基于改进条带理论模型的浮动超高性能混凝土光伏模块运动响应及影响因素分析

《Marine Structures》：Motion response and influencing factors analysis of floating ultra-high performance concrete photovoltaic modules based on the modified strip theory model

　　

•常规二维切片理论被扩展至三维。
•进行了多元回归分析和精度优化。
•提出了等效截面方法以扩展理论模型。
•进行了敏感性分析，以提出固有频率优化方法。

1. 引言
随着全球能源结构的优化，风能、太阳能和波浪能等可再生清洁能源已成为能源开发与利用的焦点。海上可再生能源资源丰富，具有巨大的开发潜力。以风力涡轮机和光伏平台为例，除了海上固定结构外，目前主要有四种类型的海上浮动平台：駁船平台、单柱平台、半潜式平台和张力腿平台 [[1], [2], [3], [4], [5]]。其中，半潜式平台应用最广泛，技术也最成熟 [[6], [7], [8]]。在海上浮动平台的优化设计中，稳定性和水动力性能是关键评价指标，而水动力系数的准确计算在评估固有频率方面起着至关重要的作用。

在浮动平台的初步设计阶段，通常需要在设计参数空间内进行大量的试算和尺寸迭代 [6]。在水动力性能分析中平衡计算精度与效率，对于平台的初步优化具有重要意义 [[9], [10], [11], [12], [13]]。计算浮动平台水动力系数主要有四种方法：计算流体力学 (CFD)、势流理论、摩里森方程和切片理论。同时，CFD 和势流理论具有较高的计算精度，对结构几何形状的约束较少。尽管理论方法的计算成本相对较高 [[14], [15], [16], [17], [18]]，但这些理论方法目前仍是开源和商业软件中最常用的。摩里森方程和切片理论计算效率相对较高，通常适用于细长结构的水动力分析 [[19], [20], [21], [22], [23]]。C. Guedes Soares 等人利用商业软件 ANSYS AQWA 和现有的实验数据，对开发的系泊柔性结构水弹性行为数学模型进行了补充验证 [[24], [25], [26]]。鉴于上述情况，一些学者研究了半潜式平台组件间水动力系数的相互影响，并提出了简化计算方法。Takeshi Ishihara 等人对半潜式平台组件水动力系数的相互作用进行了定量分析。通过实验验证，他们推导出了频率相关修正因子的经验公式，并证明了附加质量修正因子与频率之间的弱相关性 [[27], [28], [29]]。V. Vengatesan 等人对不同截面尺寸矩形立柱在水箱试验下的水动力系数进行了研究，并将结果表示为 KC 数的函数。同样发现了附加质量与 KC 数之间的弱相关性 [30]。基于 Ir. J. H. Vugts [23] 的研究，Michael E. McCormick 等人探讨了二维切片理论在矩形截面浮体上的应用，并提供了水动力系数的经验公式 [31]。刘应中等学者利用纵剖和横剖切片研究了箱形船的水动力特性，并通过对比验证了该理论的可行性 [32]。李青梅等学者通过将二维切片理论应用于超大型半潜式平台，推导出了水动力系数的简化公式并验证了其精度 [33]。受上述学者研究的启发，为了在半潜式平台初步设计阶段获得高精度的固有频率，本文将常规的二维切片理论扩展至三维。附加质量的计算精度得到了进一步提高，在一定程度上解决了计算精度与效率之间的权衡。

海上浮动平台传统使用的材料是钢材，具有轻量化和高强度的显著优势。然而，它在海洋环境中耐腐蚀性较差，且铸造、施工以及后续运营维护成本相对较高。钢筋混凝土和预应力钢筋混凝土具有高耐腐蚀性、成熟的施工技术和低维护成本等优势，逐渐作为替代材料出现并进入研究社区的焦点 [[34], [35], [36], [37], [38]]。然而，混凝土抗拉强度较差，通常带裂缝工作。在海洋环境中，这可能导致钢筋腐蚀， adversely 影响平台的使用寿命。超高性能混凝土 (UHPC) 具有高密度和密实性，比普通混凝土具有更优异的耐腐蚀性，以及更高的强度，使其成为替代钢材和普通混凝土的新兴材料 [[39], [40], [41]]。通过假设 UHPC 在多柱式半潜式光伏平台中的质量分布，本文定量估算了尺寸影响固有频率的趋势和规律。

本研究提出了一种修正的正交切片理论模型，用于快速计算多柱式半潜式平台的附加质量和固有频率，详细推导见第 2 节。在第 3 节中，通过改变立柱截面尺寸、立柱间距、吃水深度和立柱截面类型等几何参数，将理论模型结果与商业软件 ANSYS AQWA 进行了比较。基于多元线性回归，得出了垂荡和横摇方向的修正系数，得出了多柱式半潜式平台在几何参数空间内附加质量的趋势和函数表达式。在第 4 节中，通过估算 UHPC 半潜式光伏模块的质量参数，确定了其垂荡和横摇方向的固有频率，进一步揭示了描述固有频率与几何尺寸之间关系的规律和表达式。最后，第 5 节提出了本研究的总结和结论。通过上述研究，本研究解决了平台水动力系数计算中计算精度与成本之间的权衡。开发了一种多柱式半潜式平台固有频率的计算方法，为初步设计阶段尺寸的快速优化和避免与波浪共振提供了理论依据。

