离散与连续时间下部分观测多项式过程的最优线性滤波

《Stochastic Processes and their Applications》：Optimal linear filtering of partially observed polynomial processes in discrete and continuous time

　　

摘要本文致力于部分观测的多项式过程的滤波、平滑和预测。已知在线性高斯状态空间模型的较简单情况下，这些问题允许显式解。本研究的关键洞察在于，在线性滤波应用中，多项式过程及其离散时间对应物与共享前两阶矩的高斯过程无法区分。我们描述了这些多项式过程的高斯等价物的构建，并显式计算了离散时间和连续时间多项式过程的最优线性滤波器、预测器和平滑器。对高斯等价物的考虑也为多项式过程背景下的参数估计和线性二次最优控制打开了大门。

引言最优滤波、预测和平滑问题构成了具有部分观测的随机过程应用中的基础问题。在数理统计中，许多参数估计问题需要先验滤波未观测分量，以便能够使用最大似然或基于矩的估计方法。一般而言，这些问题不易求解，至少如果人们希望仅以适度的计算工作量获得最优解的话。关于一般线性和非线性滤波理论的入门，参见例如 [1],[2] 或 [3]。

然而，对于线性高斯状态空间模型和高斯 Ornstein–Uhlenbeck 过程，滤波问题的显式解由无处不在的 Kálmán 滤波器给出，参见例如 [4]。对于非高斯过程，情况就不那么明显了。作为一个例子，我们考虑数学金融中流行的 Heston 模型。

例 1.1（离散观测的 Heston 模型）假设股票的对数价格 Y(t) 及其随机平方波动率过程 v(t) 遵循 Heston 模型
dv(t) = κ(m ? v(t))dt + σ√v(t)dW^(1)(t),
dY(t) = (μ + (δ ? 1/2)v(t))dt + √v(t)dW^(2)(t),
其中 κ, m, σ ∈ (0, ∞) 以及 μ, δ ∈ ? 表示实参数，W^(1), W^(2) 是某个滤过概率空间 (Ω, ?, (?_t)_{t∈?+}, ?) 上的维纳过程，具有常数相关性 ρdt = d[W^(1), W^(2)](t)。假设仅在离散时刻 t_i ∈ ? 观测 Y(t)，而 v 不可观测。目标是根据观测值 Y(t_i), i=0,1,?,m，其中 m ∈ ?，估计 v(t)。这可以被视为一个滤波问题。

由于其可处理性，实践中人们通常关注线性滤波器，例如下述形式：
v?(t) = α + Σ_{i=1}^m γ(i)ΔY(t_i)
对于 m ∈ ?，具有某些确定性权重 γ(i), i=1,?,m 和 α，其中我们记 ΔY(t_i) := Y(t_i) ? Y(t_{i-1})。然而，上述表述在当前背景下意义不大，因为 v(t) 主要影响收益 ΔY(t_i) 的条件方差而不是其均值。相反，考虑以下形式的滤波器似乎更合理：
v?(t) = α + Σ_{i=1}^m γ(i)(ΔY(t_i))^2
或者
v?(t) = α + Σ_{i=1}^m β(i)ΔY(t_i) + Σ_{i=1}^m γ(i)(ΔY(t_i))^2，
它们在收益 ΔY(t_i) 上是二次的，或者等价地，在 (ΔY(t_i), (ΔY(t_i))^2), 1 ≤ i ≤ m 上是线性的。问题是如何最优地选择 α, β(i) 和 γ(i)（i ≤ m）以最小化均方误差 E((v?(t) ? v(t))^2)。如果 t_m = s < t，则称为最优预测问题。如果 s = t，该问题称为滤波问题，而 s > t 的情况通常称为最优平滑问题。

