具有单向化学突触的记忆电阻式神经网络中的能量分布

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Energy Distribution in Memristive Neuronal Networks with Unidirectional Chemical Synapses

　　**摘要**
能量分布决定了神经网络的同步模式。然而，由单向耦合调控的同步和能量分布仍然不清楚。在这里，我们研究了一个通过兴奋性单向化学突触耦合的忆阻性FitzHugh-Nagumo神经网络，并构建了规则链状、小世界和无标度网络。研究结果表明，这三种网络走向同步的路径不同。在规则链状网络中，同步从无序状态演变到间歇性同步，随着耦合强度的进一步增加，网络会去同步。然而，小世界网络显示出更稳定的同步过程，没有在同步和异步状态之间的复杂切换，而无标度网络则持续接近有序状态，但难以实现完全同步。此外，节点能量组织与膜电位演变密切相关，并且强烈依赖于网络拓扑结构。小世界网络显示出高斯分布的节点能量分布，而无标度网络则呈现幂律分布。进一步提出了能量波动因子（ecf）来评估同步过程中的能量波动，较大的ecf值表示能量重新分配的波动更强。具体来说，ecf在耦合强度变化时会出现峰值，然后迅速减小到非常小的值，这表明在无标度网络进入相对有序状态之前会发生强烈的能量波动。这些结果揭示了单向化学突触通过拓扑相关的能量分布来调控同步，并为复杂神经网络中基于能量的同步的可控性提供了见解。

**引言**
神经系统的行为对人工智能和类脑计算非常重要，神经放电动态仍然是许多数学模型的关键研究焦点，例如Hodgkin-Huxley模型和FitzHugh-Nagumo模型。FitzHugh-Nagumo神经元被广泛认为是研究神经兴奋性和指导类脑电路设计的典型低维模型。低维神经模型提供了相当的计算效率，但其简化形式可能无法完全表示内部记忆、环境适应性和复杂的放电转换。因此，引入了动态忆阻器设备和忆阻性神经模型来丰富神经动态并提高电路的可实现性。原始的FHN电路提供了神经兴奋的物理解释，而后续研究系统地阐明了其时空动态。从能量角度来看，基于电路的神经模型将电容性、电感性和忆阻性分支与场能量存储、恢复过程和离子通道调制联系起来。忆阻器进一步引入了状态依赖的导电性和非线性记忆，使得混沌放电、爆发和多种放电模式的共存成为可能。这些特性对于依赖于复杂时间模式的信息编码任务至关重要。此外，从等效电路实现的角度来看，电荷控制的忆阻器在某些条件下可以执行类似于电容器的功能。这一特性有助于实现类似于神经膜的集成特性，为简化神经电路构建和进一步完善系统的功能表示提供了物理基础。基于这一概念，Ma及其团队构建了一个双膜神经模型。此外，忆阻器是由内部状态变量控制的可变导电元件，可用于模拟离子通道。在本文采用的忆阻性FHN神经元模型中，嵌入的忆阻器表征了环境场对神经放电活动的调制效应。由于其状态依赖性，外部刺激对系统动态的影响变得可调节。然而，单个神经元无法独立执行复杂的任务处理。最近的网络级神经模型已被应用于生理节律生成和病理活动传播，进一步强调了神经元间相互作用在塑造集体动态中的重要性。这些任务也依赖于神经元间的相互作用，这种协作活动主要通过突触连接实现。

**突触**
突触通常可以分为化学突触和电突触。突触间隙中的离子流动遵循基本物理定律，涉及化学能转换为电能。化学突触依赖于单向神经递质的释放。尽管传输速度较慢，但在某些电路模型中，忆阻性化学突触耦合可能比电阻性电耦合消耗更少的能量。从动态建模的角度来看，突触耦合强度不一定仅由固定的物理连接参数表示，也可能表现为不同动态变量层次上的状态依赖的有效耦合函数。例如，耦合可以通过相位减少框架内的相位差函数来表征。在能量调节框架中，耦合强度可以随着神经元间的能量差异而适应性变化。这表明突触耦合不仅受网络拓扑的限制，还受到节点间相位关系、能量分布和集体动态状态的影响。从设备实现的角度来看，忆阻器可用于表征化学突触的记忆和可塑性。 mechanismically，化学突触中的离子传输和电荷重新分配类似于忆阻器的电阻状态演变机制，忆阻器权重的变化可以表征突触记忆和可塑性。Yao等人基于化学突触中的动作电位传输建立了一个化学突触模型，并证明了化学突触的非线性释放机制本质上包含了忆阻特性。为了表征生物突触的传输环境，进一步构建了一个液体忆阻器模型，在该模型中化学信号和电信号共存。在动态调节方面，不同类型的突触可以诱导爆炸性同步的显著差异，而化学突触中的时间延迟可以诱导和调节多重放电共振。电磁效应也被证明可以调节通过化学突触耦合的神经网络中的同步。上述大多数研究将化学突触简化为神经元间的成对耦合，未能充分探索单向传输和耦合不对称性的网络级效应。然而，许多生物神经系统和复杂的交互网络本质上是定向的，并表现出明显的不对称连接性。