2. 修正的正交切片理论
当浮动平台在六个自由度（即纵荡、横荡、垂荡、横摇、纵摇和艏摇 [42]）中运动时，如图 1 所示，立柱的运动可以表示为多种简单运动模式的叠加。以本研究涉及的 4 立柱半潜式平台为例，见图 2，下面将详细介绍修正的正交切片理论模型的推导。

图 1. 浮动平台的 6 个自由度 [42]。
图 2. 浮动平台示意图 ((a) 显示方形截面立柱；(b) 显示圆形截面立柱)。

2.1. 理论模型推导
在推导多柱式半潜式平台附加质量的正交切片理论模型时，做出以下假设：
(1) 仅在平衡位置附近发生轻微振动；
(2) 平台水下部分内的每个切片单元在积分方向上不相互干扰；
(3) 每个立柱上的切片单元之间没有干扰。
由于本研究主要探索 4 立柱半潜式平台在垂荡、横摇和纵摇方向的固有频率，附加质量的推导也侧重于这三个自由度。

1. 垂荡运动
如图 3 所示，当发生垂荡运动时，浮动平台将沿 Z 轴方向产生位移 ??Z、速度 ˙??Z 和加速度 ¨??Z。水下部分可以垂直于 X 轴方向（或 Y 轴方向，由于平台对称，两个方向相同）进行切片。

图 3. 垂荡运动的切片单元。
基于常规切片理论 [[20], [21], [22], [23], 32, 33]，浮动平台由于垂荡运动产生的附加质量为：
(1) ??33=??33?/¨????=(??+??)/2∫(?????)/2????????33?/¨????=(??+??)/2∫(?????)/2?????(2???)13?¨????????/¨????=(??+??)/2∫(?????)/2?????*????????????¨????????/¨????=?????*????????2???
(2) ??(2???)13=??*???????????
其中 ??33 是垂荡运动的附加质量；??33 是垂荡运动的附加惯性力；k 是浮动平台的立柱数量；??(2???)13 是沿纵向方向（即 X 轴方向）切片并垂直运动（即 Z 轴方向）立柱的二维附加质量系数 [33, 43, 44]；??*?? 是系数，此处 ??*??=??*???(??/??) [33, 43, 44]，具体数值将在后文提供；ρ 是水的密度，一般取 1.025×10^3 kg/m^3。
此处，定义了立柱切片单元的二维附加质量系数 ??(2???)????? [33, 43, 44]。它代表无限流体中矩形截面的二维附加质量系数，其中下标 i 表示切片单元的法向方向，下标 j 表示运动方向。

2. 横摇运动
根据图 4，当浮动平台发生横摇运动时，它将围绕 X 轴在原平衡位置附近旋转，产生旋转位移 ????、角速度 ˙???? 和角加速度 ¨????。平台上每个立柱的运动可以分解为两个分量：一个是沿 Y 轴方向的横向运动，另一个是沿 Z 轴方向的垂直运动。加速度的分布分别如图 4(a) 和图 4(b) 所示。相应地，对平台立柱的水下部分采用两种切片方向：垂直于 Z 轴切片和垂直于 Y 轴切片。

图 4. 横摇运动的切片单元。
沿 Y 轴方向横向运动分量产生的附加质量：
(3) ????44=????44/¨????=0∫??????????44/¨????=0∫????????(2???)32?(???)?¨????·(???)·????/¨????=0∫????????*????????2???2?¨????????/¨????=?????*????????2???3/3
(4) ??(2???)32=??*????????2
其中 ????44 是由横向（即 Y 轴方向）运动分量引起的附加质量；????44 是由横向（即 Y 轴方向）运动分量引起的附加惯性矩；此处 ??*??=??*???(??/??) [33, 43, 44]。
沿 Z 轴方向垂直运动分量产生的附加质量：
(5) ????44=????44/¨????=(??+??)/2∫(?????)/2???????44/¨????=(??+??)/2∫(?????)/2?????(2???)23????¨????·??·????/¨????=(??+??)/2∫(?????)/2?????*??????????????2?¨????????/¨????=?????*????????2???2???/4+?????*????????4???/12
其中 ????44 是由垂直（即 Z 轴方向）运动分量引起的附加质量；????44 是由垂直（即 Z 轴方向）运动分量引起的附加惯性矩。
因此，横摇运动的总附加质量可以获得为：
(6) ??44=????44+????44=?????*????????2???3/3+?????*????????2???2???/4+?????*????????4???/12
其中 ??44 是横摇运动的附加质量。
由于浮动平台对称，此处不再重复推导其纵摇附加质量。

2.2. 二维附加质量系数
综上所述，上述切片单元的二维附加质量系数可以整合，如表 1 所示。

表 1. 二维附加质量系数 [33, 43, 44]。
| 符号 | 方向 | 表达式 | 值 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| ??(2???)31 | ⊥Z?X | ??(2???)31=??*????????2 | ??*??=??*???(??/??) |
| ??(2???)32 | ⊥Z?Y | ??(2???)32=??*????????2 | ??*??=??*???(??/??) |
| ??(2???)13 | ⊥X?Z | ??(2???)13=??*??????????? | ??*??=??*???(??/??) |
| ??(2???)23 | ⊥Y?Z | ??(2???)23=??*??????????? | ??*??=??*???(??/??) |

