具有非零背景的五阶mKdV方程：无孤子区域中的长时间渐近行为

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：The fifth-order mKdV equation with a non-vanishing background: Long-time asymptotics in solitonless regions

　　摘要
利用与Riemann-Hilbert问题相关的?ˉ-最速下降方法，我们研究了具有非零背景的去聚焦五阶修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程解的长时间渐近行为，该方程允许离散谱的存在。通过采用自相似变量ξ=x/(5t)，我们在ξ有界的两个无孤子区域内得出了不同的长时间渐近行为：ξ>6和ξ<1.2。在ξ>6的区域，相位函数具有四个实数相位点和六个纯虚数相位点。因此，解的渐近展开包括来自非零背景的主导项、来自连续谱的阶数项以及来自?ˉ问题的残差项。在ξ<1.2的区域，相位函数的十个静止点位于跳跃轮廓之外，相应的渐近展开包含非零背景以及O(t?1)阶的残差项。

引言
众所周知，修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程?tq+6εq^2?x^q+?x^3q=0，ε=±1是孤子波理论中的一个基本完全可积模型，并在各种物理背景下发挥重要作用，例如电子-正电子等离子体中的非线性阿尔文波[1]、晶格中孤子的传播[2]、蜿蜒的海洋电流[3]等。去聚焦五阶mKdV方程的形式为?tq+30q^4?x^q?10(?x^q)^3?40q?x^2q?10q^2?x^3q+?x^5q=0，其中q=q(x,t)是具有横向变量x和演化变量t的实函数。方程（1.2）是mKdV层次结构中的第二个成员[4]，[5]，并且具有以下缩放对称性：对于任何具有初始数据q0(x)的解q(x, t)，函数qρ(x,t)=ρq(ρx,ρ5t)也是具有初始数据ρq0(ρx)的解（1.2）。作为一个物理模型，方程（1.2）可以用来描述具有极性对称性的物理系统中的非线性波传播。

与mKdV方程类似，去聚焦五阶mKdV方程（1.2）也是完全可积的，并且允许无限多的守恒律和Lax对公式[6]，[7]，因此对于任何Schwartz初始数据，全局解都是存在的。对于低正则性初始数据，可以通过傅里叶分析和色散方程理论来建立方程（1.2）的局部适定性。在周期性边界条件下，通过能量方法[8]证明了加权Sobolev空间Hs(T)（s>2）中的局部适定性。对于加权Sobolev空间中的初始数据，通过Bourgain方法[9]获得了Hs(R)（s≥3/4）中的局部适定性，并且通过I方法[7]建立了Hs(R)（s≥19/22）中的全局适定性。通过使用与Lax对相关的扰动行列式的级数展开[10]，在3/4≤s≤19/22范围内的（1.2）的全局适定性问题得到了很大的解决。

除了适定性理论之外，另一个重要的研究课题是可积非线性波动方程解的长时间渐近行为。关于非线性波动方程的最早研究可以追溯到1974年Manakov的工作[11]，其中采用了逆散射变换（IST）。Zakharov和Manakov首次使用IST来分析具有Schwartz初始数据的非线性Schr?dinger（NLS）方程的渐近行为[12]。一种研究可积系统长时间渐近行为的强大方法是Deift-Zhou最速下降方法，该方法由Deift和Zhou在1993年提出，用于严格研究具有Schwartz初始数据的mKdV方程解的长时间渐近行为[13]。这种方法已成功应用于具有消失[14]、[15]、[16]和非消失[18]、[19]边界条件的各种可积方程解的渐近分析，这些方程不允许存在孤子。此外，在假设边界条件允许离散谱存在的情况下，还获得了具有消失边界条件的KdV方程以及具有非零边界条件的聚焦NLS和mKdV方程的渐近结果[20]、[21]、[22]。这种方法对于Schwartz初始数据产生了O(logtt)阶的误差项[13]，[14]，并且对于任何0<ι<14的情况，当初始数据属于加权sobolev空间时，误差项为o(t?(ι+1 2))。 近年来，deift-zhou最速下降方法进一步发展为?ˉ-最速下降方法，该方法最初由mclaughlin和miller提出[23]、[24]。后来，这种方法被用于研究具有加权sobolev空间初始数据的去聚焦和聚焦nls以及mkdv方程解的长时间渐近行为[25]、[26]、[27]、[28]，其中去聚焦情况不支持孤子解。cussagna和jenkins利用这种方法验证了具有有限密度初始数据的去聚焦nls方程的n-孤子解的解的确定性和长时间渐近稳定性[29]。这种方法的优点是它不仅避免了 cauchy投影算子的复杂lp估计，还将rh问题中的非解析性降低到了?ˉ-问题。此外，这种方法在加权sobolev空间中的初始数据下产生了o(t?3 4)阶的改进误差项[25]。最近，这种方法已经成功用于获得具有有限密度初始数据的可积方程解的长时间渐近行为，例如mkdv、novikov、nls、修正的camassa-holm、短脉冲和wadati-konno-ichikawa方程[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]。 对于具有加权sobolev空间初始数据的去聚焦五阶mkdv方程（1.2），liu、chen和guo[7]通过?ˉ-最速下降方法分析了其长时间渐近行为。相比之下，只有在加权sobolev空间初始数据下，聚焦五阶mkdv方程[36]才允许离散谱的存在。在这项工作中，我们进一步通过?ˉ-最速下降方法研究了具有有限密度初始数据q(x,0)=q0(x)，limx→±∞q0(x)=±1的去聚焦五阶mKdV方程（1.2）的长时间渐近行为。在这里，允许具有初始数据（1.3）的去聚焦五阶mKdV方程（1.2）存在离散谱，我们得到了无孤子区域ξ>6，|ξ|=O(1)和ξ<1.2，|ξ|=O(1)的渐近行为，其中ξ=x/(5t)。与经典的mKdV方程[31]、[32]相比，去聚焦五阶mKdV方程（1.2）在渐近分析中表现出不同的特性和复杂性：

