具有非零总环量的平面 N 涡旋问题中相对平衡的非线性稳定性

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Nonlinear Stability of Relative Equilibria in the Planar N-Vortex Problem with Non-Zero Total Circulation

　　

摘要 我们证明了平面 N 涡旋问题中非零总环量情况下相对平衡非线性稳定的充分条件；该稳定性是针对保持动量映射的扰动的李雅普诺夫稳定性。利用该条件，我们还证明了一些已知相对平衡在超出之前已知稳定范围之外的参数范围上的非线性稳定性。我们的结果建立在我们将相对动力学作为李 - 泊松系统的哈密顿表述的先前工作基础之上。相对动力学将 N 涡旋问题的相对平衡重构为李 - 泊松相对动力学中的不动点。我们通过利用哈密顿表述以及相对动力学中自然产生的不变量和约束来分析此类不动点的稳定性。我们将该方法应用于具有两个环量为 1 的涡旋和另外两个环量为 γ 的涡旋的菱形平衡，并证明当 √3?2<γ<0 时它们是稳定的，此前仅已知由于 roberts 的原因它们是线性稳定的。 引言 设 {xi=(xi,yi)∈R2}i=1N 是 r2 平面上 n 个点涡旋（以下简称为涡旋）的位置，其环量为 {γi∈r?{0}}i=1N。这些涡旋的动力学由以下方程组支配（参见，例如，Newton [1, section 2.1] 和 chorin 和 marsden [2, section 2.1]）：对于每一个 i∈{1,?,n}，x˙i=?12π∑1≤j≤Nj≠iΓjyi?yj∥xi?xj∥2,y˙i=12π∑1≤j≤Nj≠iΓjxi?xj∥xi?xj∥2,或者通过将 r2 与 c 等同 (xi,yi)?xi+iyi=:qi,q˙i=i2π∑1≤j≤Nj≠iΓjqi?qj|qi?qj|2.众所周知，上述系统是 r2n={(x1,?,xN)} 或 cn={(q1,?,qN)} 上的哈密顿系统，其辛形式为 ω:=∑i=1NΓidxi∧dyi=?12∑i=1NΓiIm(dqi∧dqi*)以及哈密顿量 h(x1,?,xn):=>< /><γ<1。在后一种情况下，我们证明了其在><γ<0 时的非线性稳定性；由于 roberts [7]，已知它仅是线性稳定的。

章节片段 等边三角形相对平衡 我们将继续第 1.3 节并分析等边三角形的稳定性。其稳定性条件是众所周知的；参见，例如，synge [31] 和 aref [32]；参见 newton [1, theorem 2.2.2] 和 roberts [7]。本节的目标是通过说明我们通过李 - 泊松方程的方法如何重现这些结果，来预览本文的主要思想。

等边三角形的线性稳定性 回想一下，我们正在分析李 - 泊松方程 n 点涡旋与 γ≠0 我们可能将 n=3（第 1.3 节）的李 - 泊松相对动力学推广到一般 n 涡旋情况，其中 γ:=∑i=1nγi≠0 正如我们在先前工作 [3] 中所做的那样；参见 [15]、[16]。具体来说，我们将使用相对坐标 z=[z1?zn?1]:=[q1?qn?qn?1?qn]∈cn?1,并定义 j:cn?1→vk*;z?izz*,其中 vk* 是李代数 vk:={ξ∈c(n?1)×(n?1)∣ξ*=?ξ}的对偶，配备有（非标准）李括号 [ξ,η]k:=ξk?1η?ηk?1ξwithk:=1γ[?γ1(γ?γ1)γ1γ2?γ1γn?1γ2γ1?γ2(γ?γ2)?γ2γn?1????γn?1γ1γn?1γ2??γn?1(γ?γn?1)]

卡西米尔函数与约束 上述相对动力学的李 - 泊松表述的优势在于，约化动力学定义在向量空间 vk 上。 时的非线性稳定性；由于 roberts [7]，已知它仅是线性稳定的。 章节片段 等边三角形相对平衡 我们将继续第 1.3 节并分析等边三角形的稳定性。其稳定性条件是众所周知的；参见，例如，synge [31] 和 aref [32]；参见 newton [1, theorem 2.2.2] 和 roberts [7]。本节的目标是通过说明我们通过李 - 泊松方程的方法如何重现这些结果，来预览本文的主要思想。 等边三角形的线性稳定性 回想一下，我们正在分析李 - 泊松方程 n 点涡旋与 γ≠0 我们可能将 n=3（第 1.3 节）的李 - 泊松相对动力学推广到一般 n 涡旋情况，其中 γ:=∑i=1NΓi≠0 正如我们在先前工作 [3] 中所做的那样；参见 [15]、[16]。具体来说，我们将使用相对坐标 z=[z1?zN?1]:=[q1?qN?qN?1?qN]∈CN?1,并定义 j:cn?1→vk*;z?izz*,其中 vk* 是李代数 vk:={ξ∈C(N?1)×(N?1)∣ξ*=?ξ}的对偶，配备有（非标准）李括号 [ξ,η]k:=ξK?1η?ηK?1ξwithK:=1Γ[?Γ1(Γ?Γ1)Γ1Γ2?Γ1ΓN?1Γ2Γ1?Γ2(Γ?Γ2)?Γ2ΓN?1????ΓN?1Γ1ΓN?1Γ2??ΓN?1(Γ?ΓN?1)] 卡西米尔函数与约束 上述相对动力学的李 - 泊松表述的优势在于，约化动力学定义在向量空间 vk>
章节片段 等边三角形相对平衡 我们将继续第 1.3 节并分析等边三角形的稳定性。其稳定性条件是众所周知的；参见，例如，synge [31] 和 aref [32]；参见 newton [1, theorem 2.2.2] 和 roberts [7]。本节的目标是通过说明我们通过李 - 泊松方程的方法如何重现这些结果，来预览本文的主要思想。

等边三角形的线性稳定性 回想一下，我们正在分析李 - 泊松方程 n 点涡旋与 γ≠0 我们可能将 n=3（第 1.3 节）的李 - 泊松相对动力学推广到一般 n 涡旋情况，其中 γ:=∑i=1nγi≠0 正如我们在先前工作 [3] 中所做的那样；参见 [15]、[16]。具体来说，我们将使用相对坐标 z=[z1?zn?1]:=[q1?qn?qn?1?qn]∈cn?1,并定义 j:cn?1→vk*;z?izz*,其中 vk* 是李代数 vk:={ξ∈c(n?1)×(n?1)∣ξ*=?ξ}的对偶，配备有（非标准）李括号 [ξ,η]k:=ξk?1η?ηk?1ξwithk:=1γ[?γ1(γ?γ1)γ1γ2?γ1γn?1γ2γ1?γ2(γ?γ2)?γ2γn?1????γn?1γ1γn?1γ2??γn?1(γ?γn?1)]

卡西米尔函数与约束 上述相对动力学的李 - 泊松表述的优势在于，约化动力学定义在向量空间 vk 上。>

如前所述，如果使用辛/哈密顿约化的标准技术进行 SE(2)-约化，情况并非如此。然而，也有一个明显的缺点：vK 的（实）维度是 (N?1)2，这远远大于人们对约化动力学所期望的值，尤其是当 N 较大时。这是我们为此付出的代价。稳定性引理如命题 4.1 和 4.3 中所证明的，零水平集 v?K(1)=F?1(0) 是相对动力学 (13) 的不变集。然而，如在备注 4.4 中所述，组成 F 的 (17) 中定义的函数 {Fi}i=1N?2 和 {Fij}1≤i