⊥ 表示垂直于切片单元的方向，与切片单元的法向方向一致；? 表示切片单元的运动方向。
??*?? 是与切片单元尺寸相关的系数 [33, 43, 44]，基于现有研究，可以通过无量纲参数 b/a 进行回归分析估算，如下文图 5 所示。
(7) ??*??=1.186?(??/??)(?0.875)

图 5. ??*?? 的回归分析。
如上图中图 5 所示，拟合函数与经验值 [43, 44] 非常吻合，调整后的 R 平方值为 0.99,952。
基于上述，4 立柱半潜式平台由于垂荡和横摇运动产生的附加质量可以总结如表 2 所示。

表 2. 垂荡和横摇运动的附加质量。
| 分量 | 表达式 |
| :--- | :--- |
| ??33 | ??33=1.186???????(??/??)(?0.875)???2??? |
| ??44 | ??44=1.186?(13?????????2???3+14???????(??/??)(?0.875)???2???2???+112???????(??/??)(?0.875)???4???) |

3. 模型系数修正
3.1. 参数空间设计
本研究涉及的多柱式半潜式平台尺寸参数包括：立柱截面边长 a；立柱间距 w，吃水深度 d，以及立柱截面类型。这些变量彼此独立，参数空间使用控制变量法设置。同时，还有一些可以从独立参数推导出的相关参数，例如总排水体积（或总质量）、质量分布特征（即转动惯量、重心坐标等）和浮心坐标，控制变量法不适用于这些参数 [6]。
以 4 立柱半潜式平台作为参考模型 [45]，命名为 F-a1.5-w4-d1，参数设置见表 3、表 4、表 5。其他模型是基于此调整单个参数开发的。

表 3. 基准模型的几何参数。
| 参数 | 符号 | 单位 | 值 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 立柱截面类型 | - | - | 方形截面 |
| 立柱截面边长 | a | m | 1.5 |
| 立柱间距 | w | m | 4 |
| 吃水深度 | d | m | 1 |

表 4. 基准模型的质量分布特征。
| 参数 | 符号 | 单位 | 值 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 质量 | M | kg | 9225 |
| 重心坐标 (x, y, z) | | m | (0, 0, 0) |
| 转动惯量 | Ixx | kg·m^2 | 50,000 |
| | Iyy | kg·m^2 | 50,000 |
| | Izz | kg·m^2 | 100,000 |

表 5。

基准模型的环境参数。
参数 单位 值
水深 m 15
水域边缘 m 500
频率范围 rad/s 0.02-9.3765
频率间隔 rad/s 0.09451

本文研究的样本可分为四类：仅改变立柱截面边长 a，范围为 0.5m-2.5 m，间隔为 0.2 m；改变立柱间距 w，参数范围为 2.5m-6 m，间隔为 0.5 m；改变吃水深度 d，参数范围为 0.5m-1.5 m，间隔为 0.2 m；将立柱截面类型改为圆形，不改变特征尺寸或面积，圆形截面直径为 1.5 m 或面积为 2.25m2。

本研究采用商业软件 ANSYS AQWA [46] 计算浮动平台的附加质量和固有频率，旨在对本文提出的正交条带理论进行系数修正和准确性验证。AQWA 中采用线性势流理论进行辐射分析，即计算由浮体自身运动引起的载荷。浮体周围流体流场的速度势由三个部分组成：入射、绕射和辐射波势 [46]。
(8) ???(→??)????????????=[(??1+????)+6∑??=1????????????]????????????
这里，??????? 表示浮体单位振幅运动引起的辐射波势 [46]。
辐射波势可以用实部和虚部表示 [46]：
(9) ??????????=??????????∫??0????????(→??)?????????=??????????∫??0{??????[????????(→??)]+?????????[????????(→??)]}?????????=??????∫??0??????[????????(→??)]???????????????????∫??0??????[????????(→??)]?????????=??2????????+?????????????
这里，Ajk 表示浮体的附加质量 [46]。
(10) ???????=?????∫??0??????[????????(→??)]?????????
通过拉普拉斯方程和适当的边界条件求解 [46]。

在修正理论模型系数之前，必须验证 AQWA 水动力系数计算的准确性。实验数据来自 Ir. J. H. VUGTS 于 1968 年测量的不同截面类型圆柱体的水动力系数 [23]（其中横荡和垂荡的振幅分别为 0.01 m、0.02 m 和 0.03 m，横摇为 0.05 rad、0.10 rad 和 0.20 rad）。OpenFOAM 模拟数据源自 LUCA BONFIGLIO 等人于 2012 年发表的论文 [47]。考虑到此处研究的半潜式平台的立柱尺寸，采用了 LUCA BONFIGLIO 等人选择的宽吃比均为 2 的相同圆形截面和矩形截面圆柱体。相应的水动力系数如图 6、图 7 所示。
下载：下载高分辨率图像 (413KB)
下载：下载全尺寸图像
图 6. 圆形截面的附加质量。
下载：下载高分辨率图像 (676KB)
下载：下载全尺寸图像
图 7. 矩形截面的附加质量。