**同步**
同步是神经网络和复杂系统中集体动态的重要体现。在神经网络同步的研究中，这种现象通常表现为状态变量（如膜电位）的一致性，或者表现为相位同步和能量同步。状态同步直接反映了神经放电活动的一致性程度，而相位同步有助于表征神经节律之间的协调。能量同步从能量交换、能量分布和能量波动的角度揭示了集体网络行为的内在机制。网络元素的属性、突触耦合的形式和网络拓扑共同决定了信号传播路径和集体动态模式。在神经网络中，化学突触的单向释放机制本质上产生了定向连接。早期研究已经开始关注单向网络中的同步，其中不对称相互作用使得同步更难实现。在复杂网络动态的更广泛背景下，Su等人发现单向连接不仅改变了节点间的相互作用关系，还可能通过局部结构模式和输入收敛机制调节集体网络行为。Restrepo等人将经典的Kuramoto模型扩展到大规模单向网络，并证明了方向性和耦合符号可以改变同步转换。广泛的研究进一步揭示了单向连接对集体动态行为的显著影响，包括定向网络同步、拓扑结构调节和突触耦合机制。层间耦合也可以在具有异构拓扑的多路复用神经网络中产生不同的同步行为。从更广泛的角度来看，忆阻性神经网络结合了非线性动态、内部记忆和电路可实现性，为研究受大脑启发的信息处理和集体动态提供了重要平台。在定向类脑系统中，网络拓扑不仅决定了信号传播路径，还决定了节点间的同步稳定性和能量组织。因此，明确单向突触传输和拓扑异质性对同步和能量演化的联合效应可以为选择人工神经阵列中的网络结构和耦合参数提供理论基础。特别是，确定同步阈值、稳定的耦合区间和能量异质性可能有助于根据不同任务要求构建具有特定集体和能量组织特征的类脑网络。然而，基于忆阻器的神经网络中单向传输和拓扑异质性对同步和能量演化的联合效应仍不清楚。因此，本文将忆阻性FHN神经元视为具有复杂放电和能量调制能力的网络节点，考虑了具有不对称、状态依赖耦合机制的单向兴奋性化学突触。通过比较在不同定向拓扑结构下获得的结果，我们研究了在单向化学突触影响下网络同步稳定性和能量组织的演变。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了单忆阻器FHN神经元模型、单向兴奋性化学突触耦合方案、网络动态模型和同步测量方法；第3节进行了数值模拟，首先分析了外部驱动频率对单个忆阻器神经元动态行为和能量演化的影响，然后研究了单向化学突触耦合下的忆阻器滞后特性，并比较了规则网络、小世界网络和无标度网络中同步行为、能量分布和能量波动的演变与耦合强度的关系；第4节总结了主要发现，并讨论了单向神经网络中同步的机制和能量组织特征。

**模型描述**
FHN模型保留了神经活动的基本快速-慢速动态结构，同时保持低维性，使其适用于大规模网络和跨多种拓扑的参数扫描。在本文中，孤立的神经元通过忆阻性FHN神经电路进行模拟，如图1所示。将忆阻器引入该模型的信号源分支可以构建可变的驱动信号，并产生比传统模型更丰富的放电行为。

**数值结果和讨论**
数值模拟在MATLAB平台上使用四阶Runge-Kutta算法进行，积分步长h = 0.01，总积分步数设为T = 200000。CR网络是确定性的，因此使用其固定拓扑进行计算。对于随机SW和SF拓扑，使用相同的构建参数生成了五个独立的网络实现。应用了相同的初始条件和动态参数。

**结论**
通过比较具有相同平均入/出度的三个定向网络，本研究揭示了由单向兴奋性化学突触引起的拓扑依赖的同步演变。规则链状网络在相对较低的耦合强度下实现了完全同步，但同步状态仍对耦合变化敏感。小世界网络需要更强的耦合，但发展出更稳定的有序状态。

**作者贡献声明**
Xie Ying：撰写——原始草稿、可视化、软件开发、资金获取、 Formal分析、数据管理、概念化；Jia Ya：撰写——审阅与编辑、资金获取、概念化；Yang Lijian：撰写——审阅与编辑、方法论、资金获取。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢**
本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号12175080）和中央高校基本研究经费（项目编号025CXZZ137）的支持，同时也得到了郴州师范学院自定研究经费（项目编号CCNU25JC012和XJ2026007201）的财政支持。

**作者信息**
Ying Xie | Ya Jia | Lijian Yang
中央师范学院物理系，中国武汉430079