2ω1+2a?2ω1ωu2+a?2ω1D1(2k1,2ω1)，Q22=?3d?2ω2+m?(BF+AF)ω2=?3d?2ω2+2m?2ω2Ω2+m?2ω2D2(2k2,2ω2)，Q12=?C?3ω1，Q21=?C?3ω2。这些在代数形式上与...

**无外部势的变量系数扩展**
在(62)–(63)中推导出的耦合CQ-NLS系统是一个恒定系数包络模型。为了将这个晶格派生系统与受控光纤、渐变非线性介质和分布式非线性传输线进行比较，我们现在引入了变量系数扩展。在非线性光学中，这样的变量系数有更广泛的应用：它们模拟纵向锥形或渐变波导和光纤、分布式增益或损耗、色散管理、非线性管理。

**三个雅可比椭圆族及其啁啾对应物**
一旦选择F作为雅可比椭圆函数，辅助方程(155)就直接可用。设m表示椭圆模量，0
**物理综合**
微观和包络描述通过三种机制连接。首先，类偶极子相互作用在小角展开后产生立方和五次交叉作用通道。其次，微弱的二次不对称性强制非共振的零阶和二阶谐波；它们的代数消除通过级联反馈重新规范了载体非线性。第三，移位半功率排序将这种共振反馈推迟到o(?5/2)，在那里它平衡了晶格色散。

**物理分析和稳定性范围**
图3、图4、图5、图6、图7、图8、图9、图10、图11分为三个物理上不同的组。cn–cn和dn–dn族形成周期性亮波列，随着m→1接近局域sech轮廓，而sn–sn族接近暗或kink型tanh过渡。有理振幅中的符号选择决定了两个分量是同步变化还是互补变化，交叉立方和交叉五次系数控制了重新分配。

**结论**
我们开发了一个微观推导、变量系数扩展和精确波构建，用于两组分耦合的立方-五次非线性薛定谔系统。起点是一个通过cun2(1?cosχn)+λun4χn2/4耦合的平移和角向自由度的类偶极子晶格。通过结合这种微观耦合与微弱的二次不对称性和五次饱和，并应用移位半功率扰动展开，得到耦合cq-nls方程。

**资助**
本研究没有从公共、商业或非营利部门的资助机构获得任何特定资助。

**利益声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或可能影响本文报告工作的个人关系。

**emmanuel yomba** **物理综合** 微观和包络描述通过三种机制连接。首先，类偶极子相互作用在小角展开后产生立方和五次交叉作用通道。其次，微弱的二次不对称性强制非共振的零阶和二阶谐波；它们的代数消除通过级联反馈重新规范了载体非线性。第三，移位半功率排序将这种共振反馈推迟到o(?5 2)，在那里它平衡了晶格色散。 **物理分析和稳定性范围** 图3、图4、图5、图6、图7、图8、图9、图10、图11分为三个物理上不同的组。cn–cn和dn–dn族形成周期性亮波列，随着m→1接近局域sech轮廓，而sn–sn族接近暗或kink型tanh过渡。有理振幅中的符号选择决定了两个分量是同步变化还是互补变化，交叉立方和交叉五次系数控制了重新分配。 **结论** 我们开发了一个微观推导、变量系数扩展和精确波构建，用于两组分耦合的立方-五次非线性薛定谔系统。起点是一个通过cun2(1?cosχn)+λun4χn2 4耦合的平移和角向自由度的类偶极子晶格。通过结合这种微观耦合与微弱的二次不对称性和五次饱和，并应用移位半功率扰动展开，得到耦合cq-nls方程。 **资助** 本研究没有从公共、商业或非营利部门的资助机构获得任何特定资助。 **利益声明** 作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或可能影响本文报告工作的个人关系。 **emmanuel>
**物理综合**
微观和包络描述通过三种机制连接。首先，类偶极子相互作用在小角展开后产生立方和五次交叉作用通道。其次，微弱的二次不对称性强制非共振的零阶和二阶谐波；它们的代数消除通过级联反馈重新规范了载体非线性。第三，移位半功率排序将这种共振反馈推迟到o(?5/2)，在那里它平衡了晶格色散。

**物理分析和稳定性范围**
图3、图4、图5、图6、图7、图8、图9、图10、图11分为三个物理上不同的组。cn–cn和dn–dn族形成周期性亮波列，随着m→1接近局域sech轮廓，而sn–sn族接近暗或kink型tanh过渡。有理振幅中的符号选择决定了两个分量是同步变化还是互补变化，交叉立方和交叉五次系数控制了重新分配。

**结论**
我们开发了一个微观推导、变量系数扩展和精确波构建，用于两组分耦合的立方-五次非线性薛定谔系统。起点是一个通过cun2(1?cosχn)+λun4χn2/4耦合的平移和角向自由度的类偶极子晶格。通过结合这种微观耦合与微弱的二次不对称性和五次饱和，并应用移位半功率扰动展开，得到耦合cq-nls方程。

**资助**
本研究没有从公共、商业或非营利部门的资助机构获得任何特定资助。

**利益声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或可能影响本文报告工作的个人关系。

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