如上图所示，除了因实验不准确导致的低频范围（???√??/2???<0.50）偏差，以及在横摇引起的附加质量测试中整个频率范围内的测量低估 [23] 之外，本研究获得的结果与实验数据和 OpenFOAM 模拟结果均吻合良好，表明使用 AQWA 进行水动力系数计算具有很高的准确性。

3.2 修正系数回归

本研究目前未考虑浮动平台系泊系统的影响（如果包含，可简化为六自由度弹簧系统，并与静水刚度并行计算）。
根据表 2，多立柱半潜式平台的附加质量可以表示为几何参数的函数。由于二维条带理论固有的局限性以及系数 ??*?? 适用性的限制，本研究将常规条带理论扩展为三维框架。在保留多项式形式的同时，采用多元线性回归来修正系数，从而提高计算精度。
基于上述分析，4 立柱半潜式平台垂荡和横摇方向的附加质量多项式表达式可简化如表 6 所示：
表 6. 垂荡和横摇运动的简化附加质量
分量 表达式
??33 ??33=??3?(??/??)(?0.875)???2???+??3
??44 ??44=??14???2???3+??24?(??/??)(?0.875)???2???2???+??34?(??/??)(?0.875)???4???+??4
注：?????? 为多项式系数；???? 为常数项。

如前所述，对平台固有频率（图 8）对应的附加质量进行了回归分析，该频率由 AQWA [46,48] 确定，同时变化立柱截面边长 a、立柱间距 w 和吃水深度 d。
下载：下载高分辨率图像 (189KB)
下载：下载全尺寸图像
图 8. 附加质量提取 (F-a1.5-w4-d1)。

以下文本将分别展示平台横摇和横摇方向附加质量回归分析的数据和结果。
1. 垂荡运动
垂荡附加质量回归分析结果如下：
(11) ??33=??3?(??/??)(?0.875)???2???+??3
??3=725.50
??3=977.67

如图 9 所示，平台垂荡附加质量的回归结果良好，调整后的 R2 值为 0.91,337。特别是，误差的主要来源在于常规二维条带理论的固有局限性，该理论未能考虑单个立柱条带之间的水动力相互作用。因此，多项式缺乏考虑立柱间距 w 影响的项，导致拟合结果存在一定偏差。
2. 横摇运动
下载：下载高分辨率图像 (533KB)
下载：下载全尺寸图像
图 9. 垂荡运动附加质量回归。

在进行横摇固有频率对应的附加质量回归分析时，固有频率不仅受静水刚度和附加质量影响，还与平台本身的質量分布特征 Ixx 密切相关。基于图 8，可以得出结论，平台的横摇附加质量与频率的相关性较弱。为了消除质量相关参数的影响，使用最小二乘法将附加质量近似为与频率无关的常数值。
如图 10 所示，求解得到的附加质量与固有频率的值基本一致。
下载：下载高分辨率图像 (958KB)
下载：下载全尺寸图像
图 10. 横摇运动附加质量求解。

横摇附加质量回归分析结果如下：
(12) ??44=??14???2???3+??24?(??/??)(?0.875)???2???2???+??34?(??/??)(?0.875)???4???+??4
??14=415.15
??24=358.44
??34=37.66
??4=47.15

由上述方程可知，横摇附加质量可以表示为立柱截面边长 a、立柱间距 w 和吃水深度 d 的多变量函数。为了更直观地展示参数空间中的变化模式，通过独立变量的配对组合绘制了曲面，如图 11 所示。选择参数值时，确保 a下载：下载高分辨率图像 (1mb)
下载：下载全尺寸图像
图 11. 横摇运动附加质量回归。

如图 11 所示，平台横摇附加质量的回归分析结果极佳，并与势流理论高度一致，调整后的 r2 值为 0.99,982。

3.3 敏感性分析

基于上述回归结果，对修正正交条带理论获得的结果与势流理论以及常规二维条带理论的结果进行了对比分析。2d_a33、2d(z)_a44 和 2d(y)_a44 代表二维条带理论的结果，其中 (z) 和 (y) 分别表示垂直于 z 轴和 y 轴的条带元素。
1. 立柱截面边长 a
如图 12 所示，当变化立柱截面边长 a 时，该理论模型获得的平台垂荡和横摇附加质量与势流理论吻合良好。平台附加质量 a33 和 a44 随边长 a 的增加而增加，且增加速率逐渐加快，这些特征在该理论模型中被准确捕捉。
下载：下载高分辨率图像 (379kb)
下载：下载全尺寸图像
图 12. a 对附加质量的影响。

2. 立柱间距 w
如图 13 所示，当变化立柱间距 w 时，该理论模型获得的垂荡附加质量与势流理论存在一定偏差。如前所述，这种偏差源于常规二维条带理论的局限性。该理论模型获得的附加质量 a44 与势流理论吻合良好。随着间距 w 的增加，附加质量 a44 呈现出稳定的增长趋势，这在该理论模型中得到了很好的体现。
下载：下载高分辨率图像 (411kb)
下载：下载全尺寸图像
图 13. w 对附加质量的影响。