如上所述，一般滤波、预测和平滑问题在离散时间高斯状态空间模型和连续时间 Ornstein–Uhlenbeck 类型高斯过程中允许显式解。在这种情况下，已知优化器是观测值的确定性线性函数，因此它们分别平凡地与最优线性滤波器、预测器或平滑器重合。根据定义，线性滤波问题仅取决于所考虑过程的前两阶矩。这表明 Kálmán 滤波器是所有与高斯过程共享前两阶矩的系统的最优线性滤波器。最优预测和平滑问题也是如此。

乍一看，例 1.1 中的设置是否允许存在一个等价的高斯过程（在前两阶矩重合的意义上）可能并不明显。本文的主要洞察是，如果所考虑的过程是一个（可能时间非齐次的）多项式过程，那么这样的高斯等价物存在并且可以相当容易地确定。这类非常灵活的马尔可夫过程最近在金融数学和建模中受到了广泛关注。它的特征是这些过程的扩展无穷小生成元将多项式映射为次数不超过相同程度的多项式。这允许通过求解线性常微分方程（ODEs）组来计算整数矩，参见例如 [5], [6], [7], [8]。最重要的是，多项式过程包含仿射过程类作为子类，由于它们的灵活性和可处理性，在应用中起着主导作用，参见 [9]。特别是，上述 Heston 模型符合仿射过程的框架。

本文组织如下。在第 2 节中，我们涉及连续时间多项式过程并引入多项式状态空间模型的概念，如果多项式过程在时间上被离散采样，该模型自然出现。这些模型允许高斯等价物，即具有相同一阶和二阶矩的高斯过程，它们在第 3 节中引入。这开启了研究仅取决于模型前两阶矩的问题的大门。这特别适用于线性滤波、平滑和预测问题，这些将在第 4 节中研究。相关的参数估计问题在配套论文 [10] 中处理。进一步的应用，如多项式过程的线性二次控制，留给未来研究。

我们通常使用 [8] 中的记号。特别地，?={0,1,?} 和 ?*=??{0} 以及 x^λ := ∏_{j=1}^d x_j^{λ_j} 对于 x∈?^d 和 λ∈?^d。?^n_d 表示多重指标 λ 的集合，其中 |λ| := ∑_{j=1}^d λ_j ≤ n。对于 λ, μ∈?^d，如果 μ?λ∈?^d 我们写 λ ≤ μ，并且我们设定 (λ μ) := ∏_{j=1}^d (λ_j μ_j)。多重指标 1_j 定义为 (1_j)_k = 1{j=k}。最后，不带下标的 1 表示适当维度的由 1 组成的多重指标。我们写 Id 表示 ?^{d×d} 中的单位矩阵。我们使用记号 k:? 表示范围 k,k+1,?,k+?，例如 X_{1:d} := (X_1,?,X_d)。

章节摘要
多项式过程与状态空间模型
我们首先回顾（时间非齐次）连续时间多项式过程的性质。

多项式过程的高斯等价物
本节致力于构建均值和协方差函数与给定多项式过程匹配的高斯过程。它们构成了多项式模型的一个子类，众所周知，该子类在滤波问题、线性二次控制和参数估计中允许闭式解。我们从离散时间情况开始。

滤波、平滑和预测
本节致力于部分观测多项式过程的最优线性滤波、预测和平滑。我们令 I:=? 或 I:=?+ 并固定一个概率空间 (Ω,?,(?_t)_{t∈I},?) 以及一个 ?^d 值适应过程 X=(X(t))_{t∈I}。如果 I=?+，我们假设 (?_t)_{t∈I} 是右连续的。假设分量 X_{m+1}(t),?,X_d(t) 是可观测的，而 X_1(t),?,X_m(t) 不可观测。我们令下标 o 表示向量 x∈?^d 的可观测部分，并且令 H:=(δ_{m+i,j})_{i=1,?,d?m;j=1,?,d}，

Jan Kallsen|Ivo Richert
基尔基督教阿尔布雷希特大学数学研究所，Heinrich-Hecht-Platz 6，基尔，24118，德国