? 相位函数θ(z)允许十个静止相位点：除了两个固定点±i之外，在ξ>6的区域，四个相位点ξj(j=1,2,3,4)位于实轴上，另外四个相位点位于虚轴上；在ξ<1.2的区域，四个相位点位于单位圆上，另外四个位于虚轴上；对于-2<ξ<1.2，所有八个相位点都位于单位圆上；对于-3≤ξ≤-2，八个相位点位于实轴、虚轴和单位圆之外；对于ξ1时z=1处有奇点，在x/(2t)<-1时z=-1处有奇点）[34]的无孤子渐近分析。在这里，Rjk(z)在z=±1处的奇点可以通过标量函数消除。利用?ˉRjk(z)的有界性来估计误差函数并分析?ˉ-问题。

本研究的主要结果描述了无孤子区域中去聚焦五阶mKdV方程（1.2）解的长时间渐近行为（见图1）。

定理1.1
给定一般初始值q0(x)?tanh(x)∈H^4,4(R)和散射数据{r(z),{zj,cj}j=1/N，当t→∞时，以下两个渐近公式成立：
(a) 在ξ>6，|ξ|=O(1)的区域，q(x,t)=?1+t?1/2∑j=1/4?j(1?ξj?2)?1(?2?jθ″(ξj))1/2(β1/2(ξj)?1ξj^2β2^1(ξj))+O(t?3/4)，其中ξj和?j=(?1)^j+1（j=1,2,3,4）分别在（3.5）和（4.3）中定义，β1/2(ξj)，β2^1(ξj)由（4.84）给出。
(b) 在ξ<1.2，|ξ|=O(1)的区域，q(x,t)=?1+O(t?1)。

注释1.1
“无孤子区域”这一术语并不意味着本工作中没有孤子的存在。相反，我们对极点（4.10）进行了插值变换，以使得跳跃矩阵（4.71）在t→∞时消失。在我们的分析中，孤子对导出的渐近行为的影响可以忽略不计。

注释1.2
施加条件|ξ|=O(1)的原因是：
• 相位点ξj（j=1,2,3,4）是有界的，这样Imθ(z)的估计、跳跃矩阵和?ˉ-导数是合理的（见命题4.1、命题4.3–命题4.5、命题4.12）。
• 在θ(z)的展开（4.80）中，靠近相位点ξj的高次幂在t→∞时衰减。

如果去除条件|x/t|=O(1)，可以考虑类似大t渐近行为的大x渐近行为。

注释1.3
渐近展开（1.4）与初始数据（1.3）之间的不匹配是一个值得详细讨论的显著现象。对于具有非消失边界条件的方程，t=0附近区域的渐近行为通常与初始轮廓一致。这使得我们模型中观察到的不匹配相当不典型。我们强调这种不匹配本质上是由相关的Riemann-Hilbert问题的具体结构引起的，这个问题源自散射数据和公式（1.4）和（4.84）中出现的静止相位点的分布之间的相互作用。