3. 吃水深度 d
如图 14 所示，当改变吃水深度 d 时，该理论模型获得的垂荡和横摇附加质量与势流理论具有较高的一致性。随着吃水 d 逐渐增加，附加质量 a33 和 a44 表现出相对稳定的特征，变化较小，这在该理论模型中得到了很好的体现。
下载：下载高分辨率图像 (368kb)
下载：下载全尺寸图像
图 14. d 对附加质量的影响。

综上所述，常规二维条带理论不适用于长宽比接近 1 的浮体，其结果与 aqwa 存在显著差异。如图 12 所示，只有当立柱截面边长 a 足够小，即结构细长时，常规条带理论才具有合理的准确性。本研究提出的修正正交条带理论模型，在一定程度上增强了常规理论的适用性。
4. 立柱截面类型
如图 15 所示，当保持立柱的特征尺寸一致时，即保持方形截面边长与圆形截面直径相同时，圆形立柱平台的垂荡和横摇方向的附加质量约为方形立柱的 70%。反之，当保持立柱截面积一致时，两者的附加质量基本相同。因此，在估算平台附加质量时，圆形立柱可等效视为截面积相同的方形立柱。
下载：下载高分辨率图像 (493kb)
下载：下载全尺寸图像
图 15. 截面类型对附加质量的影响。

4. 结果讨论与设计方法
4.1 结果讨论

本节主要考察该理论模型，即修正正交条带理论模型，在频率计算方面的准确性。目前阶段未考虑平台质量分布对固有频率的影响（关于质量分布影响的定量研究将在下一节中展示）。
基于图 16，该理论模型预测的平台固有频率与势流理论吻合良好。然而，对于垂荡运动，当立柱截面边长 a 较小时，计算误差相对较大，表明仍有进一步改进的空间。
下载：下载高分辨率图像 (414kb)
下载：下载全尺寸图像
图 16. 固有频率对比。

如前所述，2d_frez、2d(z)_frerx 和 2d(y)_frerx 代表二维条带理论的结果，其中 (z) 和 (y) 分别表示垂直于 z 轴和 y 轴的条带元素。
1. 立柱截面边长 a
如图 17 所示，在垂荡方向上，当立柱截面边长 a 较大时，该理论模型预测的固有频率与势流理论密切相关。当边长 a 较小时，平台质量相对较小放大了相对误差，从而影响计算精度。在横摇方向上，该理论模型与势流理论对应良好。
下载：下载高分辨率图像 (378kb)
下载：下载全尺寸图像
图 17. a 对固有频率的影响。

2. 立柱间距 w
如图 18 所示，当变化立柱间距 w 时，在垂荡和横摇方向上，该理论模型预测的固有频率与势流理论显示出优异的吻合度。在垂荡方向上，尽管常规条带理论无法充分解释间距 w 的影响，但固有频率的估计仍然相对准确。
下载：下载高分辨率图像 (400kb)
下载：下载全尺寸图像
图 18. w 对固有频率的影响。

3. 吃水深度 d
如图 19 所示，当改变吃水深度 d 时，在垂荡和横摇方向上，该理论模型预测的固有频率与势流理论保持优异的一致性，忠实地复现了垂荡固有频率随吃水 d 增加而逐渐降低的趋势。
下载：下载高分辨率图像 (362kb)
下载：下载全尺寸图像
图 19. d 对固有频率的影响。

4.2 设计方法

浮动平台在垂荡方向的質量 mz 仅取决于其排水体积，而横摇方向的转动惯量 ixx 与质量分布密切相关。因此，本研究对半潜式 uhpc 光伏模块的转动惯量 ixx 进行了简化假设，如图 20 所示：
下载：下载高分辨率图像 (443kb)
下载：下载全尺寸图像
图 20. a≥w 时计算范围的结果无意义，而当立柱间距过窄时结果可能不准确，以下同理。通常，实际半潜式平台的设计不会遇到上述问题。 下载：下载高分辨率图像 (1mb) 下载：下载全尺寸图像 图 11. 横摇运动附加质量回归。 如图 11 所示，平台横摇附加质量的回归分析结果极佳，并与势流理论高度一致，调整后的 r2 值为 0.99,982。 3.3 敏感性分析 基于上述回归结果，对修正正交条带理论获得的结果与势流理论以及常规二维条带理论的结果进行了对比分析。2d_a33、2d(z)_a44 和 2d(y)_a44 代表二维条带理论的结果，其中 (z) 和 (y) 分别表示垂直于 z 轴和 y 轴的条带元素。 1. 立柱截面边长 a 如图 12 所示，当变化立柱截面边长 a 时，该理论模型获得的平台垂荡和横摇附加质量与势流理论吻合良好。平台附加质量 a33 和 a44 随边长 a 的增加而增加，且增加速率逐渐加快，这些特征在该理论模型中被准确捕捉。 下载：下载高分辨率图像 (379kb) 下载：下载全尺寸图像 图 12. a 对附加质量的影响。 2. 立柱间距 w 如图 13 所示，当变化立柱间距 w 时，该理论模型获得的垂荡附加质量与势流理论存在一定偏差。如前所述，这种偏差源于常规二维条带理论的局限性。该理论模型获得的附加质量 a44 与势流理论吻合良好。随着间距 w 的增加，附加质量 a44 呈现出稳定的增长趋势，这在该理论模型中得到了很好的体现。 下载：下载高分辨率图像 (411kb) 下载：下载全尺寸图像 图 13. w 对附加质量的影响。 3. 吃水深度 d 如图 14 所示，当改变吃水深度 d 时，该理论模型获得的垂荡和横摇附加质量与势流理论具有较高的一致性。随着吃水 d 逐渐增加，附加质量 a33 和 a44 表现出相对稳定的特征，变化较小，这在该理论模型中得到了很好的体现。 下载：下载高分辨率图像 (368kb) 下载：下载全尺寸图像 图 14. d 对附加质量的影响。 综上所述，常规二维条带理论不适用于长宽比接近 1 的浮体，其结果与 aqwa 存在显著差异。如图 12 所示，只有当立柱截面边长 a 足够小，即结构细长时，常规条带理论才具有合理的准确性。本研究提出的修正正交条带理论模型，在一定程度上增强了常规理论的适用性。 4. 立柱截面类型 如图 15 所示，当保持立柱的特征尺寸一致时，即保持方形截面边长与圆形截面直径相同时，圆形立柱平台的垂荡和横摇方向的附加质量约为方形立柱的 70%。反之，当保持立柱截面积一致时，两者的附加质量基本相同。因此，在估算平台附加质量时，圆形立柱可等效视为截面积相同的方形立柱。 下载：下载高分辨率图像 (493kb) 下载：下载全尺寸图像 图 15. 截面类型对附加质量的影响。 4. 结果讨论与设计方法 4.1 结果讨论 本节主要考察该理论模型，即修正正交条带理论模型，在频率计算方面的准确性。目前阶段未考虑平台质量分布对固有频率的影响（关于质量分布影响的定量研究将在下一节中展示）。 基于图 16，该理论模型预测的平台固有频率与势流理论吻合良好。然而，对于垂荡运动，当立柱截面边长 a 较小时，计算误差相对较大，表明仍有进一步改进的空间。 下载：下载高分辨率图像 (414kb) 下载：下载全尺寸图像 图 16. 固有频率对比。 如前所述，2d_frez、2d(z)_frerx 和 2d(y)_frerx 代表二维条带理论的结果，其中 (z) 和 (y) 分别表示垂直于 z 轴和 y 轴的条带元素。 1. 立柱截面边长 a 如图 17 所示，在垂荡方向上，当立柱截面边长 a 较大时，该理论模型预测的固有频率与势流理论密切相关。当边长 a 较小时，平台质量相对较小放大了相对误差，从而影响计算精度。在横摇方向上，该理论模型与势流理论对应良好。 下载：下载高分辨率图像 (378kb) 下载：下载全尺寸图像 图 17. a 对固有频率的影响。 2. 立柱间距 w 如图 18 所示，当变化立柱间距 w 时，在垂荡和横摇方向上，该理论模型预测的固有频率与势流理论显示出优异的吻合度。在垂荡方向上，尽管常规条带理论无法充分解释间距 w 的影响，但固有频率的估计仍然相对准确。 下载：下载高分辨率图像 (400kb) 下载：下载全尺寸图像 图 18. w 对固有频率的影响。 3. 吃水深度 d 如图 19 所示，当改变吃水深度 d 时，在垂荡和横摇方向上，该理论模型预测的固有频率与势流理论保持优异的一致性，忠实地复现了垂荡固有频率随吃水 d 增加而逐渐降低的趋势。 下载：下载高分辨率图像 (362kb) 下载：下载全尺寸图像 图 19. d 对固有频率的影响。 4.2 设计方法 浮动平台在垂荡方向的質量 mz 仅取决于其排水体积，而横摇方向的转动惯量 ixx 与质量分布密切相关。因此，本研究对半潜式 uhpc 光伏模块的转动惯量 ixx 进行了简化假设，如图 20 所示： 下载：下载高分辨率图像 (443kb) 下载：下载全尺寸图像 图>下载：下载高分辨率图像 (1mb)
下载：下载全尺寸图像
图 11. 横摇运动附加质量回归。

如图 11 所示，平台横摇附加质量的回归分析结果极佳，并与势流理论高度一致，调整后的 r2 值为 0.99,982。

3.3 敏感性分析

基于上述回归结果，对修正正交条带理论获得的结果与势流理论以及常规二维条带理论的结果进行了对比分析。2d_a33、2d(z)_a44 和 2d(y)_a44 代表二维条带理论的结果，其中 (z) 和 (y) 分别表示垂直于 z 轴和 y 轴的条带元素。
1. 立柱截面边长 a
如图 12 所示，当变化立柱截面边长 a 时，该理论模型获得的平台垂荡和横摇附加质量与势流理论吻合良好。平台附加质量 a33 和 a44 随边长 a 的增加而增加，且增加速率逐渐加快，这些特征在该理论模型中被准确捕捉。
下载：下载高分辨率图像 (379kb)
下载：下载全尺寸图像
图 12. a 对附加质量的影响。