本文的结构如下：
第2节基于Lax对的光谱分析，我们推导了Jost解和散射数据的解析性、对称性质和渐近行为，并进一步构建了相关的RH问题。第3节我们研究了θ(z)的相位点分布，并提出了与e±2itθ(z)相关的Imθ(z)的签名表。第4节我们分析了ξ>6，|ξ|=O(1)区域的渐近行为。在第4.1节中，我们引入了一个标量函数δ(z)来分解Σ上的跳跃矩阵，并引入了一个矩阵函数G(z)来通过将极点转换为围绕每个极点的小封闭圆上的跳跃来构造一个新的标准RH问题M(1)(z)。在第4.2节中，我们通过轮廓变形打开?ˉ透镜，并引入了一个矩阵函数R(2)(z)来构造一个混合的?ˉ-RH问题M(2)(z)，它分解为MP(z)的纯正常RH问题和M(3)(z)的纯?ˉ-问题。在第4.3节中，我们通过全局参数矩阵Mout(z)和位于相位点ξj附近的局部模型Mloc(z)分析了MP(z)的纯RH问题。通过使用小范数RH理论解决了与Mout(z)和Mloc(z)相关的误差函数E(z)。在第4.4节中，我们提供了M(3)(z)的?ˉ-问题的严格分析。在第4.5节中，通过一系列变换，我们通过重建公式（2.41）获得了定理1.1(a)中的长时间渐近公式（1.4）。

在第4节的基础上，我们在第5节中对ξ<1.2，|ξ|=O(1)的区域进行了渐近行为分析。

一些符号说明
我们定义了几个范数空间：
• 日本括号表示为〈x〉=1+|x|2。
• 加权Lp,s(R)空间：Lp,s(R)={f(x)∈Lp(R)|〈x〉sf(x)∈Lp(R)}，其中范数‖f(x)∥Lp,s(R)=‖〈x〉sf(x)∥Lp(R)。
• Sobolev空间：Wk,p(R)={f(x)∈Lp(R)|?jf(x)∈Lp(R)，j=1,…,k}
• 加权Sobolev空间：Hk,s(R)=L^2,s(R)∩Hk(R)，Hk(R)=Wk,2(R)。
• Pauli矩阵σ1, σ2, σ3定义为σ1=(0110)，σ2=(0?ii0)，σ3=(100?1)。
• a?b，即存在一个常数c使得a≤cb。

Lax对的光谱分析
去聚焦五阶
静止相位点和签名表
在RH问题2.1的跳跃矩阵中出现的振荡指数e±2itθ(z)和相位函数θ(z)在长时间分析中起着关键作用。从（2.7）可以看出，θ(z)可以写为θ(z)=1/2(z?1/z)(xt?(z+1/z)^4?2(z+1/z)^2?6)。设ξ=x/(5t)。为了定位相位点，我们考虑θ′(z)=?5(z2+1)/2z2(z?+2z2+1/z?)。

命题3.1 相位点的分布
除了z=±i之外，还存在八个额外的相位点，它们的配置随ξ变化（见图3）。
• 对于ξ>6，四个相位点ξj（j=1,2,3,4）位于实轴上，表示为ξ4< />< /><ξ1，其中ξ1=?ξ4=1/ξ2=?1/ξ3。为了重新构造rh问题以分析靠近相位点ξj（j=1,2,3,4）的长时间渐近行为，我们首先将跳跃矩阵因式分解为j(z)={(1?r(z)ei2itθ(z)01)(10r(z)e?2itθ(z)1)，z∈qˉ，(10r(z)1?|r(z)|2e?2itθ(z)1)(1?|r(z)|20011?|r(z)|2)(1?r(z)^′)1?|r(z)|2e2itθ(z)01)，z∈q。其中qˉ=(?∞,ξ4)∪(ξ3,0)∪(0,ξ2)∪(ξ1,+∞)，q=(ξ4,ξ3)∪(ξ2,ξ1)。我们引入了一个正常数ρ=1/6min{mini≠j|ξi?ξj|，minkc

作者贡献声明
yu xiao：撰写——原始草稿。xing wu：撰写——审查与编辑。engui fan：监督。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

yu xiao | xing wu | engui fan ξ2=?1/ξ3。为了重新构造RH问题以分析靠近相位点ξj（j=1,2,3,4）的长时间渐近行为，我们首先将跳跃矩阵因式分解为J(z)={(1?r(z)ei2itθ(z)01)(10r(z)e?2itθ(z)1)，z∈Qˉ，(10r(z)1?|r(z)|2e?2itθ(z)1)(1?|r(z)|20011?|r(z)|2)(1?r(z)^′)1?|r(z)|2e2itθ(z)01)，z∈Q。其中Qˉ=(?∞,ξ4)∪(ξ3,0)∪(0,ξ2)∪(ξ1,+∞)，Q=(ξ4,ξ3)∪(ξ2,ξ1)。我们引入了一个正常数ρ=1/6min{mini≠j|ξi?ξj|，minkC 作者贡献声明 yu xiao：撰写——原始草稿。xing wu：撰写——审查与编辑。engui fan：监督。 利益冲突声明 作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。 yu xiao | xing wu | engui>
作者贡献声明
yu xiao：撰写——原始草稿。xing wu：撰写——审查与编辑。engui fan：监督。

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作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

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