2. 立柱间距 w
如图 13 所示，当变化立柱间距 w 时，该理论模型获得的垂荡附加质量与势流理论存在一定偏差。如前所述，这种偏差源于常规二维条带理论的局限性。该理论模型获得的附加质量 a44 与势流理论吻合良好。随着间距 w 的增加，附加质量 a44 呈现出稳定的增长趋势，这在该理论模型中得到了很好的体现。
下载：下载高分辨率图像 (411kb)
下载：下载全尺寸图像
图 13. w 对附加质量的影响。

3. 吃水深度 d
如图 14 所示，当改变吃水深度 d 时，该理论模型获得的垂荡和横摇附加质量与势流理论具有较高的一致性。随着吃水 d 逐渐增加，附加质量 a33 和 a44 表现出相对稳定的特征，变化较小，这在该理论模型中得到了很好的体现。
下载：下载高分辨率图像 (368kb)
下载：下载全尺寸图像
图 14. d 对附加质量的影响。

综上所述，常规二维条带理论不适用于长宽比接近 1 的浮体，其结果与 aqwa 存在显著差异。如图 12 所示，只有当立柱截面边长 a 足够小，即结构细长时，常规条带理论才具有合理的准确性。本研究提出的修正正交条带理论模型，在一定程度上增强了常规理论的适用性。
4. 立柱截面类型
如图 15 所示，当保持立柱的特征尺寸一致时，即保持方形截面边长与圆形截面直径相同时，圆形立柱平台的垂荡和横摇方向的附加质量约为方形立柱的 70%。反之，当保持立柱截面积一致时，两者的附加质量基本相同。因此，在估算平台附加质量时，圆形立柱可等效视为截面积相同的方形立柱。
下载：下载高分辨率图像 (493kb)
下载：下载全尺寸图像
图 15. 截面类型对附加质量的影响。

4. 结果讨论与设计方法
4.1 结果讨论

本节主要考察该理论模型，即修正正交条带理论模型，在频率计算方面的准确性。目前阶段未考虑平台质量分布对固有频率的影响（关于质量分布影响的定量研究将在下一节中展示）。
基于图 16，该理论模型预测的平台固有频率与势流理论吻合良好。然而，对于垂荡运动，当立柱截面边长 a 较小时，计算误差相对较大，表明仍有进一步改进的空间。
下载：下载高分辨率图像 (414kb)
下载：下载全尺寸图像
图 16. 固有频率对比。

如前所述，2d_frez、2d(z)_frerx 和 2d(y)_frerx 代表二维条带理论的结果，其中 (z) 和 (y) 分别表示垂直于 z 轴和 y 轴的条带元素。
1. 立柱截面边长 a
如图 17 所示，在垂荡方向上，当立柱截面边长 a 较大时，该理论模型预测的固有频率与势流理论密切相关。当边长 a 较小时，平台质量相对较小放大了相对误差，从而影响计算精度。在横摇方向上，该理论模型与势流理论对应良好。
下载：下载高分辨率图像 (378kb)
下载：下载全尺寸图像
图 17. a 对固有频率的影响。

2. 立柱间距 w
如图 18 所示，当变化立柱间距 w 时，在垂荡和横摇方向上，该理论模型预测的固有频率与势流理论显示出优异的吻合度。在垂荡方向上，尽管常规条带理论无法充分解释间距 w 的影响，但固有频率的估计仍然相对准确。
下载：下载高分辨率图像 (400kb)
下载：下载全尺寸图像
图 18. w 对固有频率的影响。

3. 吃水深度 d
如图 19 所示，当改变吃水深度 d 时，在垂荡和横摇方向上，该理论模型预测的固有频率与势流理论保持优异的一致性，忠实地复现了垂荡固有频率随吃水 d 增加而逐渐降低的趋势。
下载：下载高分辨率图像 (362kb)
下载：下载全尺寸图像
图 19. d 对固有频率的影响。

4.2 设计方法

浮动平台在垂荡方向的質量 mz 仅取决于其排水体积，而横摇方向的转动惯量 ixx 与质量分布密切相关。因此，本研究对半潜式 uhpc 光伏模块的转动惯量 ixx 进行了简化假设，如图 20 所示：
下载：下载高分辨率图像 (443kb)
下载：下载全尺寸图像
图 20.>

质量分布假设。本节提出了关于四柱式半潜式超高性能混凝土（UHPC）光伏模块质量分布的两个极端假设：一种基于水配重估算转动惯量，此时浮心与重心重合；另一种估算了极端情况，即 UHPC 配重完全集中在柱体底部，此时重心位于静水面以下约 0.8d 处。表 7 显示了平台回复刚度和质量特性的估算参数：

表 7. 回复刚度和质量特性参数 [33,42]。

| 组件 | 表达式 | 备注 |
| :--- | :--- | :--- |
| K33 | 4ρga2 | - |
| Mz | 4ρa2d | - |
| K44 | ρg(a?/3+a2w2) | 水配重 |
| | ρg(a?/3+a2w2+6a2d2/5) | 极端 UHPC 配重 |
| Ixx | ρa2d(a2/3+w2+4d2/3) | 水配重 |
| | ρa2d(a2/3+w2+196d2/75) | 极端 UHPC 配重 |

浮动平台的固有频率可以通过运动方程确定。波浪周期通常在 3 秒至 20 秒之间，对应的频率在 0.05 Hz 至 0.33 Hz 之间（弧度频率在 0.314 rad/s 至 2.094 rad/s 之间）[48,49]。避开这一频率范围有助于在一定程度上缓解强迫振动。

对于尺寸较小的半潜式光伏模块，提高固有频率是防止与波浪频率共振的一种方法。从图 17(a) 和图 21 可以看出，改变柱截面边长 a 的效果相对较弱，而减小吃水深度 d 对提高平台垂荡固有频率有显著影响。

下载：下载高分辨率图片 (702KB)
下载：下载全尺寸图片
图 21. 垂荡固有频率。

从图 22 和图 23 可以看出，当假设半潜式 UHPC 光伏模块的重心位于浮心处或以下时，两种质量分布假设下平台的横摇固有频率曲面几乎相同。综上所述，改变柱截面边长 a 或柱间距 w 的影响相对较小，而减小吃水深度 d 对提高平台横摇固有频率有显著影响。

下载：下载高分辨率图片 (1MB)
下载：下载全尺寸图片
图 22. 横摇固有频率（水配重）。

下载：下载高分辨率图片 (1MB)
下载：下载全尺寸图片
图 23. 横摇固有频率（极端 UHPC 配重）。

5. 结论

在半潜式平台的初步设计阶段，为了平衡计算精度与效率之间的矛盾，本研究提出了一种基于常规二维条带理论的修正正交条带理论模型。该模型用于准确估算多柱式半潜式光伏模块的垂荡、横摇和纵摇附加质量及固有频率，旨在避免与主导波浪频率共振。它为平台尺寸的优化设计提供了一种高效的解析方法。该理论模型在一定程度上克服了二维条带理论仅适用于水下细长结构的局限性。通过与 ANSYS AQWA 模拟结果进行对比，推导出了相应的修正系数。在确保精度的同时，该方法将常规二维条带理论扩展到了半潜式平台的水动力学分析中。具体结论如下：

本研究提出了一种修正正交条带理论，克服了常规二维条带理论的局限性，从而为计算多柱式半潜式平台的附加质量提供了一种更精确、高效的解析方法。通过改变柱截面尺寸、柱间距和吃水深度等参数，对附加质量进行了敏感性分析。利用多元线性回归，提出了一种适用于四柱式半潜式平台附加质量计算的半经验半解析解。结果表明，该解与商业软件 ANSYS AQWA 具有良好的一致性。

本研究调查了修正正交条带理论应用于不同柱截面构型的半潜式平台附加质量计算时的等效转换关系。研究结果表明，当柱截面特征尺寸保持不变且形状仅从方形变为圆形时，两种构型在垂荡、横摇和纵摇方向的附加质量比约为 10:7。当柱截面面积保持不变且形状从方形变为圆形时，上述三个方向的附加质量基本保持不变。这表明，对于具有圆形截面柱的半潜式平台，可以通过具有相同截面面积的方形截面柱来估算附加质量。

本研究提出了一种利用两种简化质量分布估算四柱式半潜式光伏模块在垂荡、横摇和纵摇方向固有频率的方法。通过水配重和 UHPC 配重这两种极端质量分布模式，本研究简化了平台转动惯量与其几何形状之间的相关性，使得能够在几何参数空间内对光伏模块的固有频率进行定量表达。研究发现，在此假设下，平台的固有频率对柱截面尺寸和间距相对不敏感，而吃水深度对固有频率有显著影响。

尽管本研究提出的修正正交条带理论将常规二维条带理论的应用从细长结构扩展到了多柱式半潜式平台，但它仍然存在一定的局限性。首先，关于垂荡方向附加质量的计算，由于常规二维条带理论的内在局限性，该理论模型无法考虑柱间距对平台水动力学系数的影响，导致计算结果失真。其次，虽然该理论模型为多柱式半潜式平台的附加质量提供了合理准确的估算，但它无法适应复杂几何形状，对其适用性构成了一定的限制。未来的研究可以探索条带单元之间的相互作用及其在复杂浮动平台上的适用性。

CRediT 作者贡献声明
Fangxue Yao：写作 – 审阅与编辑，写作 – 初稿，验证，方法论，数据整理，概念化。Lixue Liu：监督，项目管理，资金获取。Liang Zhong：监督，项目管理，资金获取。Xianhui You：监督，项目管理，资金获取。Lanri Lin：写作 – 审阅与编辑，验证。Yang Yang：软件，方法论。Weitao Li：写作 – 审阅与编辑。Xiangguo Wu：监督，方法论，调查，资金获取，形式分析，概念化。

Fangxue Yao|Lixue Liu|Liang Zhong|Xianhui You|Lanri Lin|Yang Yang|Weitao Li|Xiangguo Wu